Problema Dinamica del Punto (Meccanica Razionale)
Salve a tutti, vi vorrei proporre questo esercizio che in parte ho svolto, in parte non so invece più come continuare 
, per questo chiedo il vostro aiuto, oltre che per verificare che quanto fatto sia giusto 
Ecco il testo:
Un punto materiale P di massa $m$ è vincolato a muoversi lungo una curva di equazione $y=(x^2-4)/2$, con $x\in[0,2]$ nel piano verticale $Oxy$. Una molla di costante elastica $k$ collega il punto P con l'origine O. Nell'ipotesi che il piano ruoti uniformemente attorno all'asse y, determinare:
L'equazione pura del moto di P e le eventuali posizioni di equilibrio nel caso in cui la curva sia liscia e nel caso in cui si scabra.
Allora per quanto riguarda il caso in cui la curva è liscia ho fatto così:
parametrizzo la curva nel seguente modo:
$\{(x=\xi),(y=(\xi^4-4)/2),(z=0):}$
velocità angolare $\barw=dot \theta_o \hatj$
Allora avrò $m\bar a=\bar F+\varphi$
dove $\barF=\barF_1+\barF_2+\barF^(ASS)+\barF^(C)$
dove $\barF_1=-mg\hatj$, $\barF_2=-k OP$, $\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P$, $\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)$
$OP(\xi)=\xi\hati+(\xi^4-4)/2\hatj$
Calcolo il triedro di Frenet:
$\hatt=((delOP)/(del\xi))/|((delOP)/(del\xi))|=(1/sqrt(1+\xi^2))\hati+(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
$\hatb=(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))/|(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))|=\hatk$
$\hatn=\hatb^^\hatt=(-\xi/sqrt(1+\xi^2))\hati+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
Da cui posso dedurre:
$\hati=(1/sqrt(1+\xi^2))\hatt-(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatn$, e $\hatj=(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatt+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
quindi calcolo:
$\dots=((dels)/(del\xi))*((del\xi)/(delt))=(|(delOP)/(del\xi)|)*((del\xi)/(delt))=\dot\xisqrt(1+\xi^2)$ con $s$ ascissa curvilinea
$v_p^(r)=\dots\hatt=\dot\xisqrt(1+\xi^2)\hatt=dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj$
$\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)=-2m\dot\theta_o\dot\xi\hatk^^(dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj)=2m\dot\theta_o\dot\xi\hatb$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn$
con $K=|f''(\xi)|/(sqrt(1+f'(\xi)^2)^3)=1/((sqrt(1+\xi^2)(1+\xi^2))$
$ddot s= ddot \xi sqrt(1+\xi^2)+ (2\xi\dot\xi)/sqrt(1+\xi^2)$
$\dots^2=\dot\xi^2(1+\xi^2)$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn=(2\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))\hatt+\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Proietto le altre forze sul triedro di frenet:
$\barF_1=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2)\hatt+1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
$\barF_2=(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatt+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Essendo $P'$ la proiezione ortogonale di $P$ sull'asse di rotazione, allora $P'=(\xi^4-4)/2\hatj$
quindi $P'P=P'O+OP=\xi\hati$
$\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P=(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2))\hatt-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Allora da
$m\bar a=\bar F+\varphi$ avrò il seguente sistema:
$\{(2m\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2))+(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))+(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2)),(m\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))=1/sqrt(1+\xi^2)+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))+\varphi_n),(0=2m\dot\theta_o\dot\xi+\varphi_b):}$
Dove la prima espressione rappresenta l'equazione pura del moto. Per quanto riguarda le eventuali posizioni di equilibrio, li abbiamo per $\barv_p^r=0$ e $\barv_p^r=0$, quindi la forza di coriolis si annulla e dall'equazione pura del moto ottengo
$-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)+2m\dot\theta_o^2\xi=0$
all'istante iniziale per $\dot\theta_o=\dot\theta_ot=0$ avrò: $-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)=0$ da cui
$\xi=0$ e $\xi=\sqrt((2mg+6k)/k)$
valori per i quali abbiamo le posizioni di equilibrio..
fin quì ci siamo???
per quanto riguarda il caso in cui la guida è scabra so che devo aggiungiere nel sistema, all'equazione del moto, la seguente quantità:
$A=-f_d|\varphi_(\pi_n)|(\barv/\hatv)$
ma non so come proseguire... mi potreste aiutare per favore???
