Problema energetico con guida circolare
Ho questo problema che è svolto nel libro: un punto si muove su un asse orizzontale liscio con velocità $v_0$. Quando passa nella posizione $A$ esso inizia a salire lungo una guida circolare liscia di raggio $R$, che giace in un piano verticale.. Calcolare la velocità del punto e la reazione vincolare della guida in $B$ e in $C$. Qual'è il valore minimo di $v_0$ affinchè il punto arrivi in $C$ mantenendo il contatto con la guida?
Il libro ha ricavato prima la velocità in $B$ e in $C$ e fin lì è tutto chiaro, poi scrive questa equazione:
$N-mgcosTheta=mv^2/R$. Qui già con capisco il perchè del $cosTheta$, poi nel libro i sono le equazioni della reazione normale in ogni punto:
In $A$ vale $N-mg=mv_0^2/R$ il che implica $N_a=mv_0^2/R+mg$ e questo mi è chiaro.
In $B$ vale $N=mv_B^2/R$ il che implica $N_b=mv_0^2/R-2mg$ e qui non capisco il perchè del $-2mg$ e perchè non c'è nessun contributo $mg$ nel membro di sinistra nella prima uguaglianza.
In $C$ vale $N+mg=mv_C^2/R$ il che implica che $N_C=mv_0^2/R-5mg$ e qui non capisco il perchè del $-5mg$.
Potreste gentilmente chiarire questi dubbi, perfavore?
Il libro ha ricavato prima la velocità in $B$ e in $C$ e fin lì è tutto chiaro, poi scrive questa equazione:
$N-mgcosTheta=mv^2/R$. Qui già con capisco il perchè del $cosTheta$, poi nel libro i sono le equazioni della reazione normale in ogni punto:
In $A$ vale $N-mg=mv_0^2/R$ il che implica $N_a=mv_0^2/R+mg$ e questo mi è chiaro.
In $B$ vale $N=mv_B^2/R$ il che implica $N_b=mv_0^2/R-2mg$ e qui non capisco il perchè del $-2mg$ e perchè non c'è nessun contributo $mg$ nel membro di sinistra nella prima uguaglianza.
In $C$ vale $N+mg=mv_C^2/R$ il che implica che $N_C=mv_0^2/R-5mg$ e qui non capisco il perchè del $-5mg$.
Potreste gentilmente chiarire questi dubbi, perfavore?
Risposte
Questo è il "giro della morte” . Ci sono centinaia di discussioni al riguardo; questa è una risposta:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8397463
Questa è un’altra risposta :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8363795
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8397463
Questa è un’altra risposta :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8363795
In uno dei link da te proposti, ho trovato in un post di Shakle questa equazione: $R+mg=ma$, ma io invece ho questa che dovrebbe indicare la stessa cosa ma è diversa: $N-mgcosTheta=mv^2/R$
Ma adesso questo punto l'ho chiarito.
Quel coseno ti permette semplicemente di trovare la componente radiale della forza peso che andrà a sommarsi con la normale per ottenere la forza centripeta.
Per quanto riguarda i calcoli delle normali prova a pensare alla conservazione dell'energia.
Ad esempio in B hai che
\[
v_B^2=\sqrt{v_0^2-2gR}
\]
(dall'equazione della conservazione dell'energia meccanica)
dunnque
\[
m\frac{v_B^2}{R}=m\frac{v_0^2-2gR}{R}=m\frac{v_0^2}{R}-2mg.
\]
Il discorso dovrebbe essere analogo per il punto C.
Per quanto riguarda i calcoli delle normali prova a pensare alla conservazione dell'energia.
Ad esempio in B hai che
\[
v_B^2=\sqrt{v_0^2-2gR}
\]
(dall'equazione della conservazione dell'energia meccanica)
dunnque
\[
m\frac{v_B^2}{R}=m\frac{v_0^2-2gR}{R}=m\frac{v_0^2}{R}-2mg.
\]
Il discorso dovrebbe essere analogo per il punto C.
L’equazione che ha scritto quella buona anima di Shackle ( no, non è defunto ) è vettoriale:
$vecR + mvecg = mveca$
sai proiettarla sulla direzione radiale? Rileggi bene le risposte che ti ho fornito come link, c’è tutto il necessario.
$vecR + mvecg = mveca$
sai proiettarla sulla direzione radiale? Rileggi bene le risposte che ti ho fornito come link, c’è tutto il necessario.
Grazie Pierlu, ho capito benissimo. Five, ho riletto bene ed ho effettivamente capito. Vorei però chiarire meglio la questione perchè leggendo su altri siti lo stesso argomento ho confuso ancora di più le idee. In particolare non capisco come sia messa la forza normale. Inizio dicendo come l'ho capito io:
la forza peso è in ogni punto perpendicolare verso il basso, la forza centripeta è diretta verso il centro ma la forza normale? In $A$ la normale è perpendilare al piano e in verso opposto al peso, ma in $B$ è parallela al raggio ma diretta verso l'esterno? E in $C$ esiste oppure è zero? E se esiste è uscente o diretta verso il centro?
la forza peso è in ogni punto perpendicolare verso il basso, la forza centripeta è diretta verso il centro ma la forza normale? In $A$ la normale è perpendilare al piano e in verso opposto al peso, ma in $B$ è parallela al raggio ma diretta verso l'esterno? E in $C$ esiste oppure è zero? E se esiste è uscente o diretta verso il centro?
