Problema di termodinamica
Salve a tutti! Mi servirebbe un aiuto per questo problema di termodinamica (fonte:https://international.unitn.it/alfresco/download/workspace/SpacesStore/0a1dc181-d4f3-4f4d-b7dd-60d84ec7eb37/Test%20SISSA%20_2014.pdf)
Non traduco il testo dell'esercizio perché è lungo e tanto so che qua siamo tutti gentlemen cosmopoliti e l'inglese 'un lo temiamo.
Punto 1) ho assunto che il gas fosse perfetto (non lo dicono ma una qualche equazione di stato ce la dovrà avere) per ricavare le pressioni da una parte e dall'altra del pistone:
\(\displaystyle p_AV_0/2=RT_A \), \(\displaystyle p_BV_0/2=RT_B \), dunque \(\displaystyle p_A-p_B=\frac{2R(T_A-T_B)}{V_0} \).
All'equilibrio \(\displaystyle \vec{T}+(p_A-p_B)\frac{V_0}{2l}\hat{n}=0 \). E si tratta di sostituire.
\(\displaystyle T=\frac{R(T_A-T_B)}{l}\)
Perfetto.
Punto 2) Assumendo (mah...) che il pistone sia adiabatico, tutto il calore fornito (quasistaticamente) dalla resistenza è trasformato in energia interna, in quanto il filo impedisce la produzione di lavoro meccanico. Si tratta di imporre \(\displaystyle 5000N=\frac{R(\bar{T}_A-T_B)}{l} \).
Punto 3)La trasformazione \(\displaystyle A\rightarrow \bar A \) è un riscaldamento isocoro. Possiamo allora calcolare \(\displaystyle Q=c_v(\bar{T}_A-T_A) \) (Il calore molare è un altro dato che il problema non fornisce... Mah.)
Punto 4) All'equilibrio deve essere \(\displaystyle p_{A'}=p_{B'} \), \(\displaystyle V_{A'}+V_{B'}=V_0 \). Come mi conviene procedere di qui in poi? C'è qualche modo furbo di usare l'equazione di stato o devo imporre che sia minima l'energia interna?
Non traduco il testo dell'esercizio perché è lungo e tanto so che qua siamo tutti gentlemen cosmopoliti e l'inglese 'un lo temiamo.
Punto 1) ho assunto che il gas fosse perfetto (non lo dicono ma una qualche equazione di stato ce la dovrà avere) per ricavare le pressioni da una parte e dall'altra del pistone:
\(\displaystyle p_AV_0/2=RT_A \), \(\displaystyle p_BV_0/2=RT_B \), dunque \(\displaystyle p_A-p_B=\frac{2R(T_A-T_B)}{V_0} \).
All'equilibrio \(\displaystyle \vec{T}+(p_A-p_B)\frac{V_0}{2l}\hat{n}=0 \). E si tratta di sostituire.
\(\displaystyle T=\frac{R(T_A-T_B)}{l}\)
Perfetto.
Punto 2) Assumendo (mah...) che il pistone sia adiabatico, tutto il calore fornito (quasistaticamente) dalla resistenza è trasformato in energia interna, in quanto il filo impedisce la produzione di lavoro meccanico. Si tratta di imporre \(\displaystyle 5000N=\frac{R(\bar{T}_A-T_B)}{l} \).
Punto 3)La trasformazione \(\displaystyle A\rightarrow \bar A \) è un riscaldamento isocoro. Possiamo allora calcolare \(\displaystyle Q=c_v(\bar{T}_A-T_A) \) (Il calore molare è un altro dato che il problema non fornisce... Mah.)
Punto 4) All'equilibrio deve essere \(\displaystyle p_{A'}=p_{B'} \), \(\displaystyle V_{A'}+V_{B'}=V_0 \). Come mi conviene procedere di qui in poi? C'è qualche modo furbo di usare l'equazione di stato o devo imporre che sia minima l'energia interna?
Risposte
Per il punto 4, io direi che il gas a sinistra si espande adiabaticamente, e quello a destra si comprime adiabaticamente, visto che il cilindro è adiabatico.
"sphyr":
Punto 4) ...