, per questo chiedo il vostro aiuto, oltre che per verificare che quanto fatto sia giusto Ecco il testo:
Un punto materiale P di massa $m$ è vincolato a muoversi lungo una curva di equazione $y=(x^2-4)/2$, con $x\in[0,2]$ nel piano verticale $Oxy$. Una molla di costante elastica $k$ collega il punto P con l'origine O. Nell'ipotesi che il piano ruoti uniformemente attorno all'asse y, determinare:
L'equazione pura del moto di P e le eventuali posizioni di equilibrio nel caso in cui la curva sia liscia e nel caso in cui si scabra.
Allora per quanto riguarda il caso in cui la curva è liscia ho fatto così:
parametrizzo la curva nel seguente modo:
$\{(x=\xi),(y=(\xi^4-4)/2),(z=0):}$
velocità angolare $\barw=dot \theta_o \hatj$
Allora avrò $m\bar a=\bar F+\varphi$
dove $\barF=\barF_1+\barF_2+\barF^(ASS)+\barF^(C)$
dove $\barF_1=-mg\hatj$, $\barF_2=-k OP$, $\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P$, $\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)$
$OP(\xi)=\xi\hati+(\xi^4-4)/2\hatj$
Calcolo il triedro di Frenet:
$\hatt=((delOP)/(del\xi))/|((delOP)/(del\xi))|=(1/sqrt(1+\xi^2))\hati+(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
$\hatb=(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))/|(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))|=\hatk$
$\hatn=\hatb^^\hatt=(-\xi/sqrt(1+\xi^2))\hati+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
Da cui posso dedurre:
$\hati=(1/sqrt(1+\xi^2))\hatt-(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatn$, e $\hatj=(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatt+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
quindi calcolo:
$\dots=((dels)/(del\xi))*((del\xi)/(delt))=(|(delOP)/(del\xi)|)*((del\xi)/(delt))=\dot\xisqrt(1+\xi^2)$ con $s$ ascissa curvilinea
$v_p^(r)=\dots\hatt=\dot\xisqrt(1+\xi^2)\hatt=dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj$
$\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)=-2m\dot\theta_o\dot\xi\hatk^^(dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj)=2m\dot\theta_o\dot\xi\hatb$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn$
con $K=|f''(\xi)|/(sqrt(1+f'(\xi)^2)^3)=1/((sqrt(1+\xi^2)(1+\xi^2))$
$ddot s= ddot \xi sqrt(1+\xi^2)+ (2\xi\dot\xi)/sqrt(1+\xi^2)$
$\dots^2=\dot\xi^2(1+\xi^2)$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn=(2\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))\hatt+\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Proietto le altre forze sul triedro di frenet:
$\barF_1=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2)\hatt+1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
$\barF_2=(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatt+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Essendo $P'$ la proiezione ortogonale di $P$ sull'asse di rotazione, allora $P'=(\xi^4-4)/2\hatj$
quindi $P'P=P'O+OP=\xi\hati$
$\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P=(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2))\hatt-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Allora da
$m\bar a=\bar F+\varphi$ avrò il seguente sistema:
$\{(2m\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2))+(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))+(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2)),(m\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))=1/sqrt(1+\xi^2)+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))+\varphi_n),(0=2m\dot\theta_o\dot\xi+\varphi_b):}$
Dove la prima espressione rappresenta l'equazione pura del moto. Per quanto riguarda le eventuali posizioni di equilibrio, li abbiamo per $\barv_p^r=0$ e $\barv_p^r=0$, quindi la forza di coriolis si annulla e dall'equazione pura del moto ottengo
$-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)+2m\dot\theta_o^2\xi=0$
all'istante iniziale per $\dot\theta_o=\dot\theta_ot=0$ avrò: $-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)=0$ da cui
$\xi=0$ e $\xi=\sqrt((2mg+6k)/k)$
valori per i quali abbiamo le posizioni di equilibrio..
fin quì ci siamo???
per quanto riguarda il caso in cui la guida è scabra so che devo aggiungiere nel sistema, all'equazione del moto, la seguente quantità:
$A=-f_d|\varphi_(\pi_n)|(\barv/\hatv)$
ma non so come proseguire... mi potreste aiutare per favore???
