Problema su induzione elettromagnetica
Salve a tutti ho questo problema, sull'induzione elettromagnetica, con cui sto avendo non poche difficoltà :
Un fi lo indefi nito percorso dalla corrente $i(t) = i_0 * t / T $ con $i_0 = 70 mA$ e $T = 30 s$ , è diretto lungo l'asse z. Sul piano z-x a distanza $x_0 = 50 cm$ si trova una piccola spira circolare di raggio $r_0 = 10 mm$ , conducibilità $ \sigma = 3,8 * 10^7 (\Omega * m)^(-1) $ e sezione $s = 0.25 mm^2$
3a) Calcolare il coefficiente di mutua induzione fra i due circuiti.
3b) Determinare la corrente indotta nella spira e calcolare l'energia dissipata da t = 0 a t = T.
Per il primo punto ho pensato di calcolare il flusso del campo generato dal filo attraverso la spira, ma faccio confusione quando vado a calcolare l'integrale lungo la superficie della spira; per la corrente pensavo di dividere la forza elettromotrice, che ricavo derivando il flusso, con la resistenza R che ricavo da $ R = h/(\sigma * s)$ dove h è il diametro della spira. per l'energia invece nessuna idea.
Spero che qualcuno mi possa aiutare a risolvere questo problema soprattutto per quando riguarda il calcolo del flusso con cui ho molte difficoltà, grazie anticipatamente.
Un fi lo indefi nito percorso dalla corrente $i(t) = i_0 * t / T $ con $i_0 = 70 mA$ e $T = 30 s$ , è diretto lungo l'asse z. Sul piano z-x a distanza $x_0 = 50 cm$ si trova una piccola spira circolare di raggio $r_0 = 10 mm$ , conducibilità $ \sigma = 3,8 * 10^7 (\Omega * m)^(-1) $ e sezione $s = 0.25 mm^2$
3a) Calcolare il coefficiente di mutua induzione fra i due circuiti.
3b) Determinare la corrente indotta nella spira e calcolare l'energia dissipata da t = 0 a t = T.
Per il primo punto ho pensato di calcolare il flusso del campo generato dal filo attraverso la spira, ma faccio confusione quando vado a calcolare l'integrale lungo la superficie della spira; per la corrente pensavo di dividere la forza elettromotrice, che ricavo derivando il flusso, con la resistenza R che ricavo da $ R = h/(\sigma * s)$ dove h è il diametro della spira. per l'energia invece nessuna idea.
Spero che qualcuno mi possa aiutare a risolvere questo problema soprattutto per quando riguarda il calcolo del flusso con cui ho molte difficoltà, grazie anticipatamente.
Risposte
"cozzaciccio":
... ho pensato di calcolare il flusso del campo generato dal filo attraverso la spira, ma faccio confusione quando vado a calcolare l'integrale lungo la superficie della spira
Non devi calcolare nessun integrale, la spira è "piccola"!
"cozzaciccio":
... per la corrente pensavo di dividere la forza elettromotrice, che ricavo derivando il flusso, con la resistenza R che ricavo da $ R = h/(\sigma * s)$ dove h è il diametro della spira.
Il diametro?
"cozzaciccio":
... per l'energia invece nessuna idea.
Una volta nota la corrente, non ci saranno problemi a calcolarla (anche qui non servirà nessun integrale).
Il fatto che la spira fosse piccola mi ha fatto pensare che magari potrebbe influire sul procedimento, ma non ho trovato nulla, neanche in esercizi svolti in precedenza da me.
Per la questione di h ho sbagliato a scrivere, volevo intendere circonferenza dato che dovrebbe essere la lunghezza del circuito, in questo caso circolare, ma probabilmente è sbagliato anche questo
.
Purtroppo come vedi non ho nessuna idea, vorrei se fosse possibile una spiegazione di ciò che si dovrebbe fare con annesso ragionamento, mi sono bloccato veramente e non so come procedere, grazie infinite comunque per la risposta ed l'aiuto.
Per la questione di h ho sbagliato a scrivere, volevo intendere circonferenza dato che dovrebbe essere la lunghezza del circuito, in questo caso circolare, ma probabilmente è sbagliato anche questo
.Purtroppo come vedi non ho nessuna idea, vorrei se fosse possibile una spiegazione di ciò che si dovrebbe fare con annesso ragionamento, mi sono bloccato veramente e non so come procedere, grazie infinite comunque per la risposta ed l'aiuto.
