Problema di una biglia in una coppa semicircolare
Questo è il testo dell' esercizio:
una biglia è lanciata con velocità v0 tangenzialmente al bordo superiore di una coppa semicircolare di raggio R=0.6m a pareti lisce. Nella parte inferiore la coppa è tagliata da un piano orizzontale distante h=0.4m dal centro O (O è il centro della circonferenza superiore di raggio R, la circonferenza inferiore ha raggio r e l' ipotenusa del triangolo formato dall' altezza h e il raggio r è R).determinare il minimo valore di v0 che consente alla biglia di non uscire dall' apertura inferiore. [3.13m/s]
si dovrebbe risolvere utilizzando dei principi di conservazione (anche perché è relativo proprio al capitolo della conservazione), ma non ho capito come impostare l' esercizio, ho pensato alla conservazione dell' energia e del momento angolare ma non sono riuscito a venirne a capo. Sarei molto grato se qualcuno potesse darmi una mano, vi ringrazio in anticipo.
una biglia è lanciata con velocità v0 tangenzialmente al bordo superiore di una coppa semicircolare di raggio R=0.6m a pareti lisce. Nella parte inferiore la coppa è tagliata da un piano orizzontale distante h=0.4m dal centro O (O è il centro della circonferenza superiore di raggio R, la circonferenza inferiore ha raggio r e l' ipotenusa del triangolo formato dall' altezza h e il raggio r è R).determinare il minimo valore di v0 che consente alla biglia di non uscire dall' apertura inferiore. [3.13m/s]
si dovrebbe risolvere utilizzando dei principi di conservazione (anche perché è relativo proprio al capitolo della conservazione), ma non ho capito come impostare l' esercizio, ho pensato alla conservazione dell' energia e del momento angolare ma non sono riuscito a venirne a capo. Sarei molto grato se qualcuno potesse darmi una mano, vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Non è facile da visualizzare, e nemmeno da spiegare, ma mi ci provo.
Trattasi di una scodella bucata a una certa altezza, si lancia una pallina dal bordo con velocità orizzontale e si vuole che non cada nel buco.
E' evidente che la pallina comincerà dopo un po' a scendere di quota, però nel frattempo la sua velocità aumenterà perché l'energia potenziale diminuirà, quindi dovrà crescere l'energia cinetica in modo che la somma resti costante.
La traiettoria della pallina non è facile da visualizzare, si vuole però che arrivata al buco lo lambisca senza cadervi dentro. Come dire che quando arriva al buco vi deve arrivare con velocità solo orizzontale, altrimenti vi cadrebbe dentro.
Dunque tutta l'energia cinetica sarà dedicata alla sola componente orizzontale della velocità.
Analizziamo adesso il momento angolare rispetto al punto O, centro del cerchio costituito dal bordo superiore della scodella, di raggio R.
Poiché la parete della scodella fa reazione soltanto normale, cioè diretta esattamente verso O, questa reazione non fa momento rispetto a O. Per contro la forza di gravità che è verticale fa rispetto a O sempre momento con pura componente orizzontale, cioè non ha componenti verticali.
Ciò porta a concludere che la componente verticale del momento angolare si conserva.
Il valore di tale componente del momento angolare è uguale alla componente orizzontale della velocità moltiplicata per r, cioè per la distanza dall'asse della scodella. Si ha dunque la seguente conservazione:
$$vr = {v_0}R$$
dove v è la componente orizzontale della velocità in un punto qualsiasi della scodella.
Torniamo adesso al caso in cui la biglia sia arrivata a lambire il buco.
Siccome non ci deve cadere dentro, come detto, in quel punto la v è solo orizzontale, dunque la relazione scritta vale in questo caso anche per il modulo della velocità.
