Problema dinamica a massa variabile

[wanderer1]

Salve,
di recente mi sono imbattuto in questo problema:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Facciamo che il quesito chieda la massa finale della sonda (privata del carburante espulso). Il problema nasce dal fatto che il mio risultato finale è decisamente diverso rispetto a quello del libro, più nelle formule che nel risultato numerico. Espongo il mio procedimento:

per la conservazione della quantità di moto:

$dm v_r + (m+dm)(v+dv) = m v$

$dm (v+v_r) = -m dv$

$int_{M_0}^{M_1} {dm}/m = -int_{0}^{v_1} {dv}/{v + v_r}$

$M_1 = M_0 1 / {v_1/v_r + 1}$

mentre al libro viene:

$M_1 = M_0 e^{-v_1/v_r}$

Pertanto a me la massa finale viene $806.4$ Kg mentre al libro viene $786.6$ Kg.
Dove ho sbagliato?
Grazie dell'attenzione

[Shackle]

Devi mettere in conto le velocità vettoriali assolute, in un rif inerziale, sia del razzo che del gas, e poi proiettare su l'asse coordinato, trascurando la forza di gravità come fa il tuo libro. Purtroppo sto rispondendo col telefonino, no posso fare disegni e mettere link .L'equazione più completa ( cerca l'argomento "corpi a Massa variabile" sul web) tiene conto anche delle forze agenti.

Assumendo $dm>0$ , e tenendo conto dei versi delle velocità, si deve scrivere :

$mvecv= (m -dm)(vecv+vec(dv) )+ dm(vecv_r+vecv)$

Da cui , sviluppando e proiettando sull' asse :

$mdv=-dm*v_r$

Integrando, e tenendo conto che la velocità iniziale è zero , si trova :

$ M_1/M_0 = e^(-v_1/v_r)$

Ci sono varie discussioni anche in questo forum, sull' argomento .

[wanderer1]

"Shackle":
Assumendo $dm>0$ , e tenendo conto dei versi delle velocità, si deve scrivere :

$mvecv= (m -dm)(vecv+vec(dv) )+ dm(vecv_r+vecv)$

Ciao,
grazie della risposta! Una domanda, ma quando il testo si riferisce alla velocità con cui viene scaricato il gas, si riferisce ad una velocità rispetto ad un sistema di riferimento inerziale immobile oppure si riferisce ad una velocità relativa rispetto alla sonda (che a pensarci forse è anche più logico)? La formula che hai scritto mi sembra proprio implementi questo secondo assunto... Giusto?

[Shackle]

Giusto . La $vecv_r$ è la velocità dei gas relativa alla sonda. La sonda funziona da riferimento di trascinamento per i gas espulsi .

[wanderer1]

Perfetto, sbagliavo proprio questo