Problema elettromagnetismo
Ciao a tutti, sto incontrando qualche difficoltà con questo problema:
Una sbarretta conduttrice di massa $m=9.85*10^-3$ e lunghezza $ a = 0.205 m$, orizzontale, può muoversi senza attrito lungo due guide metalliche parallele tra loro e verticali connesse tramite una resistenza $R = 12.8 \Omega $ in una regione di campo magnetico uniforme ortogonale al piano del circuito e di intensità $ B = 1.45 T$ . All'istante t=0 la sbarretta viene lasciata cadere con velocità iniziale nulla, determinare la velocità in m/s all'istante $t_0 = (mR)/(B^2*a^2)$ (si utilizzi per l'accelerazione di gravità il valore $g = 9,81 m/s^2$).
Il mio ragionamento era questo:
la derivata temporale del flusso di B è l'opposto della fem:
$fem = -d(Bax)/dt = -Bax dx/dt = -Badot x$
dove x è la coordinata che indica la porzione verticale di circuito (che comprende la sbarretta, le due guide e il filo che possiamo immaginare che colleghi le due guide con la resistenza) e cambia col tempo in funzione dello spostamento della sbarretta.
$fem = iR$ quindi $i= -Badot x/R$
per la sbarretta vale $F_L = iaB = -(B^2a^2)/Rdot x$
$ddot x = -(B^2a^2)/(mR)dot x$ ovvero $x = e^((B^2a^2)/(mR)t)$
A questa accelerazione riferita alla forza di Lorentz $F_L $ sommo l'accelerazione g, integro fra t e $t_0$ in dt e ottengo la velocità. Però il risultato non torna. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio? Grazie.
Una sbarretta conduttrice di massa $m=9.85*10^-3$ e lunghezza $ a = 0.205 m$, orizzontale, può muoversi senza attrito lungo due guide metalliche parallele tra loro e verticali connesse tramite una resistenza $R = 12.8 \Omega $ in una regione di campo magnetico uniforme ortogonale al piano del circuito e di intensità $ B = 1.45 T$ . All'istante t=0 la sbarretta viene lasciata cadere con velocità iniziale nulla, determinare la velocità in m/s all'istante $t_0 = (mR)/(B^2*a^2)$ (si utilizzi per l'accelerazione di gravità il valore $g = 9,81 m/s^2$).
Il mio ragionamento era questo:
la derivata temporale del flusso di B è l'opposto della fem:
$fem = -d(Bax)/dt = -Bax dx/dt = -Badot x$
dove x è la coordinata che indica la porzione verticale di circuito (che comprende la sbarretta, le due guide e il filo che possiamo immaginare che colleghi le due guide con la resistenza) e cambia col tempo in funzione dello spostamento della sbarretta.
$fem = iR$ quindi $i= -Badot x/R$
per la sbarretta vale $F_L = iaB = -(B^2a^2)/Rdot x$
$ddot x = -(B^2a^2)/(mR)dot x$ ovvero $x = e^((B^2a^2)/(mR)t)$
A questa accelerazione riferita alla forza di Lorentz $F_L $ sommo l'accelerazione g, integro fra t e $t_0$ in dt e ottengo la velocità. Però il risultato non torna. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio? Grazie.
Risposte
"spina3003":
$ddot x = -(B^2a^2)/(mR)dot x$ ovvero $x = e^((B^2a^2)/(mR)t)$
Siamo sicuri?
"spina3003":
... A questa accelerazione riferita alla forza di Lorentz $F_L $ sommo l'accelerazione g, ...
... e vai a risolvere la seguente equazione differenziale
$\dot v=-(B^2a^2)/(mR) v +g$
Scrivendo mi sono dimenticata un meno all'esponente... ma sul quaderno avevo scritto giusto :)
Non mi torna comunque con $x = e^(-(B^2a^2)/(mR)t$
... oppure è sbagliata anche questa? Grazie
Non mi torna comunque con $x = e^(-(B^2a^2)/(mR)t$
... oppure è sbagliata anche questa? Grazie
"spina3003":
... Non mi torna comunque con $x = e^(-(B^2a^2)/(mR)t$ ...
