Problema su dilatazione del tempo
Nell'istante in cui le due astronavi rappresentate in figura si trovano nella stessa posizione,i rispettivi equipaggi sincronizzano gli orologi di bordo in modo che segnino le ore 00:00. Quale ora segneranno gli orologi dell'astronave B, quando sull’astronave A saranno di nuovo le 00:00, se le velocità riportate in figura sono quelle misurate da Terra?
Salve a tutti ho difficolta a capire come interpretare questo problema....
ho provato a usare la formula $Deltat=(Deltat_0)/(√ (1-(v/c)^2)$
ma non riesco a capire come inserire le due velocità
poi ho pensato che visto che dice che le velocità sono prese rispetto alla terra allora ho provato a trovarmi il fattore di dilatazione del tempo delle due astronavi che mi viene $ɣ_(a)=1.05$ mentre $ɣ_(b)=1.25$
ma non so se la strada è giusta non so come continuare
Salve a tutti ho difficolta a capire come interpretare questo problema....
ho provato a usare la formula $Deltat=(Deltat_0)/(√ (1-(v/c)^2)$
ma non riesco a capire come inserire le due velocità
poi ho pensato che visto che dice che le velocità sono prese rispetto alla terra allora ho provato a trovarmi il fattore di dilatazione del tempo delle due astronavi che mi viene $ɣ_(a)=1.05$ mentre $ɣ_(b)=1.25$
ma non so se la strada è giusta non so come continuare
Risposte
È vero che quelle sono le velocità delle due astronavi rispetto alla Terra, ma a te interessa calcolare la velocità di una astronave rispetto all’altra, e questo lo devi fare con la composizione relativistica delle due velocità dette.
Una volta trovata la velocità relativa, devi usare questa per trovare il fattore di Lorentz. Con questo fattore, puoi applicare la formuletta della dilatazione del tempo, quella che hai scritto per prima. In altri termini, devi assumere uno dei riferimenti come tuo riferimento di quiete, per cui l’altra astronave si muoverà rispetto a te con la velocità relativa calcolata.
Non è molto chiaro che cosa vuole dire “ quando l’orologio di A segna nuovamente 00:00” . Io interpreto che per A siano passate 24 ore, come da mezzanotte a mezzanotte sulla terra.
Una volta trovata la velocità relativa, devi usare questa per trovare il fattore di Lorentz. Con questo fattore, puoi applicare la formuletta della dilatazione del tempo, quella che hai scritto per prima. In altri termini, devi assumere uno dei riferimenti come tuo riferimento di quiete, per cui l’altra astronave si muoverà rispetto a te con la velocità relativa calcolata.
Non è molto chiaro che cosa vuole dire “ quando l’orologio di A segna nuovamente 00:00” . Io interpreto che per A siano passate 24 ore, come da mezzanotte a mezzanotte sulla terra.
Prima di tutto ti ringrazio per la risposta, in effetti fra le varie prove che avevo fatto , avevo posto che la velocità di una rispetto all altra fosse sempicemente 0,6c-0,3c come credo mi hai consigliato sarebbe stata un affermazione sbagliata. Quindi ho proceduto nel seguente modo:
ho trovato la composizione relativistica fra le due astronavi anche se non so se ho fatto correttamente ,
$V_x=(V_(x1)+V_0)/(1+(V_0*V_(x1))/c^2$ ho posto che $V_(x1)$ sia la nave B che va a 0,6c e $V_0$ la nave A che va ad 0,3c
quindi ottengo la che la velocità relativistica fra loro è 0,76c
poi ho applicato la formula classica impostando il tempo in secondi quindi in 24 ore il tempo di A ha passato 86400s
impostando cosi $86400=(x)/(\sqrt(1-(0,76)^2))$ ottenendo x=56153s che in totale sarebbero 15,6 ore quindi l'orologio dovrebbe segnare le 15:40 piu o meno invece la soluzione del libro riporta 01:47
ho trovato la composizione relativistica fra le due astronavi anche se non so se ho fatto correttamente ,
$V_x=(V_(x1)+V_0)/(1+(V_0*V_(x1))/c^2$ ho posto che $V_(x1)$ sia la nave B che va a 0,6c e $V_0$ la nave A che va ad 0,3c
quindi ottengo la che la velocità relativistica fra loro è 0,76c
poi ho applicato la formula classica impostando il tempo in secondi quindi in 24 ore il tempo di A ha passato 86400s
impostando cosi $86400=(x)/(\sqrt(1-(0,76)^2))$ ottenendo x=56153s che in totale sarebbero 15,6 ore quindi l'orologio dovrebbe segnare le 15:40 piu o meno invece la soluzione del libro riporta 01:47
fra le varie prove che avevo fatto , avevo posto che la velocità di una rispetto all altra fosse sempicemente 0,6c-0,3c come credo mi hai consigliato sarebbe stata un affermazione sbagliata
Ed é sbagliata, perché sarebbe la composizione galileiana, non relativistica, delle velocità.
