Problema di elettrodinamica che non mi torna
Ho svolto questo esercizio di elettrodinamica, tuttavia la soluzione mi sembra strana.
Una spira conduttrice di forma quadrata contenente una resistenza $R$ è libera di traslare nel piano $x y$ di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $(x, y, z)$. I lati di lunghezza $l$ vengono mantenuti paralleli all'asse $x$ ed all'asse $y$. La spira interseca la regione $x, y \geq 0$ in cui è presente un campo magnetico $B=\left(0,0, B_z\right)$. Lo spigolo superiore destro della spira raggiunge il punto di coordinate $(x, y, 0)$ con $0
La mia risoluzione è stata
\[fem=\epsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{B\:dx\:dy}{dt}=-B\dot{x}\:dy=-B\dot{y}\:dx\]
e quindi al tempo t in cui la spira raggiunge il punto (x,y) si abbia $I=-B_z\dot{x}y=-B_z\dot{y}x$.
Mentre la risoluzione segnata corretta è
a) Il flusso del campo magnetico vale $\Phi_B(t)=B_z x y$. Quindi $I=-\dot{\Phi}_B / R=-B_z(x \dot{y}+x \dot{y}) / R$.
Dove mi viene da pensare all'ultimo passaggio ci sia un errore e abbiano invertito il puntino sopra la x e la y in uno dei due termini e si abbia quindi $I=-\dot{\Phi}_B / R=-B_z(y \dot{x}+x \dot{y}) / R$.
Penso che quello che sia stato fatto sia sommare la variazione del flusso nelle due direzioni di percorrimento, tuttavia non mi torna comunque e non capisco perché la mia risoluzione sia sbagliata.
Una spira conduttrice di forma quadrata contenente una resistenza $R$ è libera di traslare nel piano $x y$ di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $(x, y, z)$. I lati di lunghezza $l$ vengono mantenuti paralleli all'asse $x$ ed all'asse $y$. La spira interseca la regione $x, y \geq 0$ in cui è presente un campo magnetico $B=\left(0,0, B_z\right)$. Lo spigolo superiore destro della spira raggiunge il punto di coordinate $(x, y, 0)$ con $0
La mia risoluzione è stata
\[fem=\epsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{B\:dx\:dy}{dt}=-B\dot{x}\:dy=-B\dot{y}\:dx\]
e quindi al tempo t in cui la spira raggiunge il punto (x,y) si abbia $I=-B_z\dot{x}y=-B_z\dot{y}x$.
Mentre la risoluzione segnata corretta è
a) Il flusso del campo magnetico vale $\Phi_B(t)=B_z x y$. Quindi $I=-\dot{\Phi}_B / R=-B_z(x \dot{y}+x \dot{y}) / R$.
Dove mi viene da pensare all'ultimo passaggio ci sia un errore e abbiano invertito il puntino sopra la x e la y in uno dei due termini e si abbia quindi $I=-\dot{\Phi}_B / R=-B_z(y \dot{x}+x \dot{y}) / R$.
Penso che quello che sia stato fatto sia sommare la variazione del flusso nelle due direzioni di percorrimento, tuttavia non mi torna comunque e non capisco perché la mia risoluzione sia sbagliata.
Risposte
La tua soluzione è errata per il semplice fatto che se a partire dal punto x,y passiamo al punto x+dx, y+dy, l'incremento infinitesimo della superficie non è (dxdy) ma bensì (xdy+ydx)[nota]Se vogliamo essere pignoli (xdy+ydx-dxdy) che, essendo l'ultimo termine un infinitesimo di ordine superiore, può non essere considerato.[/nota] somma delle aree dei due rettangoli infinitesimi di incremento. 
Che la tua espressione sia sbagliata si vede anche dal semplice punto di vista dimensionale.
Che la tua espressione sia sbagliata si vede anche dal semplice punto di vista dimensionale.
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