Visto che la spira è piccola, puoi determinare il flusso concatenato con la stessa dal semplice prodotto fra valore del campo magnetico B nel suo punto centrale e la superficie S della stessa; da qui in poi tutto diventa semplice, vista la crescita lineare di i(t) nel tempo. 
A numeratore della resistenza ci va la lunghezza del conduttore, in questo caso, come hai corretto, la circonferenza della spira.
Ti ricordo infine che il coefficiente di mutua induzione è pari al rapporto fra flusso concatenato con uno dei due avvolgimenti per ogni ampere circolante nel secondo (o viceversa); in questo caso è ovviamente MOLTO più semplice determinare quello concatenato con la spira quando una corrente unitaria percorre il filo.
A numeratore della resistenza ci va la lunghezza del conduttore, in questo caso, come hai corretto, la circonferenza della spira.
Ti ricordo infine che il coefficiente di mutua induzione è pari al rapporto fra flusso concatenato con uno dei due avvolgimenti per ogni ampere circolante nel secondo (o viceversa); in questo caso è ovviamente MOLTO più semplice determinare quello concatenato con la spira quando una corrente unitaria percorre il filo.
Vediamo se ho capito, per il flusso uso la formula $\Phi = B * S = (\mu_0 * i)/(2 \pi (x_0 + r_0)) * \pi*r_0^2 $ ho utilizzato $ x_0 + r_0 $ perchè $x_0$ dovrebbe essere la distanza tra fili e spira, ma su questo magari mi sbaglio. Dopo per calcolare il coefficiente M uso $ M = \Phi / i = (\mu_0 )/(2 \pi (x_0 + r_0)) * \pi*r_0^2$ e dovrei aver trovato il coefficiente di mutua induzione.
Per calcolare la corrente indotta nella spira uso la formula $i_s = - 1/R (d\Phi)/dt $ e ciò dovrebbe essere possibile in quanto il flusso ha la corrente i che dipende linearmente dal tempo, quindi derivo e divido per la resistenza uguale a $R = (2\pi *r)/(\sigma * s)$, per l'energia in tutto ciò non ho nessuna idea, avevo pensato di usare banalmente la formula $ U = \int_0^T R * (i_s)^2 dt \ $.
Grazie per la disponibilità e la cortesia, spero vivamente di averlo svolto correttamente dopo le tue indicazioni.
Per calcolare la corrente indotta nella spira uso la formula $i_s = - 1/R (d\Phi)/dt $ e ciò dovrebbe essere possibile in quanto il flusso ha la corrente i che dipende linearmente dal tempo, quindi derivo e divido per la resistenza uguale a $R = (2\pi *r)/(\sigma * s)$, per l'energia in tutto ciò non ho nessuna idea, avevo pensato di usare banalmente la formula $ U = \int_0^T R * (i_s)^2 dt \ $.
Grazie per la disponibilità e la cortesia, spero vivamente di averlo svolto correttamente dopo le tue indicazioni.
Eh si, scegli da catalogo quale formula usare
"cozzaciccio":
... spero vivamente di averlo svolto correttamente
La distanza x0 è sottinteso sia la distanza del filo del centro della spira, quindi non serve sommarla al raggio, quel 4 a denominatore per B da dove arriva?
Dopo di che non è che sia possibile applicare la "regola del flusso" solo perché la corrente è funzione lineare del tempo, ma è grazie a questo andamento che la fem e di conseguenza la corrente rimangono costanti nel tempo, e così pure la potenza; ne segue che per l'energia non serve nessun integrale, ma semplicemente Il prodotto fra potenza e intervallo di tempo.
Sì scusami ma ho inserito il 4 al posto del 2, grazie di nuovo, hai risolto i miei dubbi, gentilissimo fino alla fine grazie infinite Renzo. 
Vulplasir ho pescato dal catalogo il senso dell'umorismo, devo dire mi sta tornando utile, magari trovo anche soldi o altro, ti faccio sapere.
Vulplasir ho pescato dal catalogo il senso dell'umorismo, devo dire mi sta tornando utile, magari trovo anche soldi o altro, ti faccio sapere.
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