Problema di fisica 1
salve, non essendo molto sicuro in fisica vorrei sapere se i ragionamenti da me fatti sono corretti o andava risolto in altro modo il problema e vorrei sapere quali sono i risultati. grazie mille a chi risponderà.
Traccia : Un corpo di massa M1 = 20 Kg, posto su un piano inclinato di angolo a = 30°, è appeso con una corda che può scorrere su di una carrucola senza attrito. La carrucola è composta da un disco omogeneo di raggio R = 10 cm e massa M = 8 kg. Dal centro del disco si hanno inoltre quattro aste di lunghezza d = 20 cm che terminano ciascuna con un corpo di massa m=2 Kg (e dimensioni trascurabili). Il corpo M1 è inoltre connesso ad una molla, di costante elastica K = 2*10^3 N/m fissata all’estremità inferiore del piano, come in figura 2. All’inizio la molla è allungata di un tratto d = 20 cm e tutto è fermo. Quindi si lascia libera la molla. (allego foto per chiarire meglio).
calcolare 1) Il momento di inerzia della carrucola incluse le quattro masse. (Il momento di inerzia del disco è I = ½ M R^2 ).
qui ho semplicemente applicato la formula del momento di inerzia $ I= sum m*d^2 $ quindi $ I = ½ M R^2 + 4*(2*0.2^2) = 0.36$
2) La velocità angolare della carrucola nel momento in cui la massa M1 passa per il punto di lunghezza di riposo della molla.
ho applicato la conservazione dell'energia.
Emi=Emf
Emi=Epel(potenziale elastica)+Ep(potenziale gravitazionale del corpo).
Emf=Ec+Ep- $\Delta$ Ep.
$ Ec= 0.5*I* \omega ^ 2 + 0.5 m * v^2 $
eguagliando le due ottengo che l' enegia cinetica è uguale a quella potenziale piu la variazione di energia potenziale(m*g*l*cos a)
$ 0.5*I* \omega ^2 + 0.5 m * v^2 = 73.98 $
dato che $\omega$=v/r
sostituisco e ottengo v=1.62
3) Al passaggio dal punto di riposo la fune viene tagliata: calcolare la variazione di lunghezza della molla (rispetto al riposo) nel punto in cui la massa ha velocità nulla.
il corpo m parte con velocita=1.62
anche qui Emi=Emf quindi
Ep+Ec=Epel+Ep- $\Delta$ Ep
$ Ec=0.5*20*1.62^2=26.24 $
facendo i calcoli e considerando $\Delta$ Ep = 20*9.81*l* cos a
ottengo l equazione : 1000l^2 - 169.9l - 26.24
dividendo per mille e calcolando le radici ottengo due valori 1) -0.095 penso sia non accetabile e 2)0.268 accetabile.
Traccia : Un corpo di massa M1 = 20 Kg, posto su un piano inclinato di angolo a = 30°, è appeso con una corda che può scorrere su di una carrucola senza attrito. La carrucola è composta da un disco omogeneo di raggio R = 10 cm e massa M = 8 kg. Dal centro del disco si hanno inoltre quattro aste di lunghezza d = 20 cm che terminano ciascuna con un corpo di massa m=2 Kg (e dimensioni trascurabili). Il corpo M1 è inoltre connesso ad una molla, di costante elastica K = 2*10^3 N/m fissata all’estremità inferiore del piano, come in figura 2. All’inizio la molla è allungata di un tratto d = 20 cm e tutto è fermo. Quindi si lascia libera la molla. (allego foto per chiarire meglio).
calcolare 1) Il momento di inerzia della carrucola incluse le quattro masse. (Il momento di inerzia del disco è I = ½ M R^2 ).
qui ho semplicemente applicato la formula del momento di inerzia $ I= sum m*d^2 $ quindi $ I = ½ M R^2 + 4*(2*0.2^2) = 0.36$
2) La velocità angolare della carrucola nel momento in cui la massa M1 passa per il punto di lunghezza di riposo della molla.
ho applicato la conservazione dell'energia.
Emi=Emf
Emi=Epel(potenziale elastica)+Ep(potenziale gravitazionale del corpo).
Emf=Ec+Ep- $\Delta$ Ep.
$ Ec= 0.5*I* \omega ^ 2 + 0.5 m * v^2 $
eguagliando le due ottengo che l' enegia cinetica è uguale a quella potenziale piu la variazione di energia potenziale(m*g*l*cos a)
$ 0.5*I* \omega ^2 + 0.5 m * v^2 = 73.98 $
dato che $\omega$=v/r
sostituisco e ottengo v=1.62
3) Al passaggio dal punto di riposo la fune viene tagliata: calcolare la variazione di lunghezza della molla (rispetto al riposo) nel punto in cui la massa ha velocità nulla.
il corpo m parte con velocita=1.62
anche qui Emi=Emf quindi
Ep+Ec=Epel+Ep- $\Delta$ Ep
$ Ec=0.5*20*1.62^2=26.24 $
facendo i calcoli e considerando $\Delta$ Ep = 20*9.81*l* cos a
ottengo l equazione : 1000l^2 - 169.9l - 26.24
dividendo per mille e calcolando le radici ottengo due valori 1) -0.095 penso sia non accetabile e 2)0.268 accetabile.