D'altra parte la relazione energetica porta a scrivere:
$$\frac{1}
{2}{v^2} = \frac{1}
{2}{v_0}^2 + gh$$
Mettendo le due relazioni assieme e sviluppando i passaggi si ha:
$$\eqalign{
& \frac{1}
{2}{v^2} = \frac{1}
{2}{v_0}^2 + gh \cr
& {v^2} - 2gh = {v_0}^2 \cr
& vr = {v_0}R \cr
& {v_0}^2\frac{{{R^2}}}
{{{r^2}}} - 2gh = {v_0}^2 \cr
& {v_0}^2\left( {\frac{{{R^2}}}
{{{R^2} - {h^2}}} - 1} \right) = 2gh \cr
& {v_0}^2 = \frac{{2gh}}
{{\frac{{{h^2}}}
{{{R^2} - {h^2}}}}} = 2g\frac{{\left( {{R^2} - {h^2}} \right)}}
{h} \cr} $$
Mettendo i numeri si ha:
$$\eqalign{
& {v_0}^2 = 2g\frac{{0,2}}
{{0,4}} = 9,8 \cr
& {v_0} = \sqrt {9,8} = 3,13 \cr} $$
Trattasi di una scodella bucata a una certa altezza, si lancia una pallina dal bordo con velocità orizzontale e si vuole che non cada nel buco.
E' evidente che la pallina comincerà dopo un po' a scendere di quota, però nel frattempo la sua velocità aumenterà perché l'energia potenziale diminuirà, quindi dovrà crescere l'energia cinetica in modo che la somma resti costante.
La traiettoria della pallina non è facile da visualizzare, si vuole però che arrivata al buco lo lambisca senza cadervi dentro. Come dire che quando arriva al buco vi deve arrivare con velocità solo orizzontale, altrimenti vi cadrebbe dentro.
Dunque tutta l'energia cinetica sarà dedicata alla sola componente orizzontale della velocità.
Analizziamo adesso il momento angolare rispetto al punto O, centro del cerchio costituito dal bordo superiore della scodella, di raggio R.
Poiché la parete della scodella fa reazione soltanto normale, cioè diretta esattamente verso O, questa reazione non fa momento rispetto a O. Per contro la forza di gravità che è verticale fa rispetto a O sempre momento con pura componente orizzontale, cioè non ha componenti verticali.
Ciò porta a concludere che la componente verticale del momento angolare si conserva.
Il valore di tale componente del momento angolare è uguale alla componente orizzontale della velocità moltiplicata per r, cioè per la distanza dall'asse della scodella. Si ha dunque la seguente conservazione:
$$vr = {v_0}R$$
dove v è la componente orizzontale della velocità in un punto qualsiasi della scodella.
Torniamo adesso al caso in cui la biglia sia arrivata a lambire il buco.
Siccome non ci deve cadere dentro, come detto, in quel punto la v è solo orizzontale, dunque la relazione scritta vale in questo caso anche per il modulo della velocità.
D'altra parte la relazione energetica porta a scrivere:
$$\frac{1}
{2}{v^2} = \frac{1}
{2}{v_0}^2 + gh$$
Mettendo le due relazioni assieme e sviluppando i passaggi si ha:
$$\eqalign{
& \frac{1}
{2}{v^2} = \frac{1}
{2}{v_0}^2 + gh \cr
& {v^2} - 2gh = {v_0}^2 \cr
& vr = {v_0}R \cr
& {v_0}^2\frac{{{R^2}}}
{{{r^2}}} - 2gh = {v_0}^2 \cr
& {v_0}^2\left( {\frac{{{R^2}}}
{{{R^2} - {h^2}}} - 1} \right) = 2gh \cr
& {v_0}^2 = \frac{{2gh}}
{{\frac{{{h^2}}}
{{{R^2} - {h^2}}}}} = 2g\frac{{\left( {{R^2} - {h^2}} \right)}}
{h} \cr} $$
Mettendo i numeri si ha:
$$\eqalign{
& {v_0}^2 = 2g\frac{{0,2}}
{{0,4}} = 9,8 \cr
& {v_0} = \sqrt {9,8} = 3,13 \cr} $$
ti ringrazio moltissimo, tutto chiaro, l' avevo impostato bene l' esercizio facendo un ragionamento simile al tuo (già il fatto che ci ero arrivato è stata un grande conquista personale) ma stavo talmente cotto che probabilmente continuavo a fare qualche sbaglio nel sostituire nelle formule. Comunque grazie mille dell' aiuto 
.
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo