Problema di fisica con equazioni differenziali
Ho questo esercizio di fisica da risolvere con le equazioni differenziali, livello scuola superiore: Una barca si muove sulla superficie di un lago con velocità $v = 4 - 4x$ (x è l’ascissa del baricentro). La posizione al tempo $t = 0$ è $x_0 = 2$. Determina come varia x al variare di t.
Sapendo che la velocita è la derivata della posizione, ho integrato per trovare la posizione: $x(t)=int (4-4x)dx=4x-2x^2$
Ma il risultato è sbagliato. Perchè?
Sapendo che la velocita è la derivata della posizione, ho integrato per trovare la posizione: $x(t)=int (4-4x)dx=4x-2x^2$
Ma il risultato è sbagliato. Perchè?
Risposte
Non hai tenuto conto della condizione iniziale che ti è stata data $x(0)=2$
Lo scempio matematico e fisico è purtroppo ben peggiore di una condizione iniziale. Anzitutto la velocità è la derivata della posizione...ma rispetto a quale variabile? E tu chi hai integrato e rispetto a quale variabile? Cioé è proprio una blasfemia quella cosa lì non ha senso né a livello matematico né fisico né filosofico né teologico.
Credevo la $x$ fosse il tempo scusate. Ho letto male.
Allora devi risolvere l'equazione differenziale lineare è semplice.
$x'=-4x+4$
È un problema di Cauchy.
Allora devi risolvere l'equazione differenziale lineare è semplice.
$x'=-4x+4$
È un problema di Cauchy.
Anzitutto la velocità è la derivata della posizione...ma rispetto a quale variabile?
Rispetto a $x$ che è la posizione del baricentro.
E poi ho integrato rispetto a $x$, come in un esercizio simile che ho risolto prima.
$ x'=-4x+4 $
$x=e^(int(-4)dt)*[int(4*e^(-int(-4)dt))dt+C]=e^(-4t)*[int(4*e^(4t))dt+C]=e^(-4t)*[e^(4t)+C]=1+C*e^(-4t)$
E poi imponi la condizione iniziale.
$x=e^(int(-4)dt)*[int(4*e^(-int(-4)dt))dt+C]=e^(-4t)*[int(4*e^(4t))dt+C]=e^(-4t)*[e^(4t)+C]=1+C*e^(-4t)$
E poi imponi la condizione iniziale.
Ah, ma perchè è sbagliato integrare direttamente? Io non la vedevo come una lineare.
"ZfreS":Anzitutto la velocità è la derivata della posizione...ma rispetto a quale variabile?
Rispetto a $x$ che è la posizione del baricentro.
No. La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo.
"ZfreS":Anzitutto la velocità è la derivata della posizione...ma rispetto a quale variabile?
Rispetto a $x$ che è la posizione del baricentro.
E poi ho integrato rispetto a $x$, come in un esercizio simile che ho risolto prima.
Devi assolutamente e incontrovertibilmente rileggerti dal paragrafo 1 del tuo libro di fisica. La velocità è una variazione dello spazio rispetto al tempo. E' proprio la base. Quando vai in macchina dici "vado a 100 km/h" o "vado a 100km/km". Perché questo significherebbe la derivata della posizione rispetto alla posizione. Puoi risolvere il problema come ti ha fatto vedere l'altro utente, oppure puoi usare il metodo standard per le equazioni diff lineari senza passare dalla formula risolutiva oppure puoi trattarla come equaone diff a variabili separabili. Ma di certo quello che hai fatto tu non ha nessun significato. Anche solo matematico. Applicare procedimenti di esercizi simili non è il modo di prcedere. Devi ragionare.
@zfres fa il liceo e si diletta a leggere libri (e altro) che vanno oltre il suo programma scolastico.
Niente di male, solo che dovrebbe specificarlo ogni volta per chi non lo sa così che possano calibrare le risposte …
Cordialmente, Alex
Niente di male, solo che dovrebbe specificarlo ogni volta per chi non lo sa così che possano calibrare le risposte …
Cordialmente, Alex
Ok, questo è un esercizio da liceo, tratto dalla sezione degli esercizi applicati alla fisica, quindi non avevo appreso bene il concetto di derivata nel caso della velocità. Quindi nella mia equazione, non devo integrare rispetto alla posizione, ma rispetto al tempo, però non capisco perchè nell'equazione non viene esplicitato il tempo. Allora dovrebbe essere così: $x'(t)=-4x(t)+4$ dove la $x$ è la variabile dipendente e $t$ è la variabile indipendente, giusto?
Sì
@Zfres
Quindi fate le equazioni differenziali in quarta liceo?
Quindi fate le equazioni differenziali in quarta liceo?
Bravissimi! 
No, le equazioni differenziali in quinta. Sono io che mi sono spinto oltre.
Però non ho capito una cosa: perchè l'esercizio fornisce la velocità in quella forma e la posizione risulta una funzione esponenziale.
Non dovrebbe essere la velocità come $v=Deltax/t$ e $s=v*t$ ?
Non dovrebbe essere la velocità come $v=Deltax/t$ e $s=v*t$ ?
"ZfreS":
Non dovrebbe essere la velocità come $v=Δx/t e $ s=v*t$
Questa non l'ho capita.
"ZfreS":
la posizione risulta una funzione esponenziale
Equazione differenziale, risolvi e quel che viene viene.
Penso intenda che non riesce a vedere come in realtà la velocità sia la derivata della posizione nel tempo in questo caso. Fai così, anzitutto giustamente risolvi il problema, poi deriva la soluzione che hai trovato ed eguagliala alla velocità che ti dà il testo. E vedi se viene uguale. Ovviamente esprimendo le giuste quantità nella forma opportuna.
A scuola mi hanno sempre abituato al fatto che la velocità è $v=(Deltas)/(Deltat)$ e la legge oraria $S=s_0+v*t$. Invece in questo problema la velocità mi è stata data in forma un pò strana, e poi la legge oraria non è uscita come una funzione lineare ma come esponenziale. Quel che non capisco è questo. Il fatto che queste grandezze non si presentino nella forma "classica". Oppure sto capendo male è la velocità $4-4x$ è già il risultato di un rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato.
Perché $\Deltat->0$.
$(\Deltas)/(\Deltat)$ è il rapporto incrementale, tu vai a fare il limite
$lim_(\Deltat->0)(\Deltas)/(\Deltat)$ e diventa una derivata.
$(\Deltas)/(\Deltat)$ è il rapporto incrementale, tu vai a fare il limite
$lim_(\Deltat->0)(\Deltas)/(\Deltat)$ e diventa una derivata.
Quindi la velocità che io ho come dato è in realtà il risultato del limite di un rapporto incrementale?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo