Problema massa ridotta
Avevo dei dubbi per quanto riguarda il concetto di massa ridotta e il suo utilizzo...
Provo a illustrare per esempio i dubbi che ho avuto guardando a una parte della soluzione di questo esercizio:
Ci sono due particelle di massa $m_1$ e $m_2$, di cui la prima si muove con velocità $u_1$ e la seconda è ferma. Supponiamo che nell'impatto si perda una quantità di energia prestabilita $\Delta E$. Calcolare la velocità relativa dop l'urto fra le 2 masse.
Nella soluzione si scrive inizialmente in due modi l' energia cinetica:
$ K= 1/2 m_1 u_{1}^2 +1/2 m_2 u_{2}^2=1/2 MU^2+ 1/2 \mu v_{rel}^2 $
con $M$ massa del CM e $U$ velocità del CM.
Qui c'è il primo dubbio: perchè quando usa la velocità relativa al secondo membro mette la massa ridotta? Da dove deriva questa cosa?
Successivamente si continua dicendo che l' energia cinetica del centro dei massa rimane uguale perchè si conserva la quantità di moto $MU$, e allora cambia l' energia cinetica relativa e basta, per cui:
$1/2 \mu u_{1}^2=1/2 \mu v_{rel}^2 + \DeltaE$
E anche qui non ho capito: perchè si usa la massa ridotta? In particolare al membro a sinistra, perchè non dovrebbe esserci semplicemente $m_1$ invece di $\mu$? Credo che derivi dal fatto di scegliere il riferimento del CM e dalle proprietà della massa ridotta che, guardando a questo esercizio, credo proprio di non aver capito
....
Grazie in anticipo dell' aiuto!
Provo a illustrare per esempio i dubbi che ho avuto guardando a una parte della soluzione di questo esercizio:
Ci sono due particelle di massa $m_1$ e $m_2$, di cui la prima si muove con velocità $u_1$ e la seconda è ferma. Supponiamo che nell'impatto si perda una quantità di energia prestabilita $\Delta E$. Calcolare la velocità relativa dop l'urto fra le 2 masse.
Nella soluzione si scrive inizialmente in due modi l' energia cinetica:
$ K= 1/2 m_1 u_{1}^2 +1/2 m_2 u_{2}^2=1/2 MU^2+ 1/2 \mu v_{rel}^2 $
con $M$ massa del CM e $U$ velocità del CM.
Qui c'è il primo dubbio: perchè quando usa la velocità relativa al secondo membro mette la massa ridotta? Da dove deriva questa cosa?
Successivamente si continua dicendo che l' energia cinetica del centro dei massa rimane uguale perchè si conserva la quantità di moto $MU$, e allora cambia l' energia cinetica relativa e basta, per cui:
$1/2 \mu u_{1}^2=1/2 \mu v_{rel}^2 + \DeltaE$
E anche qui non ho capito: perchè si usa la massa ridotta? In particolare al membro a sinistra, perchè non dovrebbe esserci semplicemente $m_1$ invece di $\mu$? Credo che derivi dal fatto di scegliere il riferimento del CM e dalle proprietà della massa ridotta che, guardando a questo esercizio, credo proprio di non aver capito
....Grazie in anticipo dell' aiuto!
Risposte
Basta risolvere il seguente sistema:
$\{(m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)U),(u_1-u_2=v_(rel)):} rarr \{(u_1=U+m_2/(m_1+m_2)v_(rel)),(u_2=U-m_1/(m_1+m_2)v_(rel)):}$
e sostituire:
$1/2m_1u_1^2+1/2m_2u_2^2=$
$=1/2m_1(U+m_2/(m_1+m_2)v_(rel))^2+1/2m_2(U-m_1/(m_1+m_2)v_(rel))^2=$
$=1/2(m_1+m_2)U^2+1/2(m_1m_2)/(m_1+m_2)v_(rel)^2=$
$=1/2MU^2+1/2\muv_(rel)^2$
$\{(m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)U),(u_1-u_2=v_(rel)):} rarr \{(u_1=U+m_2/(m_1+m_2)v_(rel)),(u_2=U-m_1/(m_1+m_2)v_(rel)):}$
e sostituire:
$1/2m_1u_1^2+1/2m_2u_2^2=$
$=1/2m_1(U+m_2/(m_1+m_2)v_(rel))^2+1/2m_2(U-m_1/(m_1+m_2)v_(rel))^2=$
$=1/2(m_1+m_2)U^2+1/2(m_1m_2)/(m_1+m_2)v_(rel)^2=$
$=1/2MU^2+1/2\muv_(rel)^2$
Se invece mi interessasse trovare il moto relativo fra le 2 masse potrei prendere il sistema di riferimento del centro di massa e fare in modo che la quantità di moto del centro di massa sia 0. In questo sistema (ipotizzando che sia isolato e che non agiscano forze esterne) si conserva quantità di moto, energia e momento angolare. Allora posso trattare $\mu$ e $r$ come massa e velocità di un singolo corpo giusto? Cioè il problema e le formule in questo caso si riconducono a quelle che avrei normalmente per un corpo solo, anche se in realtà le due grandezze rappresentano una massa ridotta e una velocità relativa?
Per esempio, supponiamo di avere un sistema di due corpi che ruotano entrambi attaccati all'estremità di una barra di massa trascurabile e in assenza di attrito e forze esterne. Allora se volessi calcolare il momento angolare totale, dovrei calcolare il momento angolare del centro di massa e il momento angolare nel centro di massa per poi sommarli. Allora il momento angolare del centro di massa si trova considerando tutta la massa del sistema nel cm, mentre il momento nel riferimento del centro di massa è dato solo dalla rotazione delle due masse agli estremi della barra. Allora sarebbe corretto dire che tale momento angolare vale $\mu v \times L$ con $L$ lunghezza della barra? E se è corretto, perchè lo è? Mentre se è sbagliato, quale sarebbe il ragionamento giusto da fare? Faccio tante domande perchè veramente quest' argomento faccio abbastanza fatica a capirlo..
Per esempio, supponiamo di avere un sistema di due corpi che ruotano entrambi attaccati all'estremità di una barra di massa trascurabile e in assenza di attrito e forze esterne. Allora se volessi calcolare il momento angolare totale, dovrei calcolare il momento angolare del centro di massa e il momento angolare nel centro di massa per poi sommarli. Allora il momento angolare del centro di massa si trova considerando tutta la massa del sistema nel cm, mentre il momento nel riferimento del centro di massa è dato solo dalla rotazione delle due masse agli estremi della barra. Allora sarebbe corretto dire che tale momento angolare vale $\mu v \times L$ con $L$ lunghezza della barra? E se è corretto, perchè lo è? Mentre se è sbagliato, quale sarebbe il ragionamento giusto da fare? Faccio tante domande perchè veramente quest' argomento faccio abbastanza fatica a capirlo..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo