Problema di Relatività
Un fascio di particelle instabili di massa a riposo M= 5 GeV/c^2 e vita media propria tau= 10^-8 s viene generato nel punto
x=0 , tutte le particelle del fascio hanno la medesima direzione e energia E= 10 GeV(fascio collimato e monocromatico).
1) A distanza x1= 2 m da x=0 viene posto un rilevatore che misura una intensità di N1= 10^8 particelle/s. Calcolare l'intensità del fascio di particelle in x=0.
Consideriamo ora una particella del fascio e il suo decadimento. La particella decade in due particelle uguali di massa m<2M emesse lungo la direzione del fascio.
2) Calcolare m in modo tale che una delle particelle emesse risulti a riposo nel sistema di riferimento del laboratorio.
Sarei felice se qualcuno mi potesse spiegare come risolverlo. Grazie
x=0 , tutte le particelle del fascio hanno la medesima direzione e energia E= 10 GeV(fascio collimato e monocromatico).
1) A distanza x1= 2 m da x=0 viene posto un rilevatore che misura una intensità di N1= 10^8 particelle/s. Calcolare l'intensità del fascio di particelle in x=0.
Consideriamo ora una particella del fascio e il suo decadimento. La particella decade in due particelle uguali di massa m<2M emesse lungo la direzione del fascio.
2) Calcolare m in modo tale che una delle particelle emesse risulti a riposo nel sistema di riferimento del laboratorio.
Sarei felice se qualcuno mi potesse spiegare come risolverlo. Grazie
Risposte
Ciascuna particella ha energia $E= 10 GeV $ , e l'energia nel riferimento del laboratorio e' esprimibile come $ E = \gammamc^2$.
D'altronde, la massa della particella e' $ M = 5 (GeV)/c^2 $ . Pertanto si può ricavare il fattore $gamma = E/(Mc^2) = (10)/5 = 2$
A questo valore $gamma=2 $ corrisponde una velocità $v = 0.866c$ . Pertanto, la "durata di vita osservata" dal laboratorio di una particella e' : $ t' = gammatau = 2*10 ^-8 s $, perché rispetto al laboratorio la vita della particella si allunga , per la nota relazione tra tempo proprio e tempo coordinato prima scritta.
D'altronde , con una velocità $v=0.866c$ , per percorrere $2m$ una particella impiega, nel laboratorio, un tempo :
$t = s/v = (2m)/(0.866*3*10^8 m) s = 0.77*10^-8 s $
Ma, dopo aver percorso questa distanza, rimangono mediamente $N_1$ particelle , a partire da una popolazione iniziale di $N_0$ particelle. Si può supporre che la relazione tra particelle residue e particelle emesse sia di tipo esponenziale :
$N_1 = N_0 e^(-t/(t'))= N_0e^((- 0.77)/2) = N_0 e^(-0.385) $ , da cui si può ricavare $N_0 = N_1e^(0.385) = 1.4696N_1 $
In verità , questa espressione esponenziale non è spiegata in molti testi, e se uno non la ipotizza o gli viene almeno suggerita non può certamente inventarsela . Io l'ho trovata in pochi esempi, e siccome in relatività nessuno si inventa niente, come spesso dico, la riporto pari pari.
Mi fermo qui , per ora, perché vorrei sapere da te se è chiaro.
D'altronde, la massa della particella e' $ M = 5 (GeV)/c^2 $ . Pertanto si può ricavare il fattore $gamma = E/(Mc^2) = (10)/5 = 2$
A questo valore $gamma=2 $ corrisponde una velocità $v = 0.866c$ . Pertanto, la "durata di vita osservata" dal laboratorio di una particella e' : $ t' = gammatau = 2*10 ^-8 s $, perché rispetto al laboratorio la vita della particella si allunga , per la nota relazione tra tempo proprio e tempo coordinato prima scritta.
D'altronde , con una velocità $v=0.866c$ , per percorrere $2m$ una particella impiega, nel laboratorio, un tempo :
$t = s/v = (2m)/(0.866*3*10^8 m) s = 0.77*10^-8 s $
Ma, dopo aver percorso questa distanza, rimangono mediamente $N_1$ particelle , a partire da una popolazione iniziale di $N_0$ particelle. Si può supporre che la relazione tra particelle residue e particelle emesse sia di tipo esponenziale :
$N_1 = N_0 e^(-t/(t'))= N_0e^((- 0.77)/2) = N_0 e^(-0.385) $ , da cui si può ricavare $N_0 = N_1e^(0.385) = 1.4696N_1 $
In verità , questa espressione esponenziale non è spiegata in molti testi, e se uno non la ipotizza o gli viene almeno suggerita non può certamente inventarsela . Io l'ho trovata in pochi esempi, e siccome in relatività nessuno si inventa niente, come spesso dico, la riporto pari pari.
Mi fermo qui , per ora, perché vorrei sapere da te se è chiaro.
Ciao Shackle. La legge esponenziale si ricava ricordando che la probabilità di decadimento per unità di tempo è l'inverso della vita media. Quindi:
$[N(t+\Deltat)-N(t)=-(\Deltat)/\tauN(t)] rarr [(N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat)=-1/\tauN(t)] rarr $
$rarr [(dN)/(dt)=-1/\tauN] rarr [N(t)=N_0e^(-t/\tau)]$
Veramente, assegnata la probabilità di decadimento per unità di tempo $p$, si ricava la legge esponenziale:
$[N(t+\Deltat)-N(t)=-p\DeltatN(t)] rarr [(N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat)=-pN(t)] rarr $
$rarr [(dN)/(dt)=-pN] rarr [N(t)=N_0e^(-pt)]$
Quindi, si dimostra che la vita media è proprio l'inverso della probabilità di decadimento per unità di tempo:
$\tau=\int_0^(+oo)te^(-pt)pdt=1/p$
$[N(t+\Deltat)-N(t)=-(\Deltat)/\tauN(t)] rarr [(N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat)=-1/\tauN(t)] rarr $
$rarr [(dN)/(dt)=-1/\tauN] rarr [N(t)=N_0e^(-t/\tau)]$
Veramente, assegnata la probabilità di decadimento per unità di tempo $p$, si ricava la legge esponenziale:
$[N(t+\Deltat)-N(t)=-p\DeltatN(t)] rarr [(N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat)=-pN(t)] rarr $
$rarr [(dN)/(dt)=-pN] rarr [N(t)=N_0e^(-pt)]$
Quindi, si dimostra che la vita media è proprio l'inverso della probabilità di decadimento per unità di tempo:
$\tau=\int_0^(+oo)te^(-pt)pdt=1/p$
Grazie Shackle, tutto molto chiaro per ora fino a qui ......finalmente ....grazie anche a Sergeant Elias
Ringrazio anch'io sentitamente il mio amico @anonymous_0b37e9 , ha spiegato una cosa che, come avrete capito, per me era un po' misteriosa, e quindi ho imparato anch'io qualcosa ! Non si finisce mai di imparare , e bisogna avere l'umiltà di riconoscere che non sappiamo tutto. Sarebbe presunzione affermarlo! E quello che sappiamo, poco o tanto che sia, lo mettiamo volentieri a disposizione dei volenterosi qui sul forum, perché la conoscenza, poca o tanta , deve essere appannaggio di tutti .
Vabbe', dopo la tirata...mi fa piacere che ilgi abbia afferrato i concetti finora espressi , anche con l'aiuto su citato.
Adesso c'è la seconda parte . Su questa , non ho tempo ora, perché vado fuori tutto il giorno. Stasera mi dedicherò al quesito, stanchezza permettendo. Intanto , gli consiglio di cominciare a pensare di scrivere delle leggi di conservazione , dell'energia e della qdm , ovvero del 4-impulso totale , la cui norma è invariante . Io cosi farei...
Naturalmente , se @anonymous_0b37e9 o qualcun altro vuole intervenire , lo faccia liberamente...neanche a dirlo !
A risentirci .
Vabbe', dopo la tirata...mi fa piacere che ilgi abbia afferrato i concetti finora espressi , anche con l'aiuto su citato.
Adesso c'è la seconda parte . Su questa , non ho tempo ora, perché vado fuori tutto il giorno. Stasera mi dedicherò al quesito, stanchezza permettendo. Intanto , gli consiglio di cominciare a pensare di scrivere delle leggi di conservazione , dell'energia e della qdm , ovvero del 4-impulso totale , la cui norma è invariante . Io cosi farei...
Naturalmente , se @anonymous_0b37e9 o qualcun altro vuole intervenire , lo faccia liberamente...neanche a dirlo !
A risentirci .
Cmq, per sistema di riferimento di laboratorio si intende un sistema in cui tutte le particelle sono viste muoversi da un osservatore esterno ??? Lo stesso problema come cambierebbe se risolto secondo il sistema di centro di massa ?? Come si inseriscono in questo caso le trasformazioni relativistiche per l'impulso e l'energia ??
Scusate per la mia ignoranza
E' che mi sto cimentando da solo su questi argomenti, per me un po' ostici.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Ecco queste sono le trasformazioni da utilizzare per passare da un sistema all'altro. Forse sto andando in off topic, ma voglio chiarire un mio dubbio che poi si ripercuote nel problema da svolgere: quale delle due configurazioni devo usare ?? Quella di dx o di sx ? Mi è capitato di sbagliare un problema per aver usato la configurazione sbagliata (ovvero per intenderci quella con segno + invece di quella con segno -).
Ciao. Ho avuto una giornata faticosa...Chiarisco il dubbio espresso per ultimo.
Le componenti del 4-impulso si trasformano , con Lorentz, alla stessa maniera in cui si trasformano il tempo e lo spazio.
Mi spiego. Supponi di avere un sistema fisso di coordinate lorentziane $(ct,x) $, senza apice , e un sistema mobile $(ct',x')$ , in cui le coordinate sono indicate con apice. Tralasciamo le coordinate spaziali perpendicolari al moto, per ovvi motivi: le TL non le fanno cambiare.
Se l'asse spaziale mobile $x'$ è orientato nello stesso verso del vettore velocità $vecv$ con cui il sistema mobile si muove rispetto al fisso ( per esempio, entrambi verso destra rispetto all'asse $x$ fisso) , nelle trasformazioni di tempo e spazio ci va il segno $-$ :
$ct' = \gamma ( ct - \betax)$
$ x' = \gamma (x - \beta ct) $
questo ti è certamente noto, dallo studio delle TL . E allora, dato un 4-impulso $P = (E/c, p)$ di una particella , le sue componenti si trasformano alla stessa maniera ( ho messo $p$ come scalare, supponendo che il vettore $vecp$ sia parallelo all'asse $x$ ) , sarebbe a dire :
$(E')/c = gamma ( E/c - \beta p) $
$p' = gamma ( p - beta E/c) $
se il vettore quantità di moto spaziale $vecp$ avesse componenti anche sugli assi perpendicolari, dovremmo scrivere nella TL la componente $p_x$ anziché tutto $p$ , e analogamente per $p'_x$ .
