Problema molla + urto
Due corpi puntiformi $C_1$ e $C_2$, di masse $m_1$ e $m_2=2m_1$, in quiete su un asse orizzontale liscio, sono uniti tra loro da una molla di costante elastica $k$ e lunghezza di riposo $l_0$. Un terzo corpo $C_3$, pure esso puntiforme e di massa $m_3$, in moto con velocità $v_0$ lungo l'asse, colpisce $C_2$ rimanendovi attaccato; l'urto avviene in un tempo trascurabile. Si determini la contrazione massima $\delta_(max)$ della molla.
Ho provato a usare la conservazione dell'energia meccanica e mi viene: $1/2m_3v_0^2=1/2(m_1+m_2+m_3)v_f^2+1/2k\delta_(max)^2$ ma ho 2 incognite ($v_f$ e $\delta_(max)$e non riesco a trovare un'altra equazione da mettere a sistema..
allora ho provato a usare la prima equazione cardinale e mi viene un sistema di 2 equazioni differenziali in 2 incognite che non riesco a risolvere:
(mettendo l'asse x diretto come il moto, chiamo $x_1$ la posizione di $m_1$ e $x_2$ quella di $(m_2+m_3)$)
$m_1(d^2x_1')/dt^2=-k(x_1-x_2-l_0)$
$(m_2+m_3)(d^2x_2)/dt^2=k(x_1-x_2-l_0)$
mi date qualche consiglio?
Ho provato a usare la conservazione dell'energia meccanica e mi viene: $1/2m_3v_0^2=1/2(m_1+m_2+m_3)v_f^2+1/2k\delta_(max)^2$ ma ho 2 incognite ($v_f$ e $\delta_(max)$e non riesco a trovare un'altra equazione da mettere a sistema..
allora ho provato a usare la prima equazione cardinale e mi viene un sistema di 2 equazioni differenziali in 2 incognite che non riesco a risolvere:
(mettendo l'asse x diretto come il moto, chiamo $x_1$ la posizione di $m_1$ e $x_2$ quella di $(m_2+m_3)$)
$m_1(d^2x_1')/dt^2=-k(x_1-x_2-l_0)$
$(m_2+m_3)(d^2x_2)/dt^2=k(x_1-x_2-l_0)$
mi date qualche consiglio?
Risposte
.....................
La massa 3 non è la somma delle altre 2, non c'è scritto da nessuna parte..e l'interazione fra i 2 corpi collegati non è chiaramente un urto, poichè l'urto per definizione è una forza molto elevata applicata in un tempo piccolissimo, e non mi sembra proprio il caso della molla.. poi il problema è scritto chiaramente, quello che succede spetta a noi capirlo, non penso che ci debbano essere date altre informazioni
La quantità di moto del sistema $m_3v_0$ si conserva.
L'energia del sistema non si conserva nel primo (e unico) urto, ma poi si conserva.
La velocità di $m_2$ e $m_3$ dopo l'urto è $(m_3v_0)/(m_2+m_3)$ e quindi l'energia cinetica del sistema è $1/2(m_3v_0)^2/(m_2+m_3)$.
Dopo l'urto si conserva sia l'energia del sistema che la quantità di moto.
Quando la molla è massimamente compressa, calcoliamo la velocità imponendo la conservazione della qdm, velocità che sarà $(m_3v_0)/(m_1+m_2+m_3)$, con energia cinetica $1/2(m_3v_0)^2/(m_1+m_2+m_3)$.
Parte dell'energia si è trasferita quindi da cinetica a potenziale nella molla,
energia pari a $1/2(m_3v_0)^2/(m_2+m_3)-1/2(m_3v_0)^2/(m_1+m_2+m_3)=1/2(m_3v_0)^2 m_1/((m_1+m_2)(m_1+m_2+m_3))$.
Con la formula dell'energia potenziale della molla $1/2kx^2$ troviamo la compressione della molla.
$x=(m_3v_0)/\sqrt k \sqrt(m_1/((m_1+m_2)(m_1+m_2+m_3)))$
L'energia del sistema non si conserva nel primo (e unico) urto, ma poi si conserva.
