Problema su corrente che scorre attraverso due elettrodi?

[Fab527]

Dalla conducibilità ricavo la resistività $ rho(r) = 1/(sigma(r))= a/(sigma_0r) $

Da questa posso ricavare la resistenza elettrica della struttura integrando per serie

$ dR=rho(r)(dr)/(2pirL) $ e quindi $ R=int_(a)^(2a)dR= 1/(4sigma_0piL) $

Poichè è applicata una ddp ci sarà corrente che scorre radialmente dal guscio esterno verso quello interno, di intensità $ I=V/R $

Per rispondere alla prima domanda ho pensato di utilizzare Gauss. Come superficie scelgo quella che combacia con la struttura stessa. Il flusso nelle due basi è nullo in quanto la corrente è radiale. Si ha che poichè $ vec(E)=rhovec(J) $ (con $vec(J)$ vettore densità di corrente) e il verso della corrente è radiale allora
$ -|vec(E)(2a)|2pi2aL+|vec(E)(a)|2piaL=q/epsilon_0 $

che riscrivo come

$ -|vec(J)(2a)|rho(2a)+|vec(J)(a)|rho(a)=q/epsilon_0 $ ma il testo mi dice che $ rho(2a)=rho(a)=0 $ quindi $q$ è nulla.

Ora si ha che $ |vec(J(r))|=I/(2pirL)=|vec(E(r))|/(rho(r)) =>vec(E(r))=(rho(r)I)/(2pirL)hat(u_r)=(aI)/(2pir^2Lsigma_0)hat(u_r) $ e quindi poichè il campo elettrico va come $ 1/r^2 $ calcolerei i rispettivi valori massimo e minimo in $ a $ e in $ 2a$-

Per la terza domanda userei la $ nabla*vec(E)=rho_q/epsilon_0 $ utilizzando l'espressione della divergenza in coordinate cilindriche.

E' corretto quello che ho fatto finora?

Qualche idea sul come svolgere l'ultima domanda?

[RenzoDF]

Si, sostanzialmente le relazioni da usare sono quelle da te indicate, ma non capisco bene diversi passaggi, ad ogni modo per far prima, invece di imbarcarmi in una serie di "quote", ti accenno a come farei io.

A partire dalla implicita situazione stazionaria, riferendomi sempre alle componenti radiali [nota]Le sole presenti per la simmetria assiale.[/nota], direi subito che la divergenza del vettore densità di corrente è nulla e di conseguenza la densità di corrente sara inversamente proporzionale al generico raggio r secondo una costante k, $J(r)=k/r$, ne segue che dalla relazione $E(r) = \frac{J(r)}{\sigma(r)}$ ricaverei il campo elettrico e lo integrerei fra armatura esterna ed interna per ricavare, uguagliando l'integrale alla tensione nota, il valore di k.

Trovato k dispongo sia di J(r) sia di E(r) e via divergenza di quest'ultimo mi ricavo la densità di carica volumetrica, i due spostamenti elettrici e le densità di carica superficiale sulle due armature.
Dalle densità di carica ricavo le cariche sulle armature ed integrando la volumetrica ricavo la carica nell'intercapedine al fine di determinare sia la carica del sistema dalla loro somma algebrica sia la "capacitanza" (anche se mi vien l'orticaria a scrivere questo termine )

Lascio a te la soluzione simbolica, che però ti prego di postare per i lettori del Forum, grazie.

BTW Giusto per mia curiosità, potresti dirmi da dove arriva quel problema e chi ne è l'autore.

[Fab527]

Il problema non è preso da nessun libro ma è inventato dal professore del corso

Come concludi subito che la divergenza della densità di corrente è nulla? Io sapevo che $ nabla * vec(J)=-(partialrho_q)/(partialt) $ ma essendo la resistività funzione del raggio resta immagazzinata una $rho_q$ tra i due elettrodi

[RenzoDF]

"Fab527":... essendo la resistività funzione del raggio resta immagazzinata una $rho_q$ tra i due elettrodi

Certo, ma come ho già detto, si parte da una situazione implicitamente stazionaria e quindi non c'è dipendenza dal tempo (ma solo dallo spazio), della densità di carica volumetrica.

Partendo da una generica discontinuita iniziale, per esempio da una tensione che viene applicata per t=0, avremmo dovuto distinguere fra valori iniziali e valori finali di regime, vedi per esempio il seguente simile problema

viewtopic.php?f=19&t=142982