SE ora vuoi le TL inverse , devi fare come al solito : scambiare le coordinate con apice con quelle senza apice, e mettere $-v$ al posto di $v$ , sicché nelle formule c'è il segno $+$. Questo discende dal fatto che , fermo restando l'orientamento verso destra dei due assi $x$ ed $x'$ , ora il sistema con apice si considera fisso , quindi il sistema senza apice si considera mobile, e la velocità vettoriale relativa del sistema mobile rispetto al fisso è ora discorde, perché orientata verso sinistra.
Sembra un po' incasinato, ma col tempo ci fai l'abitudine.
Circa gli altri dubbi: il sistema del centro di massa (o del centro di qdm, come si preferisce dire in RR ) è quello in cui la quantità di moto totale delle particelle è nulla. Quindi , se per esempio hai una particella in quiete , che decade in due, il sistema del c.m. coincide col sistema detto " del laboratorio" , proprio perché "in quiete" vuol dire in quiete rispetto all'osservatore, che coincide col "laboratorio". E quindi ho risposto anche al primo dubbio.
Se nel sistema del laboratorio una particella è in moto con velocita $v$ , il suo 4-impulso è dato da :
$P = (gammamc, gammamv)$
nel sistema del c.m. il 4-impulso ha componenti differenti: il c.m. coincide con la particella evidentemente, quindi $v=0$ e $gamma=1$ . Perciò il 4-impulso ha componenti $(mc,0) $ . Però, la norma è invariante . Se calcoli la norma di $P$ che ho scritto prima , ottieni che $P^2 = (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = .....= (mc)^2$ , che è uguale alla norma calcolata nel rif del c.m. ( al quadrato, ovvio ).
Il testo del tuo esercizio mi fa nascere qualche dubbio . Hai scritto :
sei sicuro ? Nel decadimento, le particelle figlie , uguali, devono avere ciascuna una massa $m$ che sia inferiore a $M/2$ . E questo è logico. Se ti metti nel rif di $M$ , le due figlie devono avere non solo massa ( cioe , energia di riposo $mc^2$ ) ma anche energia cinetica $K$ , e tutta l'energia deve venire dall'energia di riposo di $M$ . In altri termini , deve essere :
$Mc^2 = m_1c^2 + K_1 + m_2c^2 + K_2 $ , dove ho distinto $m_1$ da $m_2$ , ma sono uguali .
Poi, c'è un'altra cosa che non mi torna. Hai scritto :
Che vuol dire? La massa $m$ di una particella è invariante, non dipende certo dalla velocità . A meno che non voglia dire che il 4-impulso di una delle due , supponiamo la 2 , debba essere espresso , nel sistema dl laboratorio, da $(m_2c, 0 ) $ , e quindi la sua energia cinetica sia nulla nel rif del laboratorio. Ma " in modo tale..." mi sconcerta, sembra una implicazione, che non sussiste.
Questa materia non è facile, soprattutto senza una guida.
Tornero sul forum domani sera. Nel frattempo, pensa a come scrivere i 4-impulsi della particella madre e delle due figlie gemelle, applica la conservazione dell'energia e della qdm , tieni conto che il modulo quadro dei 4-impulsi, prima e dopo il decadimento, deve essere lo stesso ...
Ciao , a domani, se posso .
Le componenti del 4-impulso si trasformano , con Lorentz, alla stessa maniera in cui si trasformano il tempo e lo spazio.
Mi spiego. Supponi di avere un sistema fisso di coordinate lorentziane $(ct,x) $, senza apice , e un sistema mobile $(ct',x')$ , in cui le coordinate sono indicate con apice. Tralasciamo le coordinate spaziali perpendicolari al moto, per ovvi motivi: le TL non le fanno cambiare.
Se l'asse spaziale mobile $x'$ è orientato nello stesso verso del vettore velocità $vecv$ con cui il sistema mobile si muove rispetto al fisso ( per esempio, entrambi verso destra rispetto all'asse $x$ fisso) , nelle trasformazioni di tempo e spazio ci va il segno $-$ :
$ct' = \gamma ( ct - \betax)$
$ x' = \gamma (x - \beta ct) $
questo ti è certamente noto, dallo studio delle TL . E allora, dato un 4-impulso $P = (E/c, p)$ di una particella , le sue componenti si trasformano alla stessa maniera ( ho messo $p$ come scalare, supponendo che il vettore $vecp$ sia parallelo all'asse $x$ ) , sarebbe a dire :
$(E')/c = gamma ( E/c - \beta p) $
$p' = gamma ( p - beta E/c) $
se il vettore quantità di moto spaziale $vecp$ avesse componenti anche sugli assi perpendicolari, dovremmo scrivere nella TL la componente $p_x$ anziché tutto $p$ , e analogamente per $p'_x$ .
SE ora vuoi le TL inverse , devi fare come al solito : scambiare le coordinate con apice con quelle senza apice, e mettere $-v$ al posto di $v$ , sicché nelle formule c'è il segno $+$. Questo discende dal fatto che , fermo restando l'orientamento verso destra dei due assi $x$ ed $x'$ , ora il sistema con apice si considera fisso , quindi il sistema senza apice si considera mobile, e la velocità vettoriale relativa del sistema mobile rispetto al fisso è ora discorde, perché orientata verso sinistra.
Sembra un po' incasinato, ma col tempo ci fai l'abitudine.
Circa gli altri dubbi: il sistema del centro di massa (o del centro di qdm, come si preferisce dire in RR ) è quello in cui la quantità di moto totale delle particelle è nulla. Quindi , se per esempio hai una particella in quiete , che decade in due, il sistema del c.m. coincide col sistema detto " del laboratorio" , proprio perché "in quiete" vuol dire in quiete rispetto all'osservatore, che coincide col "laboratorio". E quindi ho risposto anche al primo dubbio.
Se nel sistema del laboratorio una particella è in moto con velocita $v$ , il suo 4-impulso è dato da :
$P = (gammamc, gammamv)$
nel sistema del c.m. il 4-impulso ha componenti differenti: il c.m. coincide con la particella evidentemente, quindi $v=0$ e $gamma=1$ . Perciò il 4-impulso ha componenti $(mc,0) $ . Però, la norma è invariante . Se calcoli la norma di $P$ che ho scritto prima , ottieni che $P^2 = (gammamc)^2 - (gammamv)^2 = .....= (mc)^2$ , che è uguale alla norma calcolata nel rif del c.m. ( al quadrato, ovvio ).
Il testo del tuo esercizio mi fa nascere qualche dubbio . Hai scritto :
La particella decade in due particelle uguali di massa m<2M emesse lungo la direzione del fascio.
sei sicuro ? Nel decadimento, le particelle figlie , uguali, devono avere ciascuna una massa $m$ che sia inferiore a $M/2$ . E questo è logico. Se ti metti nel rif di $M$ , le due figlie devono avere non solo massa ( cioe , energia di riposo $mc^2$ ) ma anche energia cinetica $K$ , e tutta l'energia deve venire dall'energia di riposo di $M$ . In altri termini , deve essere :
$Mc^2 = m_1c^2 + K_1 + m_2c^2 + K_2 $ , dove ho distinto $m_1$ da $m_2$ , ma sono uguali .
Poi, c'è un'altra cosa che non mi torna. Hai scritto :
2) Calcolare m in modo tale che una delle particelle emesse risulti a riposo nel sistema di riferimento del laboratorio.
Che vuol dire? La massa $m$ di una particella è invariante, non dipende certo dalla velocità . A meno che non voglia dire che il 4-impulso di una delle due , supponiamo la 2 , debba essere espresso , nel sistema dl laboratorio, da $(m_2c, 0 ) $ , e quindi la sua energia cinetica sia nulla nel rif del laboratorio. Ma " in modo tale..." mi sconcerta, sembra una implicazione, che non sussiste.
Questa materia non è facile, soprattutto senza una guida.
Tornero sul forum domani sera. Nel frattempo, pensa a come scrivere i 4-impulsi della particella madre e delle due figlie gemelle, applica la conservazione dell'energia e della qdm , tieni conto che il modulo quadro dei 4-impulsi, prima e dopo il decadimento, deve essere lo stesso ...
Ciao , a domani, se posso .
Innanzi tutto ti ringrazio per la disponibilità, precisione e pazienza con cui cerchi di risolvere i miei dubbi 
Io ho pensato alla massa relativistica... con il moto rispetto al sistema del laboratorio potrebbe aumentare ??? Correggimi se sbaglio.
Proverò senz'altro a fare altri tentativi.
La massa m di una particella è invariante, non dipende certo dalla velocità
Io ho pensato alla massa relativistica... con il moto rispetto al sistema del laboratorio potrebbe aumentare ??? Correggimi se sbaglio.
Proverò senz'altro a fare altri tentativi.
Rispondo rapidamente col telefonino , tra un lavoro e un altro : no, la massa è un invariante , il concetto di massa relativistica, che aumenta con la velocità , è ampiamente superato.
Lavora sui 4-impulsi, come ti ho detto.
Chiudo di corsa. Ciao.
Lavora sui 4-impulsi, come ti ho detto.
Chiudo di corsa. Ciao.
Conservazione energia
Se l'energia di una particella del fascio di massa $M$ in moto è pari a 10 Gev, e questa paricella decade in 2 particelle della stessa massa $m0=M/2$ di cui una in moto e una ferma, ciò significa che questi 10 Gev ricompaiono in:
1) energia a riposo della particella che rimane ferma, ovvero $m0c^2$;
2) energia della particella che si muove, ovvero energia a riposo+energia cinetica: $m0c^2 + K$, in cui $K$ è pari a $m0c^2(gamma -1)$.
Conservazione quantità di moto
La quantità di moto della particella iniziale con energia 10Gev, si muove con quantità di moto $p$ che si ricava dalla relazione : $E^2= p^2c^2+ M^2c^4$.
Questa quantità di moto viene tutta ceduta alla particella in movimento: ovvero $p= gammam0*v$ proprio perchè la particella si muove. Quindi dici che associare a $gammam0$ la massa relativistica sia scorretto ?? Meglio tenere $gamma$ separato da $m0$ ??
Per ora questo ho pensato.....