Il problema del pistone adiabatico non è risolvibile dal solo punto di vista termodinamico. Del resto:
Variabili termodinamiche iniziali gas A
$[n_A,P_A,V_A,T_A] ^^ [P_AV_A=n_ART_A]$
Variabili termodinamiche iniziali gas B
$[n_B,P_B,V_B,T_B] ^^ [P_BV_B=n_BRT_B]$
Variabili termodinamiche finali gas A
$bar(P_A),bar(V_A),bar(T_A)$
Variabili termodinamiche finali gas B
$bar(P_B),bar(V_B),bar(T_B)$
Equazioni risolutive
$bar(P_A)bar(V_A)=n_ARbar(T_A)$
$bar(P_B)bar(V_B)=n_BRbar(T_B)$
$bar(P_A)=bar(P_B)$
$bar(V_A)+bar(V_B)=V_A+V_B$
$n_Ac_V(bar(T_A)-T_A)+n_Bc_V(bar(T_B)-T_B)=0$
Insomma, poiché si hanno 5 equazioni in 6 incognite, il problema è indeterminato. Solo adottando opportuni modelli dinamici microscopici è possibile trarre delle conclusioni.
Credo di essere arrivato alla soluzione, grazie soprattutto all'aiuto del mio pazientissimo esercitatore. Colgo per chiedere un favore a tutti gli uomini di buona volontà: Sarebbe fattibile aprire un thread che raccolga le soluzioni degli esami di ammissione alla SISSA? Un po' come quello che è già stato fatto per la Normale. Non so quanti contribuirebbero ma per conto mio cercherei di pubblicare più esercizi possibile (di quelli che riesco a fare, ovviamente 
)
)
Sotto le stesse ipotesi già esposte, di gas perfetto, pistone adiabatico e sistema isolato, consideriamo l'entropia del sistema:
\(\displaystyle S=S_A+S_B \).
La variazione di entropia dall'istante della rottura della fune \(\displaystyle (p_A, V_A, T_A) \) all'equilibrio finale \(\displaystyle (\overline p_A, \overline V_A, \overline T_A) \) è data, scegliendo come variabili di stato \(\displaystyle T,V \)[nota]Probabilmente ci sono scelte di variabili più intelligenti ma questa va più che bene[/nota]:
\(\displaystyle \Delta S= \frac{3}{2}Rn_A \ln\frac{\overline T_A \overline V_A^{\gamma-1}}{T_A V_A^{\gamma-1}} + \frac{3}{2}Rn_B\ln\frac{\overline T_B \overline V_B^{\gamma-1}}{T_B V_B^{\gamma-1}} \).
Lo stato verso cui il sistema evolve spontaneamente è quello per cui l'aumento di entropia è massimo, da cui ricaviamo la sesta relazione:
\(\displaystyle \frac{d \Delta S}{d\overline T_A}=0 \) (scegliendo di esprimere tutte le altre variabile di stato in termini di \(\displaystyle \overline T_A, V_0 \).
Adesso il problema è risolvibile, infatti abbiamo 6 equazioni in 6 incognite:
\(\displaystyle (\overline p_A, \overline V_A, \overline T_A) (\overline p_B, \overline V_B, \overline T_B)\)
\(\displaystyle \begin{cases} \overline p_A \overline V_A=n_AR \overline T_A \\ \overline p_B \overline V_B=n_BR \overline T_B \\ \Delta U_A + \Delta U_B = 0 \\ \overline V_A + \overline V_B = V_0 \\ \overline p_A = \overline p_B \\ \frac{d \Delta S}{d\overline T_A}=0 \end{cases} \)
Direi che così dovrebbe andare
\(\displaystyle S=S_A+S_B \).
La variazione di entropia dall'istante della rottura della fune \(\displaystyle (p_A, V_A, T_A) \) all'equilibrio finale \(\displaystyle (\overline p_A, \overline V_A, \overline T_A) \) è data, scegliendo come variabili di stato \(\displaystyle T,V \)[nota]Probabilmente ci sono scelte di variabili più intelligenti ma questa va più che bene[/nota]:
\(\displaystyle \Delta S= \frac{3}{2}Rn_A \ln\frac{\overline T_A \overline V_A^{\gamma-1}}{T_A V_A^{\gamma-1}} + \frac{3}{2}Rn_B\ln\frac{\overline T_B \overline V_B^{\gamma-1}}{T_B V_B^{\gamma-1}} \).
