Problema piano inclinato

[indovina]

Il testo è il seguente.

un corpo di massa $m=300g$ è posto alla sommità di un piano inclinato scabro di altezza $h=30 cm$ con velocità iniziale nulla.
$mu_s=0,1$, $mu_d=0,05$.
Calcolare l'angolo di inclinazione per cui il corpo inizia a scivolare e il tempo di discesa.
Farlo nel caso dell'attrito e senza.

Io posto i miei ragionamenti sul caso con l'attrito, per vedere se vanno bene quelli.

$a=g(sintheta-mu_d*costheta)$

$V^2=(V_0)^2+2ax$

$x=d=h/(sintheta)$

$V_0=0$

$V^2=(2h/sintheta)*g*(sintheta-(mu_d)*costheta)$

$V^2=2hg-2hg(1/(tantheta))*mu_d$

$V^2=2hg(1-(1/tantheta)*mu_d)$

per il teorema dell'energia cinetica:
$(1/2)*m*V^2-(1/2)*m*(V_0)^2=-mu_d*m*g*d$

$V^2=-2(mu_d)*g*h/(sintheta)$

ora metto uguale le due relazioni:
$2hg(1-(1/tantheta)*mu_d)= -2(mu_d)*g*h/(sintheta)$

che con semplificazioni varie arrivo a:
$((-2mu_d)/(sintheta))-1+(costheta/sintheta)*mu_d=0$

$(mu_d)((-2/sintheta)+(costheta/sintheta))-1=0$

$((costheta-2)/(sintheta))=1/(mu_d)$

$((costheta-2)/(sintheta))=20$

$costheta-2=20*sintheta$

ho fatto delle sostituzioni con le parametriche.
alla fine l'angolo che trovo è: $8$ ma non sono sicuro che sia esatto

va bene fin qui, o è tutto sbagliato?
suggerimenti?
Grazie

[duff18-votailprof]

per trovare l'angolo per cui il corpo inizia a scivolare verso il basso è semplicemente:

$mgsintheta > mgcostheta*mu_s$

$tantheta > mu_s$

in questo caso $theta > 5,7\^{\circ}$

[indovina]

Dunque il tutto si risolve in una formula?
Grandioso. xD