Se l'energia di una particella del fascio di massa $M$ in moto è pari a 10 Gev, e questa paricella decade in 2 particelle della stessa massa $m0=M/2$ di cui una in moto e una ferma, ciò significa che questi 10 Gev ricompaiono in:
1) energia a riposo della particella che rimane ferma, ovvero $m0c^2$;
2) energia della particella che si muove, ovvero energia a riposo+energia cinetica: $m0c^2 + K$, in cui $K$ è pari a $m0c^2(gamma -1)$.
Conservazione quantità di moto
La quantità di moto della particella iniziale con energia 10Gev, si muove con quantità di moto $p$ che si ricava dalla relazione : $E^2= p^2c^2+ M^2c^4$.
Questa quantità di moto viene tutta ceduta alla particella in movimento: ovvero $p= gammam0*v$ proprio perchè la particella si muove. Quindi dici che associare a $gammam0$ la massa relativistica sia scorretto ?? Meglio tenere $gamma$ separato da $m0$ ??
Per ora questo ho pensato.....
La strada che hai intrapreso non è affatto male!
Però , tieni presente che le due particelle figlie non possono avere masse pari a $M/2$. Chi ti dice che la massa si conserva? C'è un punto molto importante, nella dinamica relativistica di collisioni e decadimenti, su cui magari tornerò quando avrò più tempo :
1) l'energia è conservata, ma non è invariante
2) la massa è invariante , ma non è conservata
quindi la somma delle masse di particelle che collidono ( o dei prodotti di decadimento) non è uguale alla somma delle masse delle particelle che si producono ( o che decadono).
La conservazione è un processo che coinvolge il tempo, ed il tempo non è un invariante di Lorentz. Nel 4-impulso di una particella $P = (E/c, vecp)$ / la prima componente è quella temporale. MA il 4-impulso varia le sue componenti, passando da un riferimento ad un altro. Ciò che invece non varia è la sua norma : $ P^2 = (mc)^2$ ,cioè $m$ è invariante.
Ma torniamo a noi.
Partiamo da capo. La particella iniziale ha massa $M= 5 (GeV)/c^2 $ nota , ed energia totale, nel riferimento del laboratorio, anch'essa nota $ E = 10GeV$ . Abbiamo detto che , rispetto al laboratorio, la velocità di $M$ è $0.866c$ , che deriva dal fattore $gamma=2$ . Questo significa che , nel laboratorio, si ha per $M$ l'energia totale :
$E_t = Mc^2 + K = Mc^2 + (gamma-1)Mc^2 = 2Mc^2 $
e cioè l'energia totale è il doppio di quella di riposo: metà della totale è energia di riposo, l'altra metà è en cinetica.
LA particella decade in due particelle di ugual massa : per ora le chiamo $m_1$ ed $m_2$ , anche se so che deve essere $m_1= m_2 = m $ , e suppongo che quella che deve avere velocità nulla nel laboratorio sia $m_2$ .
L'energia totale di $M$ deve quindi, per la conservazione dell'energia , trasformarsi in :
1) energia di riposo + energia cinetica di $m_1$
2) energia di riposo di $m_2 $
in formule : $E_t = m_1c^2 + K_1 + m_2c^2$ ,cioe, uguagliando le due masse "figlie" :
$2Mc^2 = mc^2 + K_1 + mc^2 = 2mc^2 + (gamma_1 -1) mc^2 = (gamma_1 +1) mc^2 $
dove $gamma_1$ è il fattore di Lorentz legato alla velocità $v_1$, nel laboratorio, dell'unica particella figlia che si muove.
Quindi : $m = (2M)/(gamma_1 + 1 ) $ .....[1]
Abbiamo due incognite : $m$ e $gamma_1$ Ci vuole un'altra equazione. Ce la dà la conservazione della qdm.
La quantità di moto di $M$ è nota : $p = gammaMv$ . Questa deve essere uguale a $p_2 + p_1 = 0 + gamma_1mv_1 $ poiché solo la particella $1$ si muove, la $2$ è ferma, per l'ipotesi del problema. Apparentemente, qui sono incognite sia $gamma_1$ che $v_1$ , ma in realtà una sola è l'incognita poiché si può scrivere :
$v_1 = c sqrt(1-1/(\gamma_1^2)$
risulta che il prodotto $gamma_1 v_1 $ è uguale a : $csqrt(gamma_1^2-1)$ . in definitiva , la seconda equazione che ci serve è :
$m*csqrt(gamma_1^2-1) = p$ ......[2]
dove $p$ è nota . Eliminando $m$ tra [1] e [2] si può ricavare $gamma_1$ .
Si tratta di mettere i numeri, ora. Ho fatto dei calcoli molto in fretta ( in questi giorni sono sempre di fretta!) , ed ho trovato :
$gamma_1 = 7 $ e $ m = 1.25 (GeV)/c^2$
ma non sono sicuro . L'importante però è capire due cose :
conservazione dell'energia
conservazione della qdm
che poi non sono altro che la conservazione del 4-impulso.
Aggiungo questo : se giriamo il film di questo decadimento di $M$, con una delle masse figlie che rimane ferma nel laboratorio, e lo proiettiamo all'incontrario , otteniamo quest' altro problema : una massa $m$ è in quiete nel laboratorio, è insomma un bersaglio fisso. Una identica particella $m$ le va incontro con una certa velocità $v$ , e quindi un fattore $gamma = 7$ (ti do il fattore , ma avrei potuto darti la velocità) .
Determinare la massa della particella finale , nel laboratorio. Bene : cercando in precedenti post nel forum , ho trovato questo:
Il problema è chiaro . Se metti ora $gamma = 7 $ , ottieni proprio che $M =4m$ .
Spero si tutto chiaro, ho scritto di notte...
Però , tieni presente che le due particelle figlie non possono avere masse pari a $M/2$. Chi ti dice che la massa si conserva? C'è un punto molto importante, nella dinamica relativistica di collisioni e decadimenti, su cui magari tornerò quando avrò più tempo :
1) l'energia è conservata, ma non è invariante
2) la massa è invariante , ma non è conservata
quindi la somma delle masse di particelle che collidono ( o dei prodotti di decadimento) non è uguale alla somma delle masse delle particelle che si producono ( o che decadono).
La conservazione è un processo che coinvolge il tempo, ed il tempo non è un invariante di Lorentz. Nel 4-impulso di una particella $P = (E/c, vecp)$ / la prima componente è quella temporale. MA il 4-impulso varia le sue componenti, passando da un riferimento ad un altro. Ciò che invece non varia è la sua norma : $ P^2 = (mc)^2$ ,cioè $m$ è invariante.
Ma torniamo a noi.
Partiamo da capo. La particella iniziale ha massa $M= 5 (GeV)/c^2 $ nota , ed energia totale, nel riferimento del laboratorio, anch'essa nota $ E = 10GeV$ . Abbiamo detto che , rispetto al laboratorio, la velocità di $M$ è $0.866c$ , che deriva dal fattore $gamma=2$ . Questo significa che , nel laboratorio, si ha per $M$ l'energia totale :
$E_t = Mc^2 + K = Mc^2 + (gamma-1)Mc^2 = 2Mc^2 $
e cioè l'energia totale è il doppio di quella di riposo: metà della totale è energia di riposo, l'altra metà è en cinetica.
LA particella decade in due particelle di ugual massa : per ora le chiamo $m_1$ ed $m_2$ , anche se so che deve essere $m_1= m_2 = m $ , e suppongo che quella che deve avere velocità nulla nel laboratorio sia $m_2$ .
L'energia totale di $M$ deve quindi, per la conservazione dell'energia , trasformarsi in :
1) energia di riposo + energia cinetica di $m_1$
2) energia di riposo di $m_2 $
in formule : $E_t = m_1c^2 + K_1 + m_2c^2$ ,cioe, uguagliando le due masse "figlie" :
$2Mc^2 = mc^2 + K_1 + mc^2 = 2mc^2 + (gamma_1 -1) mc^2 = (gamma_1 +1) mc^2 $
dove $gamma_1$ è il fattore di Lorentz legato alla velocità $v_1$, nel laboratorio, dell'unica particella figlia che si muove.
Quindi : $m = (2M)/(gamma_1 + 1 ) $ .....[1]
Abbiamo due incognite : $m$ e $gamma_1$ Ci vuole un'altra equazione. Ce la dà la conservazione della qdm.
La quantità di moto di $M$ è nota : $p = gammaMv$ . Questa deve essere uguale a $p_2 + p_1 = 0 + gamma_1mv_1 $ poiché solo la particella $1$ si muove, la $2$ è ferma, per l'ipotesi del problema. Apparentemente, qui sono incognite sia $gamma_1$ che $v_1$ , ma in realtà una sola è l'incognita poiché si può scrivere :
$v_1 = c sqrt(1-1/(\gamma_1^2)$
risulta che il prodotto $gamma_1 v_1 $ è uguale a : $csqrt(gamma_1^2-1)$ . in definitiva , la seconda equazione che ci serve è :
$m*csqrt(gamma_1^2-1) = p$ ......[2]
dove $p$ è nota . Eliminando $m$ tra [1] e [2] si può ricavare $gamma_1$ .
Si tratta di mettere i numeri, ora. Ho fatto dei calcoli molto in fretta ( in questi giorni sono sempre di fretta!) , ed ho trovato :
$gamma_1 = 7 $ e $ m = 1.25 (GeV)/c^2$
ma non sono sicuro . L'importante però è capire due cose :
conservazione dell'energia
conservazione della qdm
che poi non sono altro che la conservazione del 4-impulso.
Aggiungo questo : se giriamo il film di questo decadimento di $M$, con una delle masse figlie che rimane ferma nel laboratorio, e lo proiettiamo all'incontrario , otteniamo quest' altro problema : una massa $m$ è in quiete nel laboratorio, è insomma un bersaglio fisso. Una identica particella $m$ le va incontro con una certa velocità $v$ , e quindi un fattore $gamma = 7$ (ti do il fattore , ma avrei potuto darti la velocità) .
Determinare la massa della particella finale , nel laboratorio. Bene : cercando in precedenti post nel forum , ho trovato questo:
Il problema è chiaro . Se metti ora $gamma = 7 $ , ottieni proprio che $M =4m$ .
Spero si tutto chiaro, ho scritto di notte...
Grazie mille Shakle..... Mi hai risolto diversi dubbi.... e grazie anche per l'integrazione finale, praticamente un altro esercizio
Mi hai risolto diversi dubbi.... e grazie anche per l'integrazione finale, praticamente un altro esercizio
Torno alla carica 
con un altro esercizio, l'ultimo, lo giuro, 
poi non rompo più le scatole 
.
