Problema Dinamica del Punto (Meccanica Razionale)
Salve a tutti, vi vorrei proporre questo esercizio che in parte ho svolto, in parte non so invece più come continuare 
, per questo chiedo il vostro aiuto, oltre che per verificare che quanto fatto sia giusto 
Ecco il testo:
Un punto materiale P di massa $m$ è vincolato a muoversi lungo una curva di equazione $y=(x^2-4)/2$, con $x\in[0,2]$ nel piano verticale $Oxy$. Una molla di costante elastica $k$ collega il punto P con l'origine O. Nell'ipotesi che il piano ruoti uniformemente attorno all'asse y, determinare:
L'equazione pura del moto di P e le eventuali posizioni di equilibrio nel caso in cui la curva sia liscia e nel caso in cui si scabra.
Allora per quanto riguarda il caso in cui la curva è liscia ho fatto così:
parametrizzo la curva nel seguente modo:
$\{(x=\xi),(y=(\xi^4-4)/2),(z=0):}$
velocità angolare $\barw=dot \theta_o \hatj$
Allora avrò $m\bar a=\bar F+\varphi$
dove $\barF=\barF_1+\barF_2+\barF^(ASS)+\barF^(C)$
dove $\barF_1=-mg\hatj$, $\barF_2=-k OP$, $\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P$, $\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)$
$OP(\xi)=\xi\hati+(\xi^4-4)/2\hatj$
Calcolo il triedro di Frenet:
$\hatt=((delOP)/(del\xi))/|((delOP)/(del\xi))|=(1/sqrt(1+\xi^2))\hati+(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
$\hatb=(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))/|(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))|=\hatk$
$\hatn=\hatb^^\hatt=(-\xi/sqrt(1+\xi^2))\hati+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
Da cui posso dedurre:
$\hati=(1/sqrt(1+\xi^2))\hatt-(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatn$, e $\hatj=(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatt+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
quindi calcolo:
$\dots=((dels)/(del\xi))*((del\xi)/(delt))=(|(delOP)/(del\xi)|)*((del\xi)/(delt))=\dot\xisqrt(1+\xi^2)$ con $s$ ascissa curvilinea
$v_p^(r)=\dots\hatt=\dot\xisqrt(1+\xi^2)\hatt=dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj$
$\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)=-2m\dot\theta_o\dot\xi\hatk^^(dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj)=2m\dot\theta_o\dot\xi\hatb$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn$
con $K=|f''(\xi)|/(sqrt(1+f'(\xi)^2)^3)=1/((sqrt(1+\xi^2)(1+\xi^2))$
$ddot s= ddot \xi sqrt(1+\xi^2)+ (2\xi\dot\xi)/sqrt(1+\xi^2)$
$\dots^2=\dot\xi^2(1+\xi^2)$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn=(2\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))\hatt+\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Proietto le altre forze sul triedro di frenet:
$\barF_1=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2)\hatt+1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
$\barF_2=(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatt+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Essendo $P'$ la proiezione ortogonale di $P$ sull'asse di rotazione, allora $P'=(\xi^4-4)/2\hatj$
quindi $P'P=P'O+OP=\xi\hati$
$\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P=(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2))\hatt-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Allora da
$m\bar a=\bar F+\varphi$ avrò il seguente sistema:
$\{(2m\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2))+(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))+(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2)),(m\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))=1/sqrt(1+\xi^2)+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))+\varphi_n),(0=2m\dot\theta_o\dot\xi+\varphi_b):}$
Dove la prima espressione rappresenta l'equazione pura del moto. Per quanto riguarda le eventuali posizioni di equilibrio, li abbiamo per $\barv_p^r=0$ e $\barv_p^r=0$, quindi la forza di coriolis si annulla e dall'equazione pura del moto ottengo
$-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)+2m\dot\theta_o^2\xi=0$
all'istante iniziale per $\dot\theta_o=\dot\theta_ot=0$ avrò: $-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)=0$ da cui
$\xi=0$ e $\xi=\sqrt((2mg+6k)/k)$
valori per i quali abbiamo le posizioni di equilibrio..
fin quì ci siamo???
per quanto riguarda il caso in cui la guida è scabra so che devo aggiungiere nel sistema, all'equazione del moto, la seguente quantità:
$A=-f_d|\varphi_(\pi_n)|(\barv/\hatv)$
ma non so come proseguire... mi potreste aiutare per favore???