Beh, basta vedere quanto vale x(0) per capirlo, no?
"spina3003":
... oppure è sbagliata anche questa?
Direi proprio di sì, ma tu di certo sai risolvere l'equazione differenziale che ti ho indicato, no?
La risolverei così
$\dot v = -(B^2a^2)/(mR)v$
$v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + c_1$
$\dot v = g$
$v = g*t + c_2 $
Quindi
$v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + c_1 + g*t + c_2 $
$v(0) = 0 $ quindi $c_1 + c_2 = -1 $ ovvero $v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + g*t -1 $
ma non mi torna neanche così...
$\dot v = -(B^2a^2)/(mR)v$
$v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + c_1$
$\dot v = g$
$v = g*t + c_2 $
Quindi
$v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + c_1 + g*t + c_2 $
$v(0) = 0 $ quindi $c_1 + c_2 = -1 $ ovvero $v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + g*t -1 $
ma non mi torna neanche così...
"spina3003":
La risolverei così
$\dot v = -(B^2a^2)/(mR)v$
ma non mi torna neanche così...
Lo credo, non è quella l'equazione differenziale che ti ho chiesto di risolvere.
"spina3003":
... $v = e^(-(B^2a^2)/(mR)t) + g*t -1 $ ...
Se questa fosse la soluzione, quanto varrebbe $v(\infty)$ ?
In che senso non è quella? L'ho spezzata in due parti per risolverla ma mi sa che sto facendo confusione...
Scusa, ma abbiamo una eq. diff. del tipo
$y'=-ay+b$
ora io la scriverei direttamente come
$y=k_1\ e^(- at)+b/a$
$y'=-ay+b$
ora io la scriverei direttamente come
$y=k_1\ e^(- at)+b/a$
Ma derivando b/a che è costante non torna b, torna 0, no?
Scusa, ma non ti capisco. 
Giusto per concludere, dalla condizione $y(0)=0$, avremo che $k_1=-b/a$, ne segue che
$y(t)=b/a(1-e^(-at))$
Giusto per concludere, dalla condizione $y(0)=0$, avremo che $k_1=-b/a$, ne segue che
$y(t)=b/a(1-e^(-at))$
Intendo che se derivo la tua soluzione rispetto al tempo non ottengo
$\dot y = -ay + b $
ma
$ \dot y =-ay $.
Quindi mi chiedevo come $ y = k_1e^(-at) + b/a$ possa essere la soluzione.
$\dot y = -ay + b $
ma
$ \dot y =-ay $.
Quindi mi chiedevo come $ y = k_1e^(-at) + b/a$ possa essere la soluzione.
Scusami finalmente ho capito... ho fatto un ripasso delle eq differenziali e mi si è chiarito tutto... grazie per la pazienza.
"spina3003":
... Quindi mi chiedevo come $ y = k_1e^(-at) + b/a$ possa essere la soluzione.
Non ti capisco proprio, ma hai provato davvero a prendere questa funzione
$ y = k_1e^(-at) + b/a$
e andarla a sostituire nella equazione differenziale
$\dot y = -ay + b $
PS Vedo che ti sei convinto.
Sì l'ho sostituita nell'eq diff... è molto sbagliato vero? però non capisco perché...
Stai scherzando, vero? 
No...
Non ci credo, comunque lo faccio io 
Sostituendo la funzione
$y=k_1e^(-at) + b/a$
nella eq.diff.
$ y' = -ay + b$
ottenengo
$[k_1e^(-at) + b/a]^{\prime}=-a (k_1e^(-at) + b/a) +b $
lascio a te verificare l'identità.
Sostituendo la funzione
$y=k_1e^(-at) + b/a$
nella eq.diff.
$ y' = -ay + b$
ottenengo
$[k_1e^(-at) + b/a]^{\prime}=-a (k_1e^(-at) + b/a) +b $
lascio a te verificare l'identità.
Grazie... stavo facendo confusione
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