Di questo esercizio ho pure le soluzioni, che onestamente, per come sono scritte, mi sembrano poco chiare.
le soluzioni sono
Quel che credo di aver capito è che, per semplicità nella risoluzione, si è risolto il quesito 1 nel sistema di riferimento del CM, per poi 'trasportare' le soluzioni ottenute, attraverso le trasformazioni di Lorentz, nel sistema del laboratorio.
Allora, nel sistema CM la particella possiede un'energia $E_(0)=$ $498 MeV$ in quanto la sua massa è $(498 MeV)/c^2$. Essa decade in due neutrini, che, per la conservazione della quantità di moto, devono:
1) procedere in direzioni opposte, ovvero i due vettori velocità devono avere versi opposti, ma con stesso modulo (da cui discende una stessa $gamma$),
2) possedere la stessa massa
Per la conservazione dell'energia invece metà dell'energia del kaone(la particella di partenza, rispetto alla quale è riferito il sistema di centro di massa) deve essere associata a ciascuna delle due, ovvero $E_(CM)^(n)$ =$249$. Questo ovviamente vale proprio perchè il Kaone è fermo in partenza(sono sempre nel sistema CM). Correggetemi se sbaglio.
Ok quindi nel sistema CM l'energia minima sembra proprio essere metà dell'energia del Kaone in quiete.
Ora arriva la parte secondo me più ostica, ovvero l'uso delle trasformazioni di Lorentz. Per il sistema del centro di massa il sistema del laboratorio si muove con velocità $V= - 0.9997...$ il cui modulo è ottenuto da $V= sqrt(1-1/(gamma)^2$ con $gamma=50$. Per il laboratorio il viceversa.
Inserisco un disegno, in cui cerco di rappresentare la situazione nel sistema CM e nel sistema del Laboratorio, non garantisco sulla correttezza.
Ora dato che dal sistema del centro di massa (fermo) devo passare al sistema del laboratorio in moto, perchè visto dal primo, con velocità che è opposta all'orientazione degli assi x del sistema del laboratorio e x del sistema del CM, se non sbaglio dovrò usare le trasformazioni relativistiche dell'impulso e dell'energia con segno +, queste per intenderci:
In particolare sono interessato all'ultima, ovvero quella dell'energia, che riscrivo come
$E_(lab)= gamma*(E_(CM) + beta*c(p_(CM)))$
dove $E_(CM)^(n)$ è l'energia delle particelle,(ricordo che con $E_0$ indico la massa della particella iniziale),i neutroni, quella calcolata prima, e $p_(CM)$ è la quantità di moto delle particelle, ricordo sempre nel sistema del CM. $beta$ è pari a rapporto $V/C$ = $0.9997$ che possiamo approssimare a 1. $p_(CM)$ invece viene approssimato a $E_(CM)/c$, a partire dalla relazione $E^2= p^2*c^2 + m_(0)^2*c^4$, perchè $m_(0)$ trascurabile (dato del problema), che credo assuma segno positivo e pure negativo, perchè due sono le particelle di cui si vuole calcolare l'energia, e ovviamente opposti sono i loro versi di percorrenza.
Sostituendo il tutto viene, per la particella con quantità di moto positiva
$E_(lab)= gamma*(E_(CM) + beta*c(p_(CM)))$ = $50 * (249MeV +1 *c((249MeV)/c)$
Ottengo $24900 Mev$ ovvero $25 Gev$, ma non $2.5 Gev$ come proposto in soluzione
dove sbaglio ???????????
Mentre l'altra, quella con quantità di moto negativa ha energia pari a $0$
SOS
con un altro esercizio, l'ultimo, lo giuro, poi non rompo più le scatole .Di questo esercizio ho pure le soluzioni, che onestamente, per come sono scritte, mi sembrano poco chiare.
Una particella neutra di massa invariante 498 MeV/c2 (kaone) di energia E=25GeV decade in due neutrini (di massa invariante trascurabile). Un neutrino si muove nella direzione di moto del kaone, l'altro nella direzione opposta. I due neutrini raggiungono contemporaneamente nel sistema di riferimento del laboratorio due rivelatori posti ad una distanza di 10km l'uno dall'altro. Calcolare:
1) L'energia minima di un neutrino
2) L'intervallo di tempo nel sistema di riferimento del kaone tra l'arrivo nel rivelatore del primo neutrino e l'arrivo del secondo neutrino.
le soluzioni sono
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Quel che credo di aver capito è che, per semplicità nella risoluzione, si è risolto il quesito 1 nel sistema di riferimento del CM, per poi 'trasportare' le soluzioni ottenute, attraverso le trasformazioni di Lorentz, nel sistema del laboratorio.
Allora, nel sistema CM la particella possiede un'energia $E_(0)=$ $498 MeV$ in quanto la sua massa è $(498 MeV)/c^2$. Essa decade in due neutrini, che, per la conservazione della quantità di moto, devono:
1) procedere in direzioni opposte, ovvero i due vettori velocità devono avere versi opposti, ma con stesso modulo (da cui discende una stessa $gamma$),
2) possedere la stessa massa
Per la conservazione dell'energia invece metà dell'energia del kaone(la particella di partenza, rispetto alla quale è riferito il sistema di centro di massa) deve essere associata a ciascuna delle due, ovvero $E_(CM)^(n)$ =$249$. Questo ovviamente vale proprio perchè il Kaone è fermo in partenza(sono sempre nel sistema CM). Correggetemi se sbaglio.