, per questo chiedo il vostro aiuto, oltre che per verificare che quanto fatto sia giusto Ecco il testo:
Un punto materiale P di massa $m$ è vincolato a muoversi lungo una curva di equazione $y=(x^2-4)/2$, con $x\in[0,2]$ nel piano verticale $Oxy$. Una molla di costante elastica $k$ collega il punto P con l'origine O. Nell'ipotesi che il piano ruoti uniformemente attorno all'asse y, determinare:
L'equazione pura del moto di P e le eventuali posizioni di equilibrio nel caso in cui la curva sia liscia e nel caso in cui si scabra.
Allora per quanto riguarda il caso in cui la curva è liscia ho fatto così:
parametrizzo la curva nel seguente modo:
$\{(x=\xi),(y=(\xi^4-4)/2),(z=0):}$
velocità angolare $\barw=dot \theta_o \hatj$
Allora avrò $m\bar a=\bar F+\varphi$
dove $\barF=\barF_1+\barF_2+\barF^(ASS)+\barF^(C)$
dove $\barF_1=-mg\hatj$, $\barF_2=-k OP$, $\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P$, $\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)$
$OP(\xi)=\xi\hati+(\xi^4-4)/2\hatj$
Calcolo il triedro di Frenet:
$\hatt=((delOP)/(del\xi))/|((delOP)/(del\xi))|=(1/sqrt(1+\xi^2))\hati+(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
$\hatb=(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))/|(((delOP)/(del\xi))^^((del^2OP)/(del\xi^2)))|=\hatk$
$\hatn=\hatb^^\hatt=(-\xi/sqrt(1+\xi^2))\hati+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatj$
Da cui posso dedurre:
$\hati=(1/sqrt(1+\xi^2))\hatt-(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatn$, e $\hatj=(\xi/sqrt(1+\xi^2))\hatt+(1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
quindi calcolo:
$\dots=((dels)/(del\xi))*((del\xi)/(delt))=(|(delOP)/(del\xi)|)*((del\xi)/(delt))=\dot\xisqrt(1+\xi^2)$ con $s$ ascissa curvilinea
$v_p^(r)=\dots\hatt=\dot\xisqrt(1+\xi^2)\hatt=dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj$
$\barF^(C)=-2m\barw^^v_p^(r)=-2m\dot\theta_o\dot\xi\hatk^^(dot\xi\hati+\xidot\xi\hatj)=2m\dot\theta_o\dot\xi\hatb$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn$
con $K=|f''(\xi)|/(sqrt(1+f'(\xi)^2)^3)=1/((sqrt(1+\xi^2)(1+\xi^2))$
$ddot s= ddot \xi sqrt(1+\xi^2)+ (2\xi\dot\xi)/sqrt(1+\xi^2)$
$\dots^2=\dot\xi^2(1+\xi^2)$
$\bara_p^(r)=ddot s\hatt+K\dots^2\hatn=(2\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))\hatt+\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Proietto le altre forze sul triedro di frenet:
$\barF_1=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2)\hatt+1/sqrt(1+\xi^2))\hatn$
$\barF_2=(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatt+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Essendo $P'$ la proiezione ortogonale di $P$ sull'asse di rotazione, allora $P'=(\xi^4-4)/2\hatj$
quindi $P'P=P'O+OP=\xi\hati$
$\barF^(ASS)=m\barw^2 P'P=(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2))\hatt-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))\hatn$
Allora da
$m\bar a=\bar F+\varphi$ avrò il seguente sistema:
$\{(2m\xi\dot\xi \ddot \xi(1+\xi^2))/(sqrt(1+\xi^2))=-mg(\xi/sqrt(1+\xi^2))+(-k\xi(\xi^2-6))/(2sqrt(1+\xi^2))+(m\dot\theta_o^2\xi)/(sqrt(1+\xi^2)),(m\dot\xi^2/(sqrt(1+\xi^2))=1/sqrt(1+\xi^2)+(k(3\xi^3-4))/(2sqrt(1+\xi^2))-(m\xi^2\dot \theta_o^2)/(sqrt(1+\xi^2))+\varphi_n),(0=2m\dot\theta_o\dot\xi+\varphi_b):}$
Dove la prima espressione rappresenta l'equazione pura del moto. Per quanto riguarda le eventuali posizioni di equilibrio, li abbiamo per $\barv_p^r=0$ e $\barv_p^r=0$, quindi la forza di coriolis si annulla e dall'equazione pura del moto ottengo
$-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)+2m\dot\theta_o^2\xi=0$
all'istante iniziale per $\dot\theta_o=\dot\theta_ot=0$ avrò: $-2mg\xi-k\xi(\xi^2-6)=0$ da cui
$\xi=0$ e $\xi=\sqrt((2mg+6k)/k)$
valori per i quali abbiamo le posizioni di equilibrio..