Risposte
Per favore un aiutino 
ci ho impiegato 2ore a scrivere il tutto 
ci ho impiegato 2ore a scrivere il tutto
Equilibrio liscio.
Nel tuo risultato manca $\omega$ e mi sembra un po' strano ... Io ho proiettato le tre forze in gioco (peso, elastica e centrifuga) sulla tangente alla curva, ho equilibrato queste componenti e ho trovato il risultato (che contiene $\omega$ ed altre condizioni) in pochi semplici passaggi.
Le componenti normali non contano perché dovrebbero neutralizzarsi con la reazione del vincolo.
Mi verrebbe allorqa:
$\xi = sqrt{2 - {2m}/k (g - \omega^2)}$
con la condizione $g - k/m < \omega^2 < g + k/m$
salvo errori ed omissioni.
Equazioni del moto.
Sono passato alle coordinate polari e, anche qui con non molta fatica,passando dalla lagrangiana ho trovato l'equazione del moto in un solo grado di libertà (l'angolo).
Non ti posto il risultato perché sicuramente ci ho fatto degli errori (mi è sparito $\omega$ !).
Equilibrio scabro.
Qui bisogna considerare le componenti normali alla curva che producono un attrito radente che si manifesta con forze tangenziali sulla base del coefficiente di attrito.
Esercizio tostissimo ...
Nel tuo risultato manca $\omega$ e mi sembra un po' strano ... Io ho proiettato le tre forze in gioco (peso, elastica e centrifuga) sulla tangente alla curva, ho equilibrato queste componenti e ho trovato il risultato (che contiene $\omega$ ed altre condizioni) in pochi semplici passaggi.
Le componenti normali non contano perché dovrebbero neutralizzarsi con la reazione del vincolo.
Mi verrebbe allorqa:
$\xi = sqrt{2 - {2m}/k (g - \omega^2)}$
con la condizione $g - k/m < \omega^2 < g + k/m$
salvo errori ed omissioni.
Equazioni del moto.
Sono passato alle coordinate polari e, anche qui con non molta fatica,passando dalla lagrangiana ho trovato l'equazione del moto in un solo grado di libertà (l'angolo).
Non ti posto il risultato perché sicuramente ci ho fatto degli errori (mi è sparito $\omega$ !).
Equilibrio scabro.
Qui bisogna considerare le componenti normali alla curva che producono un attrito radente che si manifesta con forze tangenziali sulla base del coefficiente di attrito.
Esercizio tostissimo ...
Ma quindi la lagrangiana la posso usare anche in questo caso?? Perché noi la usiamo solo nella dinamica dei sistemi, questi li svolgiamo così...
Comunque lo so che è tosto, sto sperando lo scritto di meccanica razionale da 12CFU, ed è l'esame più temuto da tutto il corso di laurea...
Comunque lo so che è tosto, sto sperando lo scritto di meccanica razionale da 12CFU, ed è l'esame più temuto da tutto il corso di laurea...
Comunque l'$\omega$ non è scomparso, è che io avevo posto come istante iniziale $\dot\theta_ot=0$, è sbagliato fare così?
Io lo superai 43 anni fa ... e mi sento un po' arrugginito ...
Comunqu, i calcoli che presenti mi sembrano, scusa il termine, disumani per un semplice esame.
Ma torniamo al merito. Dal testo sembra che la rotazione sia uniforme per cui io prenderei una lagrangiana con il termine di Coriolis e quello centrifugo. Poi imporrei il vincolo ...
Farei cosi', pero non ti fidare ...
Comunqu, i calcoli che presenti mi sembrano, scusa il termine, disumani per un semplice esame.