Ok quindi nel sistema CM l'energia minima sembra proprio essere metà dell'energia del Kaone in quiete.
Ora arriva la parte secondo me più ostica, ovvero l'uso delle trasformazioni di Lorentz. Per il sistema del centro di massa il sistema del laboratorio si muove con velocità $V= - 0.9997...$ il cui modulo è ottenuto da $V= sqrt(1-1/(gamma)^2$ con $gamma=50$. Per il laboratorio il viceversa.
Inserisco un disegno, in cui cerco di rappresentare la situazione nel sistema CM e nel sistema del Laboratorio, non garantisco sulla correttezza.
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Ora dato che dal sistema del centro di massa (fermo) devo passare al sistema del laboratorio in moto, perchè visto dal primo, con velocità che è opposta all'orientazione degli assi x del sistema del laboratorio e x del sistema del CM, se non sbaglio dovrò usare le trasformazioni relativistiche dell'impulso e dell'energia con segno +, queste per intenderci:
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In particolare sono interessato all'ultima, ovvero quella dell'energia, che riscrivo come
$E_(lab)= gamma*(E_(CM) + beta*c(p_(CM)))$
dove $E_(CM)^(n)$ è l'energia delle particelle,(ricordo che con $E_0$ indico la massa della particella iniziale),i neutroni, quella calcolata prima, e $p_(CM)$ è la quantità di moto delle particelle, ricordo sempre nel sistema del CM. $beta$ è pari a rapporto $V/C$ = $0.9997$ che possiamo approssimare a 1. $p_(CM)$ invece viene approssimato a $E_(CM)/c$, a partire dalla relazione $E^2= p^2*c^2 + m_(0)^2*c^4$, perchè $m_(0)$ trascurabile (dato del problema), che credo assuma segno positivo e pure negativo, perchè due sono le particelle di cui si vuole calcolare l'energia, e ovviamente opposti sono i loro versi di percorrenza.
Sostituendo il tutto viene, per la particella con quantità di moto positiva
$E_(lab)= gamma*(E_(CM) + beta*c(p_(CM)))$ = $50 * (249MeV +1 *c((249MeV)/c)$
Ottengo $24900 Mev$ ovvero $25 Gev$, ma non $2.5 Gev$ come proposto in soluzione
dove sbaglio ???????????Mentre l'altra, quella con quantità di moto negativa ha energia pari a $0$
SOS
Nessuna idea ??
Abbi un po' di pazienza, decifrare 'sta roba non è facile. Ma dovresti farcela da solo, dopo tutto ciò di cui abbiamo parlato...PRobabilmente c'è qualche errore di calcolo.
Dopo un po'....
Ho controllato la soluzione del libro, è giusta . Ad un certo punto scrive ( ometto l'apice $nu$ per non appesantire la scrittura, ma si intende che mi riferisco ai neutrini) :
$ E_(lab) = gamma E_(CM)(1+-beta) $
e questo è corretto : ci sono due neutrini , ad uno compete il segno positivo, all'altro il segno negativo . Ora non stare a preoccuparti a quale dei due ! Da questa formula, poiché si ha :
$(1-beta^2)/(1+beta) = 1-beta$
e analogamente :$(1-beta^2)/(1-beta) = 1+beta$
puoi scrivere :
$ E_(lab) = gamma E_(CM)(1-beta^2)/(1+-beta) = \gamma/\gamma^2 E_(CM)/(1+-beta) = E_(CM)/(gamma(1+-beta)$
Perciò , la minima energia ce l'hai quando assumi il segno $+$ davanti a $beta$ , e risulta :
$E_(min) \approx E_(CM)/(2gamma) = (249 MeV)/(100) = 2.49 MeV $
Poi c'è il calcolo del $\Deltat'$ nel rif. del Kaone , con la TL del tempo, tenendo conto che nel rif del laboratorio il dato è che i due neutrini arrivano contemporaneamente .
Dopo un po'....
Ho controllato la soluzione del libro, è giusta . Ad un certo punto scrive ( ometto l'apice $nu$ per non appesantire la scrittura, ma si intende che mi riferisco ai neutrini) :
$ E_(lab) = gamma E_(CM)(1+-beta) $
e questo è corretto : ci sono due neutrini , ad uno compete il segno positivo, all'altro il segno negativo . Ora non stare a preoccuparti a quale dei due ! Da questa formula, poiché si ha :
$(1-beta^2)/(1+beta) = 1-beta$
e analogamente :$(1-beta^2)/(1-beta) = 1+beta$
puoi scrivere :
$ E_(lab) = gamma E_(CM)(1-beta^2)/(1+-beta) = \gamma/\gamma^2 E_(CM)/(1+-beta) = E_(CM)/(gamma(1+-beta)$
Perciò , la minima energia ce l'hai quando assumi il segno $+$ davanti a $beta$ , e risulta :
$E_(min) \approx E_(CM)/(2gamma) = (249 MeV)/(100) = 2.49 MeV $
Poi c'è il calcolo del $\Deltat'$ nel rif. del Kaone , con la TL del tempo, tenendo conto che nel rif del laboratorio il dato è che i due neutrini arrivano contemporaneamente .
Grazie Shackle, gentilissimo. Perchè fare tutti questi passaggi algebrici , quando basta sostituire beta ? Non ne vedo il senso 
Che testa dura che sono ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Che testa dura che sono
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