La velocità di $m_2$ e $m_3$ dopo l'urto è $(m_3v_0)/(m_2+m_3)$ e quindi l'energia cinetica del sistema è $1/2(m_3v_0)^2/(m_2+m_3)$.
Dopo l'urto si conserva sia l'energia del sistema che la quantità di moto.
Quando la molla è massimamente compressa, calcoliamo la velocità imponendo la conservazione della qdm, velocità che sarà $(m_3v_0)/(m_1+m_2+m_3)$, con energia cinetica $1/2(m_3v_0)^2/(m_1+m_2+m_3)$.
Parte dell'energia si è trasferita quindi da cinetica a potenziale nella molla,
energia pari a $1/2(m_3v_0)^2/(m_2+m_3)-1/2(m_3v_0)^2/(m_1+m_2+m_3)=1/2(m_3v_0)^2 m_1/((m_1+m_2)(m_1+m_2+m_3))$.
Con la formula dell'energia potenziale della molla $1/2kx^2$ troviamo la compressione della molla.
$x=(m_3v_0)/\sqrt k \sqrt(m_1/((m_1+m_2)(m_1+m_2+m_3)))$
cerchiamo di riscattarci dalle c...te dette nel post precedente
appena dopo l'urto la velocità delle masse $m_2,m_3$ è
$v=frac{m_3v_0}{m_2+m_3}$ (urto perfettamente anelastico)
dette $x_1$ la posizione di $m_1$ ed $x_2$ le posizioni di $m_2 ,m_3$ rispetto alla posizione di equilibrio,si ha
$frac{d^2x_1}{dt^2}=frac{k}{m_1}(x_2-x_1)$
e
$frac{d^2x_2}{dt^2}=frac{k}{m_2+m_3}(x_1-x_2)$
cioè
$frac{d^2(x_1-x_2)}{dt^2}= -(frac{k}{m_1}+frac{k}{m_2+m_3})(x_1-x_2)$
posto $y=x_1-x_2$ e $omega^2=(frac{k}{m_1}+frac{k}{m_2+m_3})$
si ha il seguente problema di Cauchy
$frac{d^2y}{dt^2}+omega^2y=0;y(0)=0;y'(0)=-v$
che ha come soluzione
$y=-frac{v}{omega}senomega t$
la massima compressione della molla è quindi uguale a $frac{v}{omega}=frac{m_3v_0} {sqrt{k}}sqrt{frac{m_1}{(m_2+m_3)(m_1+m_2+m_3)}$
l'onore è salvo!
appena dopo l'urto la velocità delle masse $m_2,m_3$ è
$v=frac{m_3v_0}{m_2+m_3}$ (urto perfettamente anelastico)
dette $x_1$ la posizione di $m_1$ ed $x_2$ le posizioni di $m_2 ,m_3$ rispetto alla posizione di equilibrio,si ha
$frac{d^2x_1}{dt^2}=frac{k}{m_1}(x_2-x_1)$
e
$frac{d^2x_2}{dt^2}=frac{k}{m_2+m_3}(x_1-x_2)$
cioè
$frac{d^2(x_1-x_2)}{dt^2}= -(frac{k}{m_1}+frac{k}{m_2+m_3})(x_1-x_2)$
posto $y=x_1-x_2$ e $omega^2=(frac{k}{m_1}+frac{k}{m_2+m_3})$
si ha il seguente problema di Cauchy
$frac{d^2y}{dt^2}+omega^2y=0;y(0)=0;y'(0)=-v$
che ha come soluzione
$y=-frac{v}{omega}senomega t$
la massima compressione della molla è quindi uguale a $frac{v}{omega}=frac{m_3v_0} {sqrt{k}}sqrt{frac{m_1}{(m_2+m_3)(m_1+m_2+m_3)}$
l'onore è salvo!
"raf85":
cerchiamo di riscattarci dalle c...te dette nel post precedente
a quale post precedente stai facendo riferimento?
al mio,naturalmente
come vedi,per pudore,l'ho anche cancellato
come vedi,per pudore,l'ho anche cancellato
Grazie per le soluzioni di entrambi, ero a un passo da quel che ho visto ma non riuscivo ad arrivarci 
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