Ma torniamo al merito. Dal testo sembra che la rotazione sia uniforme per cui io prenderei una lagrangiana con il termine di Coriolis e quello centrifugo. Poi imporrei il vincolo ...
Farei cosi', pero non ti fidare ...
Ho calcolato la lagrangiana nella sola coordinata $x$. Mi verrebbero 4 termini tranquilli ...
Curva scabra: di che si tratta? Produce un attrito dipendente dalle componenti normali delle forze o dipendente dalla velocità del punto?
Forza di Coriolis: in questo problema non agisce.
Lagrangiana: mi sa che nel caso della curva scabra convenga usare direttamente le forze, senza passare dalla lagrangiana.
Forza di Coriolis: in questo problema non agisce.
Lagrangiana: mi sa che nel caso della curva scabra convenga usare direttamente le forze, senza passare dalla lagrangiana.
Equazioni del moto.
Vorrei fare alcune considerazioni sul metodo dell'ascissa curvilinea (chiamiamolo così) in contrapposizione al metodo lagrangiano.
Si tratterebbe di trovare l'equazione del moto nella forma:
$m ddot s = F(s) + A(s, dot s)$,
dove i punti sono la derivata rispetto al tempo, $s$ è l'ascissa curvilinea, $F(s)$ è la componente tangenziale delle forze e $A$ è l'attrito. Fin qui tutto ok?
L'impostazione è piuttosto semplice. I problemi nascono a livello di calcolo. Come faccio a trovare l'ascissa curvilinea della nostra parabola in una forma che sia facilmente invertibile? Che parametrizzazione dovrei scegliere?
La parametrizzazione $(\xi , \xi^2/2 -2)$ porta ad una ascissa curvilinea mostruosa ...
Vorrei fare alcune considerazioni sul metodo dell'ascissa curvilinea (chiamiamolo così) in contrapposizione al metodo lagrangiano.
Si tratterebbe di trovare l'equazione del moto nella forma:
$m ddot s = F(s) + A(s, dot s)$,
dove i punti sono la derivata rispetto al tempo, $s$ è l'ascissa curvilinea, $F(s)$ è la componente tangenziale delle forze e $A$ è l'attrito. Fin qui tutto ok?
L'impostazione è piuttosto semplice. I problemi nascono a livello di calcolo. Come faccio a trovare l'ascissa curvilinea della nostra parabola in una forma che sia facilmente invertibile? Che parametrizzazione dovrei scegliere?
La parametrizzazione $(\xi , \xi^2/2 -2)$ porta ad una ascissa curvilinea mostruosa ...
Ho considerato l'equazione differenziale che parametrizza la curva con la lunghezza e viene una soluzione (con arcosenoiperbolico e radice quadrata sommata) non analiticamente invertibile. Che fare ? Il metodo lagrangiano, per la curva liscia, è molto meglio!
Perché non consideri la forza di coriolis?
Il prodotto vettoriale fra $v$ e $\omega$ è perpendicolare al piano $0xy$. Se la curva è liscia, questa forza non produce attrito. Se la curva è ruvida e l'attrito dipende dalla forza premente sulla curva, allora viene prodotto attrito radente.
Non ho però ancora capito se in questo problema l'attrito lungo la curva è da considerarsi radente e/o del mezzo (in questo caso dipenderebbe dalla velocità del punto) ...
Non ho però ancora capito se in questo problema l'attrito lungo la curva è da considerarsi radente e/o del mezzo (in questo caso dipenderebbe dalla velocità del punto) ...
Ho capito. Non c'è bisogno di invertire l'ascissa curvilinea, basta derivarla due volte rispetto al tempo. In fondo qui ci accontentiamo dell'equazione del moto nel suo aspetto formale (in funzione di $\xi$), senza doverla risolvere ... Ora mi sembra tutto chiaro.
quindi essenzialmente come avevo fatto io andava bene?
Sì, a parte errori di calcolo che non ho controllato. Più tardi ti posto la mia soluzione per il caso della curva liscia.
Per l'equilibrio, come è andata ?
Per l'equilibrio, come è andata ?
Vincolo liscio.