ho trovato la composizione relativistica fra le due astronavi anche se non so se ho fatto correttamente
Non l’hai fatta correttamente, perché se guardi la figura vedi che le due velocità vettoriali sono concordi, e quando sono concordi nella formula della composizione relativistica ci va il segno “ meno” , sia al numeratore che al denominatore. Del resto, per velocità molto basse si ricade nella composizione galileiana di cui sopra, dove avevi scritto $(0.6-0.3)c$ : passare alla composizione relativistica non cambia il segno , per cui la formula corretta é :
$((0.6-0.3)c)/(1-0.6*0.3) = 0.36585c$
Quindi il fattore $gamma$ risulta essere : $gamma = 1.0745$ (circa)
Con questo valore di $gamma$ , le $24h$ trascorse per l’orologio dell’astronave A (tempo proprio di A) diventano, per l’orologio di B :
$Delta t_B = \gamma Deltat_A = 1.0745*24h = 25.7878h$
Infatti qui stai considerando A in moto rispetto a B in quiete, quindi “il tempo scorre più lentamente” per A (spero che ti sia chiaro il significato di questa frase, o di quella equivalente “ il tempo rallenta per gli orologi in moto “ ).
Se a questo $Deltat_B$ togli $24h$ ottieni $1.7878 h$ dell’orologio di B . In altri termini, mentre per A sono trascorse 24 ore, e quindi il suo orologio segna nuovamente le 00:00, per B è trascorsa 1 ora e 47.27 minuti in più, come dice il tuo libro.
Ti ringrazio per la risposta dettagliata ora è tutto più chiaro 
Faccio una precisazione circa la composizione relativistica delle velocità. Nel post precedente ho detto questo:
Quindi può sembrare che sempre, quando le velocità vettoriali sono concordi, vada messo il segno “meno” nella formula della composizione relativistica, ma in realtà non è così. Supponiamo ad esempio che dalla nave B , in moto verso destra con velocità di modulo 0.6c, venga lanciato un missile A con velocità 0.3c nella stessa direzione di moto di B. Anche qui i vettori sono concordi, e se fosse possibile la composizione galileiana diremmo che la velocità assoluta del missile sarebbe ( 0.6 + 0,3)c = 0.9c . Ma la composizione relativistica invece dà:
$(0.6 +0.3)c /(1+0.6*0.3) =0.7627c $
che era il valore da te calcolato, non adatto al caso del tuo problema. Ma allora, come si fa a scegliere il giusto segno in ciascuno dei due casi, visto che i vettori velocità sono diretti nella stessa direzione in entrambi i casi prospettati? Basta rifarsi alla cinematica galileiana per basse velocità, dove non c’è da fare la composizione relativistica; è evidente che nel caso dell’esercizio ci va il “meno “ , mentre nell’ esempio del missile da me fatto ci va il segno “più “ . Tutto questo scaturisce da rigorose considerazioni di cinematica vettoriale “ non relativistica” e cinematica relativistica .
Ma ora è tempo di finire.
"Shackle":
se guardi la figura vedi che le due velocità vettoriali sono concordi, e quando sono concordi nella formula della composizione relativistica ci va il segno “ meno” , sia al numeratore che al denominatore. Del resto, per velocità molto basse si ricade nella composizione galileiana di cui sopra, dove avevi scritto $ (0.6-0.3)c $ : passare alla composizione relativistica non cambia il segno , per cui la formula corretta é :
$ ((0.6-0.3)c)/(1-0.6*0.3) = 0.36585c $
Quindi può sembrare che sempre, quando le velocità vettoriali sono concordi, vada messo il segno “meno” nella formula della composizione relativistica, ma in realtà non è così. Supponiamo ad esempio che dalla nave B , in moto verso destra con velocità di modulo 0.6c, venga lanciato un missile A con velocità 0.3c nella stessa direzione di moto di B. Anche qui i vettori sono concordi, e se fosse possibile la composizione galileiana diremmo che la velocità assoluta del missile sarebbe ( 0.6 + 0,3)c = 0.9c . Ma la composizione relativistica invece dà:
$(0.6 +0.3)c /(1+0.6*0.3) =0.7627c $
che era il valore da te calcolato, non adatto al caso del tuo problema. Ma allora, come si fa a scegliere il giusto segno in ciascuno dei due casi, visto che i vettori velocità sono diretti nella stessa direzione in entrambi i casi prospettati? Basta rifarsi alla cinematica galileiana per basse velocità, dove non c’è da fare la composizione relativistica; è evidente che nel caso dell’esercizio ci va il “meno “ , mentre nell’ esempio del missile da me fatto ci va il segno “più “ . Tutto questo scaturisce da rigorose considerazioni di cinematica vettoriale “ non relativistica” e cinematica relativistica .
Ma ora è tempo di finire.
infinite grazie per l'ulteriore precisazione , non sono ancora incappato in un esercizio simile ma ne terrò conto per il futuro , ho capito la cosa in maniera molto chiara.
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