Problema - POISSON
Ciao, avrei una domanda... qualcuno mi da una mano a capire se ha senso risolvere questo esercizio come ho fatto io
Il numero di raggi cosmici che attraversa il palmo della mia mano è una variabile Poissoniana. Se osservo e conto gli accadimenti in 1 minuto, ottengo una stima della frequenza degli eventi con una incertezza del 5%. Per quanto tempo dovrò condurre la misura per scadere ad un'incertezza dell'1%
Io ho fatto così:
dato che la misura è poissoniana, so che l'errore sulla misura è definito come $ sqrt(\nu)=\sigma_{\nu} $
e qui so anche che $ \sigma_{\nu=5% \nu $ (quando ho letto ''incertezza del 5%'' ho supposto che l'incertezza valesse il 5% della misura), dunque,
$ \frac{5}{100}\nu=sqrt(\nu) $
$ \frac{sqrt(\nu)}{\nu}=0.05 $
risolvo per $ \nu $ e trovo $ \nu=400 $
E tutto questo è valso per 1 minuto.
se ora risolvo per $ \nu $ in questo caso $ \frac{sqrt(\nu)}{\nu}=0.01 $ trovo $ \nu=10000 $ .
$ 10000/400=25 $ deduco che devo protrarre la misura per 25minuti per avere un'incertezza dell'1%.
Ha senso secondo voi?
Grazie
Il numero di raggi cosmici che attraversa il palmo della mia mano è una variabile Poissoniana. Se osservo e conto gli accadimenti in 1 minuto, ottengo una stima della frequenza degli eventi con una incertezza del 5%. Per quanto tempo dovrò condurre la misura per scadere ad un'incertezza dell'1%
Io ho fatto così:
dato che la misura è poissoniana, so che l'errore sulla misura è definito come $ sqrt(\nu)=\sigma_{\nu} $
e qui so anche che $ \sigma_{\nu=5% \nu $ (quando ho letto ''incertezza del 5%'' ho supposto che l'incertezza valesse il 5% della misura), dunque,
$ \frac{5}{100}\nu=sqrt(\nu) $
$ \frac{sqrt(\nu)}{\nu}=0.05 $
risolvo per $ \nu $ e trovo $ \nu=400 $
E tutto questo è valso per 1 minuto.
se ora risolvo per $ \nu $ in questo caso $ \frac{sqrt(\nu)}{\nu}=0.01 $ trovo $ \nu=10000 $ .
$ 10000/400=25 $ deduco che devo protrarre la misura per 25minuti per avere un'incertezza dell'1%.
Ha senso secondo voi?
Grazie
Risposte
Fai attenzione, l'errore del 5% ce l'hai sul tasso di raggi cosmici per unità di tempo, non sul numero di raggi cosmici. Devi solo fare una propagazione delle incertezze, il ragionamento in generale è giusto.
mh... okay... ma se il tasso di raggi cosmici è 1 al minuto... non sto capendo :/
Puoi riportare il testo completo dell'esercizio?
Il testo è quello che ho scritto...
" Il numero di raggi cosmici che attraversa il palmo della mia mano è una variabile Poissoniana. Se osservo e conto gli accadimenti in 1 minuto, ottengo una stima della frequenza degli eventi con una incertezza del 5%. Per quanto tempo dovrò condurre la misura per arrivare ad un'incertezza dell'1%? "
" Il numero di raggi cosmici che attraversa il palmo della mia mano è una variabile Poissoniana. Se osservo e conto gli accadimenti in 1 minuto, ottengo una stima della frequenza degli eventi con una incertezza del 5%. Per quanto tempo dovrò condurre la misura per arrivare ad un'incertezza dell'1%? "
Ok, la situazione è questa:
Supponiamo di aver osservato il passaggio di $nu$ raggi cosmici in un minuto. Questo vuol dire che la miglior stima del tasso di raggi cosmici per unità di tempo è $R = nu/T = nu $ raggi cosmici/minuto. Il testo ti dà l'incertezza su questo tasso, in particolare ti dice che $(Delta R)/R = 0.05 $.
Dalla propagazione degli errori sai anche che (sommando linearmente le incertezze per comodità, qui si potrebbe sommare anche in quadratura!):
$(Delta R)/ R = (Delta nu)/nu + (Delta T)/T = sqrt(nu)/nu + (Delta T) = 0.05$
Come puoi vedere l'errore relativo sul tasso differisce da quello sul numero di raggi cosmici per un termine $(DeltaT)/T$, in questo caso $Delta T$ poiché $T=1$ minuto.
Solo a questo punto, supponendo il termine $Delta T$ trascurabile, come probabilmente l'esercizio sottintende, si arriva a ciò che hai scritto tu, ovvero:
$(sqrt(n))/nu = 0.05$
da cui ottieni $v = 400 +- 20$ raggi cosmici e di conseguenza $R = 400 $ raggi cosmici/ minuto
Ponendo stavolta:
$(Delta R)/R = 0.01 = 0.01$
ottieni esattamente $nu = 10000$ raggi cosmici che, con un tasso di $R = 400$ raggi cosmici/ minuto fa esattamente
$T = 25 $ minuti
Come vedi come hai fatto tu va benissimo, ma, in generale, è importante distinguere l'incertezza sul numero di conteggi da quella sul tasso di conteggi per unità di tempo.
In ogni caso spero di averti chiarito un po' le idee
Supponiamo di aver osservato il passaggio di $nu$ raggi cosmici in un minuto. Questo vuol dire che la miglior stima del tasso di raggi cosmici per unità di tempo è $R = nu/T = nu $ raggi cosmici/minuto. Il testo ti dà l'incertezza su questo tasso, in particolare ti dice che $(Delta R)/R = 0.05 $.
Dalla propagazione degli errori sai anche che (sommando linearmente le incertezze per comodità, qui si potrebbe sommare anche in quadratura!):
$(Delta R)/ R = (Delta nu)/nu + (Delta T)/T = sqrt(nu)/nu + (Delta T) = 0.05$
Come puoi vedere l'errore relativo sul tasso differisce da quello sul numero di raggi cosmici per un termine $(DeltaT)/T$, in questo caso $Delta T$ poiché $T=1$ minuto.
Solo a questo punto, supponendo il termine $Delta T$ trascurabile, come probabilmente l'esercizio sottintende, si arriva a ciò che hai scritto tu, ovvero:
$(sqrt(n))/nu = 0.05$
da cui ottieni $v = 400 +- 20$ raggi cosmici e di conseguenza $R = 400 $ raggi cosmici/ minuto
Ponendo stavolta:
$(Delta R)/R = 0.01 = 0.01$
ottieni esattamente $nu = 10000$ raggi cosmici che, con un tasso di $R = 400$ raggi cosmici/ minuto fa esattamente
$T = 25 $ minuti
Come vedi come hai fatto tu va benissimo, ma, in generale, è importante distinguere l'incertezza sul numero di conteggi da quella sul tasso di conteggi per unità di tempo.
In ogni caso spero di averti chiarito un po' le idee
Grazie mille!!
Sei stato gentilissimo/a nel farmi tutta la spiegazione generale... decisamente più chiaro
!
Sei stato gentilissimo/a nel farmi tutta la spiegazione generale... decisamente più chiaro
!
Prego, contento di averti aiutato 
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