Problema Pendolo conico
Buongiorno a tutti, chiedo gentilmente aiuto per questo problema di fisica per cui mi sto scervellando.
Il testo recita:
Un corpo puntiforme di massa m=0,1 kg è in quiete sopra un profilo conico liscio di semiapertura pari ad $ alpha $ =30 gradi. Il corpo è sostenuto da un filo ideale di lunghezza l=1m ancorato nel vertice del cono. All'istante t=0 viene applicata una forza di modulo costante pari ad F=0,1N che viene mantenuta tangenziale alla superficie del cono e perpendicolare al filo. Nel disegno la forza è uscente dal foglio. Determinare:
a) Come variano nel tempo la velocità angolare $ . omega $ , la Tensione del filo T e la reazione normale N.
b)Dopo quanto tempo t* il corpo si stacca dal profilo conico.
Vorrei che qualcuno potesse aiutarmi a ragionarci perchè preferirei arrivarci da solo.
Il mio ragionamento è impostato nel seguente modo:
Per ricavare la velocità angolare in funzione del tempo, devo ricavare la relazione cinematica dalle relazioni dinamiche del sistema, perciò scompongo le forze in proiezione radiale e tangenziale. A questo punto risulta:
\( Ft=m\ddot\alpha \)
e
\( Fr=R\omega^2 \)
A questo punto mi chiedo se questa sia la strada giusta o c'è già qualche intoppo nel ragionamento?
Ad esempio non riesco a capire quale sia il contributo della forza peso alle direzioni...
Oppure l'altra strada che avevo considerato passava per la seconda equazione cardinale della dinamica:
\( \dot{P}=M(e) \)
Avendo indicato con P il momento angolare e con M(e) la risultante dei momenti delle forze esterne e polo fisso in O.
È questa la strada giusta?
Vi ringrazio in anticipo
Il testo recita:
Un corpo puntiforme di massa m=0,1 kg è in quiete sopra un profilo conico liscio di semiapertura pari ad $ alpha $ =30 gradi. Il corpo è sostenuto da un filo ideale di lunghezza l=1m ancorato nel vertice del cono. All'istante t=0 viene applicata una forza di modulo costante pari ad F=0,1N che viene mantenuta tangenziale alla superficie del cono e perpendicolare al filo. Nel disegno la forza è uscente dal foglio. Determinare:
a) Come variano nel tempo la velocità angolare $ . omega $ , la Tensione del filo T e la reazione normale N.
b)Dopo quanto tempo t* il corpo si stacca dal profilo conico.
Vorrei che qualcuno potesse aiutarmi a ragionarci perchè preferirei arrivarci da solo.
Il mio ragionamento è impostato nel seguente modo:
Per ricavare la velocità angolare in funzione del tempo, devo ricavare la relazione cinematica dalle relazioni dinamiche del sistema, perciò scompongo le forze in proiezione radiale e tangenziale. A questo punto risulta:
\( Ft=m\ddot\alpha \)
e
\( Fr=R\omega^2 \)
A questo punto mi chiedo se questa sia la strada giusta o c'è già qualche intoppo nel ragionamento?
Ad esempio non riesco a capire quale sia il contributo della forza peso alle direzioni...
Oppure l'altra strada che avevo considerato passava per la seconda equazione cardinale della dinamica:
\( \dot{P}=M(e) \)
Avendo indicato con P il momento angolare e con M(e) la risultante dei momenti delle forze esterne e polo fisso in O.
È questa la strada giusta?
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Per quanto riguarda $ omega $, prendendo come polo il punto di intersezione tra il piano in cui giace la traiettoria della massa e l'altezza del cono, l'unica forza che produce un momento è la forza $ F $, che ha modulo e braccio costanti, quindi l'accelerazione angolare della massa sarà costante; dunque per trovare $ omega(t) $ bastano le leggi del moto circolare uniformemente accelerato; ovviamente tutto ciò è valido solo finchè la massa non si stacca dal cono, perchè a quel punto il braccio della forza $ F $ non sarà più costante. Per ricavare $ N(t) $ e $ T(t) $ io scriverei il seguente sistema:
$ { ( T(t)*cos(alpha)+ N(t)*sen(alpha) = m*g ),( T(t)*sen(alpha)- N(t)*cos(alpha) = m*omega(t)^2*r ):} $
la prima equazione è riferita alle componenti verticale di tensione e reazione normale, che devono eguagliare il peso,
la seconda è riferita alle componenti orizzontali di tensione e reazione, la cui risultante dev'essere pari in ogni istante precedente il distacco della massa dal cono alla forza centripeta, nella cui espressione $ r $ è il raggio della traiettoria circolare percorsa dalla massa. Anche questo sistema, quindi, vale finchè la massa non si distacca dal cono; per ottenere il tempo t* basta porre $ N(t) = 0 $
$ { ( T(t)*cos(alpha)+ N(t)*sen(alpha) = m*g ),( T(t)*sen(alpha)- N(t)*cos(alpha) = m*omega(t)^2*r ):} $
la prima equazione è riferita alle componenti verticale di tensione e reazione normale, che devono eguagliare il peso,
la seconda è riferita alle componenti orizzontali di tensione e reazione, la cui risultante dev'essere pari in ogni istante precedente il distacco della massa dal cono alla forza centripeta, nella cui espressione $ r $ è il raggio della traiettoria circolare percorsa dalla massa. Anche questo sistema, quindi, vale finchè la massa non si distacca dal cono; per ottenere il tempo t* basta porre $ N(t) = 0 $
Innanzitutto ti volevo ringraziare per la risposta, in seguito ti volevo chiedere:
Quando tu intendi l'unica forza che produce momento, intendi lungo la direzione del vettore velocità angolare, quindi l'altezza del cono?
Quando tu intendi l'unica forza che produce momento, intendi lungo la direzione del vettore velocità angolare, quindi l'altezza del cono?
Sì
Questo perchè la tensione, la reazione vincolare e la forza peso agiscono sul piano formato dall'altezza del cono(z) e il raggio vettore della massa(x)?. Quindi i momenti risultanti sarebbero tutti diretti perpendicolarmente a z, mentre a me interessa il momento angolare assiale di z. Perfetto. Grazie per questa delucidazione.
In seconda battuta ti volevo chiedere: per considerare la seconda relazione prendi un sistema di riferimento non inerziale con centro in O che ruoti con accelerazione pari a quella subita dalla massa in modo da poter scomporre le forze in direzione di x ed y?
Grazie per l'eventuale risposta
In seconda battuta ti volevo chiedere: per considerare la seconda relazione prendi un sistema di riferimento non inerziale con centro in O che ruoti con accelerazione pari a quella subita dalla massa in modo da poter scomporre le forze in direzione di x ed y?
Grazie per l'eventuale risposta
No in realtà ho considerato un sistema inerziale (per evitare forze fittizie) con centro in O.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo