Problema di meccanica dei corpi rigidi
Buonasera, riporto il testo del problema e la mia risoluzione. Vorrei sapere se l'ho svolto in modo corretto.
"Un disco di massa \(\displaystyle m_1=8 kg \) e raggio \(\displaystyle R \) è su un piano inclinato di un angolo \(\displaystyle \theta = 30^° \); al suo asse è legato un filo che passa su una puleggia priva di massa e attrito e regge un blocco di massa \(\displaystyle m_2=6kg \) fermo a una altezza \(\displaystyle h=1,5 m \) dal suolo. Al tempo \(\displaystyle t=0 \) si lascia libero \(\displaystyle m_2 \), che scende facendo salire il disco sulla guida con moto di puro rotolamento.
Calcolare:
l'accelerazione di \(\displaystyle m_2 \)
la velocità con cui \(\displaystyle m_2 \) tocca il suolo
la quota massima raggiunta dal centro del disco rispetto a quella iniziale
se il filo si stacca, quanto tempo impiega il disco a ritornare dalla quota massima alla quota iniziale.
Allora, il moto del corpo di massa \(\displaystyle m_2 \) è regolato da:
\(\displaystyle mg-T=m_2a \)
Il moto del centro del disco è regolato da
\(\displaystyle T-mg \sin( \theta)=m_1 a \)
Da cui ricavo l'accelerazione del blocco: \(\displaystyle a=\frac{mg(\sin(\theta)-1)}{m_1+m_2} \)
Per trovare la velocità con cui il blocco tocca il suolo, uso l'equazione oraria del moto uniformemente accelerato per trovare in quanto tempo raggiunge il suolo e poi trovo la velocità.
A questo punto per rispondere alla terza domanda, sfrutto il tempo che ho trovato adesso per vedere quanto spazio ha percorso il centro del disco (lungo il piano inclinato), e quindi trovo a che altezza si trova
Per l'ultimo punto, il moto del centro del disco è regolato da
\(\displaystyle -mg\sin(\theta) =m_1 a \), e uso sempre le equazioni del moto uniformemente accelerato per capire in quanto tempo ritorna alla posizione originaria.
Ho dei seri dubbi perché non ho usato nessuna equazione rotazionale, quindi presumo di aver sbagliato ragionamento.
"Un disco di massa \(\displaystyle m_1=8 kg \) e raggio \(\displaystyle R \) è su un piano inclinato di un angolo \(\displaystyle \theta = 30^° \); al suo asse è legato un filo che passa su una puleggia priva di massa e attrito e regge un blocco di massa \(\displaystyle m_2=6kg \) fermo a una altezza \(\displaystyle h=1,5 m \) dal suolo. Al tempo \(\displaystyle t=0 \) si lascia libero \(\displaystyle m_2 \), che scende facendo salire il disco sulla guida con moto di puro rotolamento.
Calcolare:
l'accelerazione di \(\displaystyle m_2 \)
la velocità con cui \(\displaystyle m_2 \) tocca il suolo
la quota massima raggiunta dal centro del disco rispetto a quella iniziale
se il filo si stacca, quanto tempo impiega il disco a ritornare dalla quota massima alla quota iniziale.
Allora, il moto del corpo di massa \(\displaystyle m_2 \) è regolato da:
\(\displaystyle mg-T=m_2a \)
Il moto del centro del disco è regolato da
\(\displaystyle T-mg \sin( \theta)=m_1 a \)
Da cui ricavo l'accelerazione del blocco: \(\displaystyle a=\frac{mg(\sin(\theta)-1)}{m_1+m_2} \)
Per trovare la velocità con cui il blocco tocca il suolo, uso l'equazione oraria del moto uniformemente accelerato per trovare in quanto tempo raggiunge il suolo e poi trovo la velocità.
A questo punto per rispondere alla terza domanda, sfrutto il tempo che ho trovato adesso per vedere quanto spazio ha percorso il centro del disco (lungo il piano inclinato), e quindi trovo a che altezza si trova
Per l'ultimo punto, il moto del centro del disco è regolato da
\(\displaystyle -mg\sin(\theta) =m_1 a \), e uso sempre le equazioni del moto uniformemente accelerato per capire in quanto tempo ritorna alla posizione originaria.
Ho dei seri dubbi perché non ho usato nessuna equazione rotazionale, quindi presumo di aver sbagliato ragionamento.
Risposte
l'errore sta nel non avere considerato la forza di attrito nell'equazioni che hai scritto. Affinché ci sia puro rotolamento, necessariamente deve essere presente una forza di attrito statico tra piano e punto di contatto.
Questo invalida le equ. che hai scritto, in particolare l'accelerazione che hai ricavato.
Il modo giusto per risolvere è usare la seconda equ. cardinale per trovare la velocità angolare del disco. Grazie alla condizione di puro rotolamento puoi di conseguenza trovare la velocità del disco lungo il piano e, infine, la sua accelerazione. Volendo puoi anche trovare la forza di attrito statico, ma non saprei se possa servire per il resto della soluzione
Questo invalida le equ. che hai scritto, in particolare l'accelerazione che hai ricavato.
Il modo giusto per risolvere è usare la seconda equ. cardinale per trovare la velocità angolare del disco. Grazie alla condizione di puro rotolamento puoi di conseguenza trovare la velocità del disco lungo il piano e, infine, la sua accelerazione. Volendo puoi anche trovare la forza di attrito statico, ma non saprei se possa servire per il resto della soluzione
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