Lo stato verso cui il sistema evolve spontaneamente è quello per cui l'aumento di entropia è massimo, da cui ricaviamo la sesta relazione:
\(\displaystyle \frac{d \Delta S}{d\overline T_A}=0 \) (scegliendo di esprimere tutte le altre variabile di stato in termini di \(\displaystyle \overline T_A, V_0 \).
Adesso il problema è risolvibile, infatti abbiamo 6 equazioni in 6 incognite:
\(\displaystyle (\overline p_A, \overline V_A, \overline T_A) (\overline p_B, \overline V_B, \overline T_B)\)
\(\displaystyle \begin{cases} \overline p_A \overline V_A=n_AR \overline T_A \\ \overline p_B \overline V_B=n_BR \overline T_B \\ \Delta U_A + \Delta U_B = 0 \\ \overline V_A + \overline V_B = V_0 \\ \overline p_A = \overline p_B \\ \frac{d \Delta S}{d\overline T_A}=0 \end{cases} \)
Direi che così dovrebbe andare
"sphyr":
Adesso il problema è risolvibile ...
Sei sicuro che la sesta equazione non sia una mera identità? Solo per fare un esempio:
Ripeto. Il problema del pistone adiabatico non è risolvibile dal solo punto di vista termodinamico. Proprio perché indeterminato, si tratta di un classico della letteratura scientifica. Insomma, capisco che fidarsi è bene ma non fidarsi è meglio. Tuttavia, non sono poi così uno sprovveduto.
P.S.
Tu pensa che qualcuno ci ha fatto pure la tesi: http://tesi.cab.unipd.it/61470/
"anonymous_0b37e9":
[quote="sphyr"]
Adesso il problema è risolvibile ...
Sei sicuro che la sesta equazione non sia una mera identità? Solo per fare un esempio:
Ripeto. Il problema del pistone adiabatico non è risolvibile dal solo punto di vista termodinamico. Proprio perché indeterminato, si tratta di un classico della letteratura scientifica. Insomma, capisco che fidarsi è bene ma non fidarsi è meglio. Tuttavia, non sono poi così uno sprovveduto.
P.S.
Tu pensa che qualcuno ci ha fatto pure la tesi: http://tesi.cab.unipd.it/61470/[/quote]
Mai pensato che tu fossi (voi foste? Lei fosse?) uno sprovveduto, anzi!
L'esercizio che hai allegato[nota]Da che libro proviene? Sembra un bell'esercizio[/nota] (e il poco della tesi che sono riuscito a comprendere) mi hanno dato molto insight sul problema che, almeno per il momento, sono costretto ad abbandonare. D'altronde mi sfugge un dettaglio:
In nessuna delle restanti 5 equazioni viene utilizzato il secondo principio. Ma allora, vista la sua validità assolutamente generale e, (almeno a mio avviso) la correttezza di questa applicazione particolare, come è possibile che ci si riconduca ad un'identità?
Intanto, scusa il ritardo della risposta.
Dal terzo riferimento contenuto nella bibliografia della tesi:
Mi limito ad osservare che, per una trasformazione irreversibile, il secondo principio della termodinamica comporta la scrittura di una disequazione, non di un'equazione. Insomma, paradossalmente, uno studente alle prime armi, ignaro dell'interpretazione di Boltzmann, avrebbe concluso immediatamente che il problema era indeterminato.
"sphyr":
Da che libro proviene?
Dal terzo riferimento contenuto nella bibliografia della tesi:
Callen, Thermodynamics
"sphyr":
Ma allora, vista la sua validità assolutamente generale ...
Mi limito ad osservare che, per una trasformazione irreversibile, il secondo principio della termodinamica comporta la scrittura di una disequazione, non di un'equazione. Insomma, paradossalmente, uno studente alle prime armi, ignaro dell'interpretazione di Boltzmann, avrebbe concluso immediatamente che il problema era indeterminato.
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