Problema momento di inerzia

[gjango]

Non riesco a risolvere la seconda parte di questo problema.
Una carrucola è costituita da due dischi omogenei aventi raggi rispettivamente r1= 0, 3 m e r2= 0, 2 m saldati tra loro e può ruotare senza attrito intorno ad un asse che passa per il suo centro di massa C; il momento d’inerzia rispetto a questo asse è I=12, 5 kgm^2 . Due masse m1= 12 kg e m2 sono collegate alla carrucola mediante due funi inestensibili e di massa trascurabile. Quanto deve valere la massa m2 affinché la carrucola non abbia un’accelerazione angolare ? Se sopra m1 viene posta una massa m3= 10 kg quanto vale l’accelerazione angolare della carrucola ?

Considerando la statica del sistema mi calcolo m2=18Kg a questo punto io so che M=I\(\displaystyle \alpha \) e quindi impongo
g(mi+m3)r1-gm2r2=I\(\displaystyle \alpha \), mi calcolo \(\displaystyle \alpha \) ma il risultato è sbagliato. Mi sapreste dire dove sbaglio?

[Quinzio]

Si risolve così:

$m_1a_1=m_1g-T_1$

$m_2a_2=m_2g-T_2$

$\alpha=a_1/r_1=-a_2/r_2$

$T_1r_1-T_2r_2=I\alpha$

$(-m_1a_1+m_1g)r_1+(m_2a_2-m_2g)r_2=I\alpha$

$(-m_1(-r_1/r_2 a_2)+m_1g)r_1+(m_2a_2-m_2g)r_2=I(-a_2/r_2)$

$(-m_1(-r_1 a_2)+m_1r_2g)r_1+(m_2a_2-m_2g)r_2^2=I(-a_2)$

$m_1r_1^2 a_2+m_1r_2r_1g+m_2r_2^2a_2-m_2r_2^2g+Ia_2=0$

$a_2=-r_2/r_1a_1=gr_2(m_2r_2-m_1r_1)/(m_1r_1^2+m_2r_2^2+I)$

[gjango]

Grazie!

[d.damato2]

"Quinzio":Si risolve così:

$m_1a_1=m_1g-T_1$

$m_2a_2=m_2g-T_2$

$\alpha=a_1/r_1=-a_2/r_2$

$T_1r_1-T_2r_2=I\alpha$

$(-m_1a_1+m_1g)r_1+(m_2a_2-m_2g)r_2=I\alpha$

$(-m_1(-r_1/r_2 a_2)+m_1g)r_1+(m_2a_2-m_2g)r_2=I(-a_2/r_2)$

$(-m_1(-r_1 a_2)+m_1r_2g)r_1+(m_2a_2-m_2g)r_2^2=I(-a_2)$

$m_1r_1^2 a_2+m_1r_2r_1g+m_2r_2^2a_2-m_2r_2^2g+Ia_2=0$

$a_2=-r_2/r_1a_1=gr_2(m_2r_2-m_1r_1)/(m_1r_1^2+m_2r_2^2+I)$

Ciao rivedendo questo problema mi è sorto un dubbio...se considero un sistema di riferimento con l'asse delle Y posto verso l'alto..le formule non diventa non con segno opposto ovvero.
$m_1a_1=-m_1g+T_1$

$m_2a_2=-m_2g+T_2$
Ma facendo così le Tensioni sono le somme delle rispettive masse ! Quindi il risultato diventa diverso...fatemi sapere perfavore

[fhabbio]

"d.damato2":
Ma facendo così le Tensioni sono le somme delle rispettive masse ! Quindi il risultato diventa diverso...fatemi sapere perfavore

Non capisco cosa intendi con "somma delle rispettive masse".
La tensione è una forza, la massa è...ehm...massa!

Comunque sia, dovrebbe venirti uguale ma coi segni cambiati...

[professorkappa]

e mi posso permettere, un ottimo sistema per risovere questi problemi con piu di 2 masse, e' l'equzione di lagrange.

In questo caso, scelta la rotazione antioraria del disco come coordinata lagrangiana, l'equazione dell'energia cinetica:

$ E=1/2m_1r_1^2\dot\theta^2+1/2m_2r_2^2\dot\theta^2+1/2I\dot\theta^2 $

e il potenziale

$ U=m_1gr_1\theta-m_2gr_2\theta $

Applicando Lagrange, si ottiene l'equazione risolutiva:

$ (m_1r_1^2+m_2r_2^2+I)\ddot\theta=m_1gr_1-m_2gr_2 $

da cui, risolvendo: $ \ddot\theta =g*{m_1r_1-m_2r_2}/{m_1r_1^2+m_2r_2^2+I $

Con 2 equazioni te la cavi velocemente (senza nulla togliere, ovviamente al metodo dinamico impostato prima, che pero' ti forza a introdurre le tensioni, che a te non servono in questo caso, perche' non richieste).

[d.damato2]

"fhabbio":[quote="d.damato2"]
Ma facendo così le Tensioni sono le somme delle rispettive masse ! Quindi il risultato diventa diverso...fatemi sapere perfavore

Non capisco cosa intendi con "somma delle rispettive masse".
La tensione è una forza, la massa è...ehm...massa!

Comunque sia, dovrebbe venirti uguale ma coi segni cambiati...[/quote]
Scusami mi sono espresso male......impostando il sistema di riferimento verso l'alto l'equazione diventa $ m_1*a_1 = T_1 - m_1*g $ da qui -----> si arriva a $ T_1=m_1*a_1 + m_1*g $ e non come scrive sta scritto sopra ovvero $ T_1=m_1*a_1 - m_1*g $
Quindi il risultato diventa diverso!...a meno che la massa 1 per accelerazione del blocco non la pongo con segno negativo....