La normale è la reazione della guida su cui poggia il corpo, quindi è opposta alla forza premente. Se la palla "tende a schiacciarsi" sulla guida, la normale risponderà verso l'interno. Invece la normale nulla è il caso limite dopo il quale il corpo non tocca più la guida perchè vuol dire che questa non risponde a nessuna forza premente.
Perfetto, ora è chiaro, grazie mille!
Avrei un'ulteriore dubbio: in effetti è vero che la normale e diretta verso il basso, ma per esempio considerando questo modello sulle montagne russe, perchè il vagone non cada, ci deve essere una forza da parte dei binari che tiri a se il vagone. Quesa che tipo di forza è? Poi, l'altro dubbio riaguarda le accelerazioni: essendoci la forza centripeta c'è anche l'accelerazione centripeta, ma c'è anche l'accelerazione tangenziale. Questa ha effetti sul moto?
"ZfreS":
..., ci deve essere una forza da parte dei binari che tiri a se il vagone.
No, non c'è.
Se ad un certo punto i binari sparissero che fine farebbe il vagone? Partirebbe per la tangente come si suol dire, andrebbe dritto; i binari servono per farlo curvare ...
Certo, ma se i binari ci fossero ma le ruote non fossero ancorate ad essi, cadrebbe giù
L'importante è che è presente una forza centrale (forza centripeta) con la giusta intensità che permetta al vagone di compiere un moto circolare... è proprio il ratto che la forza è ti tipo radiale che fa curvare il vagone anziché precipitarlo verso il basso.
@Zfres
deduco che non hai letto bene i link che ti ho dato, che contengono altri link. Leggi questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8355857
la guida circolare è un vincolo unilatero, non bilatero. Cioè applica al corpo che scivola una forza sempre centripeta, ovvero diretta verso il centro. Il calcolo ti porta a stabilire qual è la minima velocità che il corpo deve avere nel punto più basso, dove si immette nella guida, affinché arrivi in alto senza staccarsi, ma con reazione nulla della guida nel punto piu alto! Il corpo non si stacca dalla guida, nel punto più alto, se ha velocità in tale punto uguale a :
$v= sqrt(gr)$
e questa si ottiene (guarda le figure sotto spoiler) ponendo al minimo la reazione della guida in quel punto : il minimo è zero, per cui hai che la forza centripeta è data dal solo peso :
$mv^2/r = mg rarr v = sqrt(gr) $
ma nota che se in quel momento la guida sparisse il corpo partirebbe come un proiettile sparato con la velocità $v$ ora calcolata, diretta orizzontalmente, ovvero come un grave lanciato con velocità orizzontale $v$ dall’ altezza $2r$ . Invece questo non succede, e il corpo continua a rimanere attaccato alla guida, la cui reazione vincolare comincia nuovamente a manifestarsi e a crescere di intensità.
Per trovare la velocità $v_0$ con cui deve entrare nel loop in basso, è sufficiente scrivere la conservazione dell’energia :
$1/2mv_0^2 = 1/2mv^2 + mg*2r = 1/2mgr + 2mgr rarr + v_0 = sqrt(5gr) $
Ma naturalmente i costruttori di montagne russe si guardano bene dal costruire la guida come vincolo unilatero, anzi il vagone è saldamente agganciato ai binari lungo tutto il percorso, per ovvie ragioni di sicurezza .
deduco che non hai letto bene i link che ti ho dato, che contengono altri link. Leggi questo :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8355857
la guida circolare è un vincolo unilatero, non bilatero. Cioè applica al corpo che scivola una forza sempre centripeta, ovvero diretta verso il centro. Il calcolo ti porta a stabilire qual è la minima velocità che il corpo deve avere nel punto più basso, dove si immette nella guida, affinché arrivi in alto senza staccarsi, ma con reazione nulla della guida nel punto piu alto! Il corpo non si stacca dalla guida, nel punto più alto, se ha velocità in tale punto uguale a :
$v= sqrt(gr)$
e questa si ottiene (guarda le figure sotto spoiler) ponendo al minimo la reazione della guida in quel punto : il minimo è zero, per cui hai che la forza centripeta è data dal solo peso :
$mv^2/r = mg rarr v = sqrt(gr) $
ma nota che se in quel momento la guida sparisse il corpo partirebbe come un proiettile sparato con la velocità $v$ ora calcolata, diretta orizzontalmente, ovvero come un grave lanciato con velocità orizzontale $v$ dall’ altezza $2r$ . Invece questo non succede, e il corpo continua a rimanere attaccato alla guida, la cui reazione vincolare comincia nuovamente a manifestarsi e a crescere di intensità.
Per trovare la velocità $v_0$ con cui deve entrare nel loop in basso, è sufficiente scrivere la conservazione dell’energia :
$1/2mv_0^2 = 1/2mv^2 + mg*2r = 1/2mgr + 2mgr rarr + v_0 = sqrt(5gr) $
Ma naturalmente i costruttori di montagne russe si guardano bene dal costruire la guida come vincolo unilatero, anzi il vagone è saldamente agganciato ai binari lungo tutto il percorso, per ovvie ragioni di sicurezza .
Perfetto Five, grazie ancora per l'ulteriore chiarimento!
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