Equazione del moto: $m ddot s = F_T(s)$, dove $s$ è l'ascissa curvilinea e $F_T$ è la somma delle componenti tangenziali delle forze.
Ascissa curvilinea: $s(\xi) = int_0^\xi sqrt(1+\tau^2) d\tau$
$dot s = sqrt(1 + \xi^2) dot \xi$
$ddot s ={ \xi dot \xi^2} / sqrt(1 + \xi^2) + sqrt(1 + \xi^2) ddot \xi$
S e e o.
continua ...
Equazione del moto: $m ddot s = F_T(s)$, dove $s$ è l'ascissa curvilinea e $F_T$ è la somma delle componenti tangenziali delle forze.
Ascissa curvilinea: $s(\xi) = int_0^\xi sqrt(1+\tau^2) d\tau$
$dot s = sqrt(1 + \xi^2) dot \xi$
$ddot s ={ \xi dot \xi^2} / sqrt(1 + \xi^2) + sqrt(1 + \xi^2) ddot \xi$
S e e o.
continua ...
Forza peso: $(0 , -mg)$.
Forza centrifuga: $(m \omega^2 \xi , 0)$.
Forza elastica: $(-k \xi , -k (\xi^2/2 - 2))$.
Risultante lungo la tangente: $F_T = 1/sqrt(1+\xi^2} [-m g \xi + m \omega^2 \xi -k \xi -k(\xi^2/2 - 2) \xi]$.
S e e o.
ecc. ecc.
Forza centrifuga: $(m \omega^2 \xi , 0)$.
Forza elastica: $(-k \xi , -k (\xi^2/2 - 2))$.
Risultante lungo la tangente: $F_T = 1/sqrt(1+\xi^2} [-m g \xi + m \omega^2 \xi -k \xi -k(\xi^2/2 - 2) \xi]$.
S e e o.
ecc. ecc.
Ma la forma così scritta della forza totale, non è calcolata lungo la tangente, bensìlungo il versore dell'asse x del sistema di riferimento da noi scelto, successivamente bisogna progliettarli lungo la tangente, o sbaglio?
No. Ho postato solo i risultati (sperando di non avere fatto errori di calcolo), ma ho effettuato i prodotti scalari $< F , t>$ ($t$ è il vettore tangente) per tutte le forze e ho fatto la somma. Il tutto in funzione di $x$ e $y$ e quindi di $\xi$ ...
ok scusa ero entrara in confusione. i calcoli sembra che combaciano coi miei. Quindi questa che ottengo è l'equazione pura del moto.
L'unica cosa è che, se vado a vedere gli esercizi fatti durante la lezione, la prof va a considerare anche la forza assifuga e di coriolis, in quanto il piano ruota uniformemente attorno all'asse y.
(scusa ma su $\ddot s$ perchè nel primo termice $\dot\xi$ è al quadrato?)
L'unica cosa è che, se vado a vedere gli esercizi fatti durante la lezione, la prof va a considerare anche la forza assifuga e di coriolis, in quanto il piano ruota uniformemente attorno all'asse y.
(scusa ma su $\ddot s$ perchè nel primo termice $\dot\xi$ è al quadrato?)
La componente normale, per il vincolo liscio, non serve, perché è neutralizzata della reazione vincolare.
La forza di Coriolis è lungo la binormale, per cui, sempre nel vincolo liscio, non agisce perché neutralizzata dalla reazione vincolare.
Per il vincolo ruvido, invece, hai due possibilità. Forza di attrito radente e/o del mezzo (questo è un punto da chiarire!). In questi casi devi tener presente anche le componenti normali e binormali (per Coriolis) ...
Questa è la mia opinione che spero non ti conduca in errore
La forza di Coriolis è lungo la binormale, per cui, sempre nel vincolo liscio, non agisce perché neutralizzata dalla reazione vincolare.
Per il vincolo ruvido, invece, hai due possibilità. Forza di attrito radente e/o del mezzo (questo è un punto da chiarire!). In questi casi devi tener presente anche le componenti normali e binormali (per Coriolis) ...
Questa è la mia opinione che spero non ti conduca in errore
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