Problema sfera di materiale dielettrico
ciao a tutti 
ho problemi con l'esercizio:
Una carica puntiforme $q = 10^(-11) C$ è posta al centro di un materiale dielettrico di forma sferica, con costante dielettrica $\epsilonr$ = 7 e raggio R (incognito). In un punto P ad una distanza d = 1 cm dalla carica puntiforme il potenziale VP vale 5V (Si assuma $V(∞)$ = 0).
(a) Si dica se il raggio R della sfera è maggiore o minore di d;
(b) si ricavi il valore di R.
allora: la carica posta all'interno della sfera genera un campo elettrico "contrastato" dal campo creato dalle cariche di polarizzazione indotte.
$ \vec{E} = \vec{D}/(\epsilon) = q / (4\pi\epsilon r^2) \vec{ur} $, di qui come giungere al potenziale?
grazie
ho problemi con l'esercizio:
Una carica puntiforme $q = 10^(-11) C$ è posta al centro di un materiale dielettrico di forma sferica, con costante dielettrica $\epsilonr$ = 7 e raggio R (incognito). In un punto P ad una distanza d = 1 cm dalla carica puntiforme il potenziale VP vale 5V (Si assuma $V(∞)$ = 0).
(a) Si dica se il raggio R della sfera è maggiore o minore di d;
(b) si ricavi il valore di R.
allora: la carica posta all'interno della sfera genera un campo elettrico "contrastato" dal campo creato dalle cariche di polarizzazione indotte.
$ \vec{E} = \vec{D}/(\epsilon) = q / (4\pi\epsilon r^2) \vec{ur} $, di qui come giungere al potenziale?
grazie
Risposte
"Suv":
... di qui come giungere al potenziale?
Direi, o ricordano ... o integrando.
posto $V(∞) = 0$, $V(r) = q/(4\pi\epsilonr)$, sbaglio?
r è la distanza generica dalla carica, dunque per $ r=R $ ricavo il potenziale sulla superficie della sfera?
r è la distanza generica dalla carica, dunque per $ r=R $ ricavo il potenziale sulla superficie della sfera?
sostituendo i dati forniti dal problema, si ha:
$ V(r) = 5 V = (10^(-11) C)/( 4\pi 8,85*10^(-12) C/(Vm) *7* 0,01 m ) \ne 7,78 V $, quindi non so se sia corretta..
$ V(r) = 5 V = (10^(-11) C)/( 4\pi 8,85*10^(-12) C/(Vm) *7* 0,01 m ) \ne 7,78 V $, quindi non so se sia corretta..
No, attento, devi distinguere il campo (e quindi il potenziale) nelle diverse regioni dello spazio.
Si possono seguire diverse strade risolutive, ma direi che ti "conviene" partire dall'infinito, con una carica di prova $\text(d) q$ in tasca
... e raggiungere il punto P attraversando il vuoto fino alla distanza $R$ dalla carica $q$ e quindi attrversando il dielettrico da $R$ a $d$.
Visto che il potenziale V viene assunto nullo all'infinito, per il potenziale in P dovrai sommare due differenze di potenziale:
$V_P=V_P-V_\infty =(V(d)-V(R_-))+(V(R_+)-V_\infty)=5 \text(V)$
dove col pedice più e meno (ovvero a sinistra e destra della superfice di separazione) ha voluto ricordarti che c'è differenza fra il "dentro" e il "fuori" dal dielettrico, sia per il campo, sia per il potenziale; dette differenze di potenziale le puoi comunque ricavare anche dall'integrazione del campo sui due intervalli del "percorso".
Nella relazione del potenziale avrai come unica incognita il raggio R e quindi, se risolvendo avrai che R è maggiore di 1 centimetro, avrai la risposta ad entrambe le domande del problema.
Un'altra strada potrebbe essere quella di modellare il problema come serie di due condensatori.
Si possono seguire diverse strade risolutive, ma direi che ti "conviene" partire dall'infinito, con una carica di prova $\text(d) q$ in tasca
... e raggiungere il punto P attraversando il vuoto fino alla distanza $R$ dalla carica $q$ e quindi attrversando il dielettrico da $R$ a $d$.Visto che il potenziale V viene assunto nullo all'infinito, per il potenziale in P dovrai sommare due differenze di potenziale:
$V_P=V_P-V_\infty =(V(d)-V(R_-))+(V(R_+)-V_\infty)=5 \text(V)$
dove col pedice più e meno (ovvero a sinistra e destra della superfice di separazione) ha voluto ricordarti che c'è differenza fra il "dentro" e il "fuori" dal dielettrico, sia per il campo, sia per il potenziale; dette differenze di potenziale le puoi comunque ricavare anche dall'integrazione del campo sui due intervalli del "percorso".
Nella relazione del potenziale avrai come unica incognita il raggio R e quindi, se risolvendo avrai che R è maggiore di 1 centimetro, avrai la risposta ad entrambe le domande del problema.
