Problema meccanica razionale
due corpi di massa m1 m2 legati assieme ad una molla di costante elastica k
scendono lungo un piano inclinato di angolo $alpha$.
Si consideri la superficie ideale e scrivere l'equazioni del moto nel
formalismo lagrangiano utilizzando come coordinate q1 riferito m1
e q2 riferito m2 rispetto al versore $vec(e1)$ parallelo al piano con
origine situata nel punto di incrocio tra il piano inclinato e l'ascissa orizzontale
di un sistema di riferimento solidale alla terra.
$vec(e1)=-cos(alpha) k1 + sin(alpha) k2$ k1 k2 versori degli assi del sistema solidale
alla terra.
Alla fine ottengo un sistema di equazioni diff del secondo ordine
$m1 ddot q_1=-h_1 -k(q_1-q_2)$
$m2 ddot q_2=-h_2 -k(q_2-q_1)$
m1 m2 h1 e h2 costanti
$h_1 = m1g/sinalpha , h_2 = m2g/sinalpha$
mi domando se il sistema che ho raggiunto è corretto perchè è da poco
che studio queste cose e dato che non riesco a risolvere il sistema....penso di
aver fatto qualche errore...
scendono lungo un piano inclinato di angolo $alpha$.
Si consideri la superficie ideale e scrivere l'equazioni del moto nel
formalismo lagrangiano utilizzando come coordinate q1 riferito m1
e q2 riferito m2 rispetto al versore $vec(e1)$ parallelo al piano con
origine situata nel punto di incrocio tra il piano inclinato e l'ascissa orizzontale
di un sistema di riferimento solidale alla terra.
$vec(e1)=-cos(alpha) k1 + sin(alpha) k2$ k1 k2 versori degli assi del sistema solidale
alla terra.
Alla fine ottengo un sistema di equazioni diff del secondo ordine
$m1 ddot q_1=-h_1 -k(q_1-q_2)$
$m2 ddot q_2=-h_2 -k(q_2-q_1)$
m1 m2 h1 e h2 costanti
$h_1 = m1g/sinalpha , h_2 = m2g/sinalpha$
mi domando se il sistema che ho raggiunto è corretto perchè è da poco
che studio queste cose e dato che non riesco a risolvere il sistema....penso di
aver fatto qualche errore...
Risposte
Il sistema risultante, così a occhio mi sembra corretto...infatti, senza risolverlo, si vede che:
- nel caso in cui i due corpi siano uniti dalla molla in posizione di riposo, questa non interverrà mai visto che l'accelerazione è uguale per entrambi i corpi. Per cui risulterà, secondo le leggi del moto in quel caso, che l'accelerazione sarà costante per entrambi e (guardando le equazioni che hai scritto con $m_1,m_2,h_1,h_2=cost$) risulterà per forza $q_1-q_2=cost$...infatti abbiamo appena detto che la molla è a riposo, quindi non agisce, quindi non varuia la distanza relativa tra i corpi...YES!!
- nel caso in cui, invece, la molla sia al lavoro, la distanza tra i corpi lungo la discesa varierebbe con legge sinusoidale...infatti in quel caso la derivata seconda degli spostamenti $q_1$ e $q_2$ non è più costante...e questa risulta essere proprio l'accelerazione, che anche intuitivamente non può essere costante se mentre cadono c'è la molla che alternativamente li tira e li spinge, li tira e li spinge...e anche questa è attendibile!!
Inoltre, senza andare nei particolari della soluzione...ti assicuro che è giusta
Ciao ciao!!
- nel caso in cui i due corpi siano uniti dalla molla in posizione di riposo, questa non interverrà mai visto che l'accelerazione è uguale per entrambi i corpi. Per cui risulterà, secondo le leggi del moto in quel caso, che l'accelerazione sarà costante per entrambi e (guardando le equazioni che hai scritto con $m_1,m_2,h_1,h_2=cost$) risulterà per forza $q_1-q_2=cost$...infatti abbiamo appena detto che la molla è a riposo, quindi non agisce, quindi non varuia la distanza relativa tra i corpi...YES!!
- nel caso in cui, invece, la molla sia al lavoro, la distanza tra i corpi lungo la discesa varierebbe con legge sinusoidale...infatti in quel caso la derivata seconda degli spostamenti $q_1$ e $q_2$ non è più costante...e questa risulta essere proprio l'accelerazione, che anche intuitivamente non può essere costante se mentre cadono c'è la molla che alternativamente li tira e li spinge, li tira e li spinge...e anche questa è attendibile!!
Inoltre, senza andare nei particolari della soluzione...ti assicuro che è giusta
Ciao ciao!!
Fai solo attenzione ad una cosa: per $\alpha=0$ si dovrebbe ottenere il caso di piano orizzontale, mentre guarda cosa succede nei tuoi termini $h_1$ e $h_2$.
Per ricavare le equazioni non hai nemmeno bisogno di scrivere la forma esplicita del versore $vec(e_1)$: la lagrangiana è $L=\frac{1}{2}m_1\dot{q_1}^2+\frac{1}{2}m_2\dot{q_2}^2-\frac{1}{2}k(q_1-q_2)^2-m_1gq_1sin\alpha-m_2gq_2sin\alpha$ (il verso positivo di $q_1$ e $q_2$ è "in salita"), e le equazioni del moto sono le equazioni di Euler-Lagrange $\frac{\partialL}{\partialq_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partialL}{\partial\dot{q_i}}=0$, che forniscono proprio le equazioni che hai scritto, a meno del punto suggerito sopra.
Il sistema che ottieni è un usuale sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, il suo metodo di risoluzione lo trovi su qualsiasi testo di meccanica classica o nei primi capitoli di analisi 2.
Per ricavare le equazioni non hai nemmeno bisogno di scrivere la forma esplicita del versore $vec(e_1)$: la lagrangiana è $L=\frac{1}{2}m_1\dot{q_1}^2+\frac{1}{2}m_2\dot{q_2}^2-\frac{1}{2}k(q_1-q_2)^2-m_1gq_1sin\alpha-m_2gq_2sin\alpha$ (il verso positivo di $q_1$ e $q_2$ è "in salita"), e le equazioni del moto sono le equazioni di Euler-Lagrange $\frac{\partialL}{\partialq_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partialL}{\partial\dot{q_i}}=0$, che forniscono proprio le equazioni che hai scritto, a meno del punto suggerito sopra.
Il sistema che ottieni è un usuale sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, il suo metodo di risoluzione lo trovi su qualsiasi testo di meccanica classica o nei primi capitoli di analisi 2.
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