Problema di meccanica
Buongiorno, vi propongo questo problema di meccanica tratto dall'ammissione della superiore di Udine.
All'inizio stavo pensando di ricavare l'equazione del moto partendo dall'accelerazione del corpo 2m. Infatti su di lui agiscono la forza peso e le due tensioni, di cui ci interessa la sola componente verticale, che è data da
$ T_v=T\cdot \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} $
che dipende dalla quota x (lo 0 è posto nella situazione iniziale e l'asse è orientato verso il basso).
Ora, sapendo che per la fune inestendibile le accelerazioni dei tre corpi sono uguali, e inizialmente il corpo centrale è soggetto alla sola gravità (le due tensioni sono orizzontali e di verso opposto), anche i due corpi m devono accelerare di g (verso l'alto). Questo significa che
$ T=-2mg $
L'accelerazione risultante di 2m che dipende da x è quindi
$a=\frac{2mg-2mg\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}}{2m}=g-g\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}$
Dunque
$\frac{d^2x}{dt^2}=g\left(1-\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\right)$
Solamente che la soluzione è decisamente troppo complessa perché sia giusta. Io l'ho ottenuta grazie a wolfram, a penna non credo ce l'avrei mai fatta.
Inoltre, mi è venuto il dubbio che la tensione non sia costante, perché le accelerazioni di m e 2m devono essere uguali istante per istante, così invece è vero solo all'istante iniziale. Come ne esco?
All'inizio stavo pensando di ricavare l'equazione del moto partendo dall'accelerazione del corpo 2m. Infatti su di lui agiscono la forza peso e le due tensioni, di cui ci interessa la sola componente verticale, che è data da
$ T_v=T\cdot \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} $
che dipende dalla quota x (lo 0 è posto nella situazione iniziale e l'asse è orientato verso il basso).
Ora, sapendo che per la fune inestendibile le accelerazioni dei tre corpi sono uguali, e inizialmente il corpo centrale è soggetto alla sola gravità (le due tensioni sono orizzontali e di verso opposto), anche i due corpi m devono accelerare di g (verso l'alto). Questo significa che
$ T=-2mg $
L'accelerazione risultante di 2m che dipende da x è quindi
$a=\frac{2mg-2mg\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}}{2m}=g-g\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}$
Dunque
$\frac{d^2x}{dt^2}=g\left(1-\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\right)$
Solamente che la soluzione è decisamente troppo complessa perché sia giusta. Io l'ho ottenuta grazie a wolfram, a penna non credo ce l'avrei mai fatta.
Inoltre, mi è venuto il dubbio che la tensione non sia costante, perché le accelerazioni di m e 2m devono essere uguali istante per istante, così invece è vero solo all'istante iniziale. Come ne esco?
Risposte
Mi sembra un'idea migliore usare la conservazione dell'energia.
Ero curioso di provare, posto una mia soluzione che non so se sia corretta ma magari ti farà venire qualche idea:
Sul corpo di massa 2m sono applicate due Forze grazie alle due funi.
Quindi se il corpo di massa 2m scende di h, i due corpi di massa m scenderanno di $\frac{h}{2}$ ciascuno.
A questo punto, scegliendo lo 0 dell'energia potenziale nel punto in cui erano le due masse m all'istante iniziale abbiamo:
$2mg(h + h_0) = \frac{1}{2} 2 m v^2 + 2 \frac{1}{2} m(\frac{v}{2})^2 + mg (\frac{h}{2} + h_0) + mg (\frac{h}{2} + h_0)$
da cui:
$v = sqrt{\frac{4}{5}gh}$
Ero curioso di provare, posto una mia soluzione che non so se sia corretta ma magari ti farà venire qualche idea:
Sul corpo di massa 2m sono applicate due Forze grazie alle due funi.
Quindi se il corpo di massa 2m scende di h, i due corpi di massa m scenderanno di $\frac{h}{2}$ ciascuno.
A questo punto, scegliendo lo 0 dell'energia potenziale nel punto in cui erano le due masse m all'istante iniziale abbiamo:
$2mg(h + h_0) = \frac{1}{2} 2 m v^2 + 2 \frac{1}{2} m(\frac{v}{2})^2 + mg (\frac{h}{2} + h_0) + mg (\frac{h}{2} + h_0)$
da cui:
$v = sqrt{\frac{4}{5}gh}$
Le carrucole laterali sono fisse, per cui se il corpo scende di h, allora quelli laterali si alzano di
$\sqrt{h^2+l^2}-l$ dove l è la semidistanza tra le due carrucole.
Detto questo, come mai dici che la velocità dei laterali è $v/2$?
$\sqrt{h^2+l^2}-l$ dove l è la semidistanza tra le due carrucole.
Detto questo, come mai dici che la velocità dei laterali è $v/2$?
"Nickbru":
Detto questo, come mai dici che la velocità dei laterali è $v/2$?
Perchè credevo che salissero di $\frac{h}{2}$ quando il corpo centrale scende di $h$.
Se tu affermi che $s = \sqrt{h^2 + l^2} -l $ (non ho ben capito perchè) puoi concludere facilmente con la conservazione dell'energia.
Ciao, provo a darti questa idea che molto probabilmente verrà smentita, però chissà, potrebbe tornarti utile 
Allora, anche io proverei a usare la conservazione della energia meccanica.
Con i dati che abbiamo a disposizione e dal disegno, quando la massa $2m$ arriva sulla tavola abbiamo praticamente un triangolo rettangolo con ipotenusa $i=50*sqrt(2)$.
Ammesso che abbia interpretato bene i dati iniziali, allora inizialmente la corda orizzontale su uno qualunque dei due lati è di 50 cm.
Ora, abbiamo visto che quando il corpo tocca la tavola la corda è più lunga, quindi ha tirato in su quella delle masse $m$ per guadagnare lunghezza.Questo lo fa ambo i lati provocando la stessa differenza di quota.
Quindi l'allungamento è di $DeltaH = 50(sqrt(2)-1)$ che è anche di quanto devono sollevarsi le masse.
Dunque
$1/2 * 2m*v^2 = 2m*g*h -2*m*g*DeltaH$, dove $h=50cm$, mentre il termine con il segno $-$ sarebbe il lavoro che fa la gravità tramite le due masse $m$
Dunque $v=sqrt(2*sqrt(2)gh(sqrt(2)-1))$
Allora, anche io proverei a usare la conservazione della energia meccanica.
Con i dati che abbiamo a disposizione e dal disegno, quando la massa $2m$ arriva sulla tavola abbiamo praticamente un triangolo rettangolo con ipotenusa $i=50*sqrt(2)$.
Ammesso che abbia interpretato bene i dati iniziali, allora inizialmente la corda orizzontale su uno qualunque dei due lati è di 50 cm.
Ora, abbiamo visto che quando il corpo tocca la tavola la corda è più lunga, quindi ha tirato in su quella delle masse $m$ per guadagnare lunghezza.Questo lo fa ambo i lati provocando la stessa differenza di quota.
Quindi l'allungamento è di $DeltaH = 50(sqrt(2)-1)$ che è anche di quanto devono sollevarsi le masse.
Dunque
$1/2 * 2m*v^2 = 2m*g*h -2*m*g*DeltaH$, dove $h=50cm$, mentre il termine con il segno $-$ sarebbe il lavoro che fa la gravità tramite le due masse $m$
Dunque $v=sqrt(2*sqrt(2)gh(sqrt(2)-1))$
"Dracmaleontes":
Se tu affermi che $s = \sqrt{h^2 + l^2} -l $ (non ho ben capito perchè)
Perché la distanza di cui è salito ogni corpo laterale è pari all'allungamento della fune dalla carrucola al corpo centrale, e questo allungamento si ottiene con pitagora (sottraendo poi la lunghezza iniziale di mezzo metro)
@caffeinaplus ti manca da inserire la velocità delle due masse laterali
Dunque, in seguito alla correzione che mi ha fatto Nickbru io farei cosi:
$ v_{2m} = \dot{h} $
$ v_{m} = \frac{d}{dt} (\sqrt{h^2 + l^2} - l) = \dot{h} \frac{h}{\sqrt{h^2 + l^2}} $
$0 = m(\dot{h} \frac{h}{\sqrt{h^2 + l^2}})^2 + m \dot{h}^2 - 2mgh + 2mg(\sqrt{h^2 + l^2} - l) $
$ \dot{h} = \sqrt{[\frac{2g(h+l - \sqrt{h^2 + l^2})}{2h^2 + l^2}](h^2 + l^2)} = 1.96 m s^-1 $
Dunque, in seguito alla correzione che mi ha fatto Nickbru io farei cosi:
$ v_{2m} = \dot{h} $
$ v_{m} = \frac{d}{dt} (\sqrt{h^2 + l^2} - l) = \dot{h} \frac{h}{\sqrt{h^2 + l^2}} $
$0 = m(\dot{h} \frac{h}{\sqrt{h^2 + l^2}})^2 + m \dot{h}^2 - 2mgh + 2mg(\sqrt{h^2 + l^2} - l) $
$ \dot{h} = \sqrt{[\frac{2g(h+l - \sqrt{h^2 + l^2})}{2h^2 + l^2}](h^2 + l^2)} = 1.96 m s^-1 $
"Dracmaleontes":
@caffeinaplus ti manca da inserire la velocità delle due masse laterali
Io ho ragionato così:
voglio concentrarmi solo sulla massa $2m$ e sulla sua velocità, allora
$DeltaK_(2m) = 1/2 * 2m * v^2$
Le forze a fare lavoro sono quella dovuta alla gravità che agisce su di esso $2mgh$
e la forza di gravità delle altre due masse che agiscono contro il nostro corpo $-2*(mgDeltaH)$
Però potrei tranquillamente sbagliarmi
L'autore ha per caso il risultato numerico?
Edit: inoltre credo di non aver tenuto conto del fatto che $DeltaH$ rappresenta quanti metri la corda centrale sottrae alle altre in totale.
Per la simmetria del sistema, penso che ogni massa $m$ dia $(DeltaH)/2$ come contributo.
Allora:
$(1/2)*(2m)*v^2=2mgh-2mg*((DeltaH)/2)$
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