Risposte
qui c'è l' immagine.
1) Il momento di inerzia è additivo, quindi il momento di inerzia del sistema carrucola+aste sarà la somma del momento della carrucola e dei momenti delle aste:
$I=1/2mr^2+4md^2$
2) Conservazione dell'energia: Quando la massa M_1 passa per il punto di riposo della molla, avrà acquisito una velocità lineare v, l'energia potenziale dovuta alla molla sarà nulla, avrà acquisito una certa energia potenziale pari alla quota h=dsinalpha, mentra l'energia cinetica di rotazione della carrucola sarà $1/2Iomega^2$, essendo $omega=v/r$, questo è il bilancio energetico finale, all'inizio invece l'energia cinetica del sistema è nulla, 'energia potenziale gravitazionale si pone per comodità nulla mentre vi è quindi solo l'energia cinetica della molla $U=1/2kd^2$, uguagliando il tutto abbiamo:
$1/2kd^2=1/2M_1v^2+1/2Iomega^2+M_1gdsinalpha$
3)
Il corpo ha velocità $v_0$ (che si trova con l'equazione precedente) nel momento in cui viene tagliata la fune, quando avrà velocità nulla, la molla avrà elongazione $l$ e il corpo avrà acquisito una quota $h=lsinalpha$, pertanto:
$1/2mv_0^2=1/2kl^2+mglsinalpha$
$I=1/2mr^2+4md^2$
2) Conservazione dell'energia: Quando la massa M_1 passa per il punto di riposo della molla, avrà acquisito una velocità lineare v, l'energia potenziale dovuta alla molla sarà nulla, avrà acquisito una certa energia potenziale pari alla quota h=dsinalpha, mentra l'energia cinetica di rotazione della carrucola sarà $1/2Iomega^2$, essendo $omega=v/r$, questo è il bilancio energetico finale, all'inizio invece l'energia cinetica del sistema è nulla, 'energia potenziale gravitazionale si pone per comodità nulla mentre vi è quindi solo l'energia cinetica della molla $U=1/2kd^2$, uguagliando il tutto abbiamo:
$1/2kd^2=1/2M_1v^2+1/2Iomega^2+M_1gdsinalpha$
3)
Il corpo ha velocità $v_0$ (che si trova con l'equazione precedente) nel momento in cui viene tagliata la fune, quando avrà velocità nulla, la molla avrà elongazione $l$ e il corpo avrà acquisito una quota $h=lsinalpha$, pertanto:
$1/2mv_0^2=1/2kl^2+mglsinalpha$
scusa il ritardo nel rispondere. grazie mille per la risposta. per il primo punto tutto ok ma per gli altri due io non mi trovo sul calcolo del bilancio energetico. per quale motivo si suppone che l energia potenziale all' inizio è nulla? inoltre nel calcolo del bilancio dell energia meccanica finale perché il corpo guadagna energia potenziale? per come è impostato il disegno dovrebbe perdere energia potenziale(supposto che inizialmente l energia potenziale sia 0 alla fine l energia potenziale dovrebbe essere -m*g*d*sin(alfa) .
Attento, l'energia potenziale non si può calcolare, se ne può calcolare solo la variazione. Quindi, prima di dire quanto vale l'energia potenziale di un corpo, bisogna fissare un livello di riferimento in cui tale energia vale zero, non importa dove sia questo livello, può essere al centro della terra, oppure a 10000 metri di altezza sopra il mare...questo non influisce per niente sul problema, dato che ciò che si vuole e che si può calcolare è solo la variazione dell'energia potenziale, e questa variazione è indipendente dal livello di riferimento scelto, pertanto la cosa più furba da fare è scegliere il livello più comodo in cui tale energia vale zero, e il livello più comodo è chiaramente quello in cui la massa è a riposo nel problema. Riguardo al secondo punto, se l'energia potenziale è zero alla base del piano inclinato, quando il corpo sarà arrivato in cima la sua energia potenziale sarà aumentata non diminuita, infatti se un corpo si trova sopra il livello di riferimento la sua energia potenziale è positiva, se si trova sotto è negativa.
Il testo dice che inizialmente la molla è allungata quindi se la molla torna nella sua posizione di riposo il corpo deve scendere lungo il piano inclinato per cui la variazione di energia potenziale deve essere negativa
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Hai ragione, pensavo che la molla fosse compressa, si quindi l'energia potenziale finale, se si assume lo zero nel punto in cui il corpo è all'inizio, è $-mgdsinalpha$
OK grazie mille 
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