Problema sugli urti con corpo rigido
Buon pomeriggio,
vorrei chiedervi una mano per risolvere il seguente esercizio:
TESTO:
Una pallina di massa $m$ e di dimensioni trascurabili cade da un'altezza $h = 1 m$, e urta un disco omogeneo di raggio $R = 30 cm$ e massa $M = 10 kg$. Il disco è imperniato su un asse orizzontale passante per il suo centro ed è inizialmente fermo. La pallina urtando il disco rallenta istantaneamente e rimane attaccata al perimetro. Sapendo che il modulo della velocità angolare del sistema, disco e pallina, subito dopo l'urto è di $4.5 (rad)/s$ calcolare:
a) la massa $m$ della pallina;
b) l'impulso esercitato $vec J$ dal vincolo nell'urto.
Ipotizzando che la pallina si stacchi dal disco dopo che questo ha ruotato di $90$ gradi:
c) calcolare la velocità angolare del disco dopo il distacco.
Il punto di distacco è rappresentato da un disegno, che non ho capito come inviare, comunque l'unica cosa che si evince dal disegno oltre quello che vi ho detto è la posizione dei due punti (di urto e di distacco).
Se riferiamo il disco a un sistema di riferimento $O_(xy)$ centrando la circonferenza corrispondente nell'origine i punti sarebbero rispettivamente:
$A(-R,0)$ (punto di urto) e $B(0,-R)$ (punto di distacco).
I primi due punti li ho risolti ma ho un dubbio sull'ultimo.
Pensavo, visto che sul sistema non agiscono forze non conservative che compiano lavoro, di applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica (scegliendo come quota nulla $y=-R$).
L'ho impostata in questo modo:
($E=$ energia cinetica e $U=$ energia potenziale)
$E_(mA)=1/2mR^2\omega^2$
$E_(MA)=1/2(1/2MR^2)\omega^2$
$U_(mA)=mgR$
$U_(mB)=0$
$U_(MA)=U_(MB)=MgR$
$E_(MB)=1/2(1/2MR^2)(\omega_f)^2$
Pensavo così facendo di ricavare $\omega_f$ ma mi sono reso conto che non so che valore assegnare a $E_(mB)$ in quanto il testo non specifica con che velocità la pallina si stacca dal disco.
Mi potreste aiutare a concludere?
Grazie mille!
vorrei chiedervi una mano per risolvere il seguente esercizio:
TESTO:
Una pallina di massa $m$ e di dimensioni trascurabili cade da un'altezza $h = 1 m$, e urta un disco omogeneo di raggio $R = 30 cm$ e massa $M = 10 kg$. Il disco è imperniato su un asse orizzontale passante per il suo centro ed è inizialmente fermo. La pallina urtando il disco rallenta istantaneamente e rimane attaccata al perimetro. Sapendo che il modulo della velocità angolare del sistema, disco e pallina, subito dopo l'urto è di $4.5 (rad)/s$ calcolare:
a) la massa $m$ della pallina;
b) l'impulso esercitato $vec J$ dal vincolo nell'urto.
Ipotizzando che la pallina si stacchi dal disco dopo che questo ha ruotato di $90$ gradi:
c) calcolare la velocità angolare del disco dopo il distacco.
Il punto di distacco è rappresentato da un disegno, che non ho capito come inviare, comunque l'unica cosa che si evince dal disegno oltre quello che vi ho detto è la posizione dei due punti (di urto e di distacco).
Se riferiamo il disco a un sistema di riferimento $O_(xy)$ centrando la circonferenza corrispondente nell'origine i punti sarebbero rispettivamente:
$A(-R,0)$ (punto di urto) e $B(0,-R)$ (punto di distacco).
I primi due punti li ho risolti ma ho un dubbio sull'ultimo.
Pensavo, visto che sul sistema non agiscono forze non conservative che compiano lavoro, di applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica (scegliendo come quota nulla $y=-R$).
L'ho impostata in questo modo:
($E=$ energia cinetica e $U=$ energia potenziale)
$E_(mA)=1/2mR^2\omega^2$
$E_(MA)=1/2(1/2MR^2)\omega^2$
$U_(mA)=mgR$
$U_(mB)=0$
$U_(MA)=U_(MB)=MgR$
$E_(MB)=1/2(1/2MR^2)(\omega_f)^2$
Pensavo così facendo di ricavare $\omega_f$ ma mi sono reso conto che non so che valore assegnare a $E_(mB)$ in quanto il testo non specifica con che velocità la pallina si stacca dal disco.
Mi potreste aiutare a concludere?
Grazie mille!
Risposte
Puoi applicare, invece della conservazione dell'energia, la conservazione del momento angolare al distacco, che è in questo caso perfettamente equivalente per risolvere.
Comunque se sai la velocità a cui ruota il disco con la massa attaccata, sai anche a che velocità si staccherà la massa la quale non potrà far altro che proseguire per la tangente alla propria velocità periferica. No?
Comunque se sai la velocità a cui ruota il disco con la massa attaccata, sai anche a che velocità si staccherà la massa la quale non potrà far altro che proseguire per la tangente alla propria velocità periferica. No?
Hai ragione, la velocità della massa al distacco sarà necessariamente uguale a $v=wR$.
Grazie anche per il consiglio sulla conservazione del momento angolare.
Buona serata!
Grazie anche per il consiglio sulla conservazione del momento angolare.
Buona serata!
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