Un'altra strada potrebbe essere quella di modellare il problema come serie di due condensatori.
perfetto
dunque: $ V(p) - V(∞) = q/(4\pi\epsilonR)(d-r) + q/(4\pi\epsilon0r) $ ?
dunque: $ V(p) - V(∞) = q/(4\pi\epsilonR)(d-r) + q/(4\pi\epsilon0r) $ ?
No, non ci siamo nemmeno dimensionalmente ... e poi cosa indichi con quella r minuscola?
ho fatto degli errori madornali, a cominciare dal fatto che ho considerato costante il campo elettrico..
$ V(p) - V(∞) = V(p) - q/(4\pi\epsilonR) + q/(4\pi\epsilon0R) - 0 $ ?
$ V(p) - V(∞) = V(p) - q/(4\pi\epsilonR) + q/(4\pi\epsilon0R) - 0 $ ?
Se ci danno dei vincoli sui potenziali dobbiamo usarli non credi? ... e se vogliamo usare i campi elettrici possiamo usare anche quelli, visto che i potenziali sono loro parenti stretti.
Ad ogni modo, tanto per completare il discorso iniziato, "ricordata" la relazione per il potenziale, e scritto il potenziale di P come dicevo nel precedente post
$V_P=V_P-V_\infty =(V(d)-V(R_-))+(V(R_+)-V(\infty))=5 V$
avremo che sostituendo
$V_P=(\frac{q}{4\pi \epsilon _0 \epsilon _r d}-\frac{q}{4\pi \epsilon _0 \epsilon _r R})+
(\frac{q}{4\pi \epsilon _0 R}-0)=\frac{q}{4\pi \epsilon _0 }(\frac{1}{\epsilon _r d}-\frac{1}{\epsilon _r R}+\frac{1}{R})=5 $
dalla quale avremo R.
Ad ogni modo, tanto per completare il discorso iniziato, "ricordata" la relazione per il potenziale, e scritto il potenziale di P come dicevo nel precedente post
$V_P=V_P-V_\infty =(V(d)-V(R_-))+(V(R_+)-V(\infty))=5 V$
avremo che sostituendo
$V_P=(\frac{q}{4\pi \epsilon _0 \epsilon _r d}-\frac{q}{4\pi \epsilon _0 \epsilon _r R})+
(\frac{q}{4\pi \epsilon _0 R}-0)=\frac{q}{4\pi \epsilon _0 }(\frac{1}{\epsilon _r d}-\frac{1}{\epsilon _r R}+\frac{1}{R})=5 $
dalla quale avremo R.
Se ti va di provare modellando il problema con due condensatori, immaginando di metallizzare le superfici sferiche equipotenziali a distanza d e R da q, puoi usare la seguente configurazione
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC L 7 -16744448 0.21
FJC A 0.4
FJC B 0.4
SA 45 50 0
TY 61 44 4 3 0 1 0 * d
LI 46 50 60 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 151 43 5 4 0 1 0 * ∞
MC 65 50 0 0 170
MC 110 50 0 0 170
LI 60 50 65 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 155 50 155 50 0
LI 80 50 110 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 75 50 80 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 81 44 4 3 0 1 0 * R
TY 112 56 4 3 0 1 0 * C2
LI 121 50 157 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 67 55 4 3 0 1 0 * C1
TY 40 25 4 3 0 1 0 * εr
TY 110 25 4 3 0 1 0 * εo
TY 139 66 4 3 0 1 1 * V=0
BE 150 20 160 40 160 65 150 85 1
EV 30 35 60 65 2
TY 40 68 4 3 0 1 2 * V=5V
TY 40 50 4 3 0 1 2 * q
EP 10 15 80 85 7[/fcd]
... per andare a risolvere legando tensioni, carica e capacità ...
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC L 7 -16744448 0.21
FJC A 0.4
FJC B 0.4
SA 45 50 0
TY 61 44 4 3 0 1 0 * d
LI 46 50 60 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 151 43 5 4 0 1 0 * ∞
MC 65 50 0 0 170
MC 110 50 0 0 170
LI 60 50 65 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 155 50 155 50 0
LI 80 50 110 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 75 50 80 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 81 44 4 3 0 1 0 * R
TY 112 56 4 3 0 1 0 * C2
LI 121 50 157 50 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 67 55 4 3 0 1 0 * C1
TY 40 25 4 3 0 1 0 * εr
TY 110 25 4 3 0 1 0 * εo
TY 139 66 4 3 0 1 1 * V=0
BE 150 20 160 40 160 65 150 85 1
EV 30 35 60 65 2
TY 40 68 4 3 0 1 2 * V=5V
TY 40 50 4 3 0 1 2 * q
EP 10 15 80 85 7[/fcd]
... per andare a risolvere legando tensioni, carica e capacità ...
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