fin quì ci siamo???
per quanto riguarda il caso in cui la guida è scabra so che devo aggiungiere nel sistema, all'equazione del moto, la seguente quantità:
$A=-f_d|\varphi_(\pi_n)|(\barv/\hatv)$
ma non so come proseguire... mi potreste aiutare per favore???
Risposte
Facendo la derivata di una funzione composta ...
ps. non modificare i post, fanne dei nuovi, se no non capisco bene. Grazie.
se avessi una forza d'artrito radente?
L'attrito radente si manifesta come forza contraria al moto (quindi tangenziale) e proporzionale alla componente normale della risultante delle forze (qui interviene anche Coriolis).
per quanto riguarda l'equilibrio comunque, a quanto ho capito, si ha nel caso in cui l'accelerazione e la velocità sono nulle, quindi bisogna trovare il valore di $\xi$ nell'equazione del moto in questi casi
Direi di sì
grazie mille 
per quanto riguarda invece le posizioni di equilibrio nel caso di presenza di attrito, considera sempre la velocità e l'accelerazione nulle, e ricavo dall'equazione del moto $A$.
Quindi sostituisco in $A=-f_d|\varphi_(pi_n)|$ e i valori di $\xi$ che soddisfano tale uguaglianza dovrebbero essere proprio le equazioni del moto, giusto!?
per quanto riguarda invece le posizioni di equilibrio nel caso di presenza di attrito, considera sempre la velocità e l'accelerazione nulle, e ricavo dall'equazione del moto $A$.
Quindi sostituisco in $A=-f_d|\varphi_(pi_n)|$ e i valori di $\xi$ che soddisfano tale uguaglianza dovrebbero essere proprio le equazioni del moto, giusto!?
Scusa, ma non capisco la formula che hai scritto ...
Per l'equilibrio in caso di vincolo scabro io farei sempre $dot s = 0$ e $ddot s = 0$ nell'equazione del moto che è $m ddot s = F(s) + A(s, dot s) $ (dove $A$ sono gli attriti).
Per l'equilibrio in caso di vincolo scabro io farei sempre $dot s = 0$ e $ddot s = 0$ nell'equazione del moto che è $m ddot s = F(s) + A(s, dot s) $ (dove $A$ sono gli attriti).
esatto, in questo caso, oltre alle componenti normali e binobiali dell'attrito ($\varphi_n, \varphi_b$), ho anche la componente tangente ($A$), che soddisfa la reazione che ti prima scritto, dove $f_d$ è il coefficiente d'attrito dinamico
Ok, ma cos'è per te esattamente $\phi_\pi_n$ ?
intendi $\varphi_(\pi_n)$? se intendi questo allora è $\varphi_n+\varphi_b$,cioè la somma delle componenti ortogonali e binomiali dell'attrito
Sì, mi era venuto scritto male. Ok. D'accordo.
Ok allora 
speriamo che così alla mia prof vadano bene 
grazie mille sei stato gentilissimo
speriamo che così alla mia prof vadano bene grazie mille sei stato gentilissimo
Speriamo bene !
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