Problema moti relativi

[Nexus991]

in un tratto rettilineo del corso del di un fiume, l'acqua scorre dal punto $A$ verso il punto $B$. Due amici $P$ e $C$, partono allo stesso istante da $A$, raggiungono $B$ e tornano in $A$, muovendosi di moto rettilineo. Entrambi impiegano un tempo trascurabile per invertire il verso del moto. $P$ cammina lungo l'argine del fiume con una velocità, rispetto alla terra, di modulo costante $v0$. $C$ utilizza una barca che si muove rispetto all'acqua con una velocità $v' = v0$. 1) Chi ritorna per primo in $A$?

Io l'ho svolto cosi:
Innanzitutto si pone un sistema di riferimento $S$ lungo l'argine del fiume, orientato con le $x$ positive nel verso in cui scorre la corrente. Poi si pone un altro sistema di riferimento $S'$ sul fiume, orientato con le $x$ positive nel verso in cui scorre la corrente. Ora $P$ e $C$ si muovo di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, dunque per trasformare le velocità possiamo usare le equazioni di trasformazione di Galileo:
$xp = xq + Vt'$, dove $V$ è la velocità con cui si muove il fiume rispetto all'argine. Si ricava:
$xq = v0t' $, $t = t'$ essendo il tempo un invariante.
Allora : $xp = v0t + Vt$ e $t = (AB)/(V + v0)$, mentre $t' = (AB)/(v0)$. Questo è quando per lo spazio percorso $AB$. Mentre il tempo totale è:
$t' = (2AB)/(v0)$ e $t = (2AB)/(V + v0)$, quindi impiega meno tempo $P$. Vi sembra corretto il ragionamento?

[mgrau]

E il tempo per il viaggio di ritorno non lo consideri? Per chi sta sull'argine è uguale, ma per quello che è in barca no.

[Nexus991]

Ci avevo pensato anche io, nel senso che dovrebbe essere frenato dalla corrente.
Allora il tempo di ritorno dovrebbe essere
$t' = (AB)/(V - v0)$ ?
Se è cosi :
Il tempo totale è: $AB(1/(V-v) + 1/v)$

[mgrau]

"Nexus99":
Allora il tempo di ritorno dovrebbe essere
$t' = (AB)/(V - v0)$ ?
Se è cosi :
Il tempo totale è: $AB(1/(V-v) + 1/v)$

Intanto sarà casomai $v_0 - V$ e non $V - v_0$.
Poi mi pare una espressione poco simmetrica, no? In uno dei due tratti, $V$ non conta?
Infine, direi che, senza fare conti, si potrebbe ragionare così: se $V > v_0$ quello che sta in barca non tornerà mai in A, quindi...

[Nexus991]

Hai ragione, però vista la seconda parte conviene calcolarlo, ne approfitto per scriverla, correggere e finire il problema:
2)Sapendo che $AB=L$ e che il ritardo del secondo sul primo è $\DeltaT$, determinare il modulo V della velocità della corrente rispetto all'argine. Esaminare numericamente il caso in cui $L = 1 km$, $v0 = 4 (km)/(h)$, $\DeltaT = 10 min$

Ripartendo dal punto 1, il tempo impegato da P per percorrere AB è:
$t = (AB)/(v0)$

il tempo impegato da C per percorrere AB è:
$t' = (AB)/(v0+V)$

il tempo impegato da P per percorrere BA è:
$t = (AB)/(v0)$

il tempo impegato da C per percorrere BA è:
$t' = (AB)/(v0-V)$

Per cui il tempo totale impiegato da P è: $t = (2AB)/(v0)$, mentre il tempo totale impiegato da Q è: $t' =(2ABv0)/(v0^2 - V^2)$. Risolvendo la disequazione $t ≥t'$ si ottiene: $1/(v0^2) ≥ 1/(v0^2 - V^2)$, che è vera solamente se $V = 0$, per cui, a meno che la corrente del fiume non scorra $t
2) $(2L(v0))/(v0^2 - V^2) - (2L)/(v0) = \DeltaT$
Si ottiene $V = 0.555 m/s$

Adesso è ok?