Problema di elettrodinamica che non mi torna

fahrenheit1
Ho svolto questo esercizio di elettrodinamica, tuttavia la soluzione mi sembra strana.






Una spira conduttrice di forma quadrata contenente una resistenza $R$ è libera di traslare nel piano $x y$ di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $(x, y, z)$. I lati di lunghezza $l$ vengono mantenuti paralleli all'asse $x$ ed all'asse $y$. La spira interseca la regione $x, y \geq 0$ in cui è presente un campo magnetico $B=\left(0,0, B_z\right)$. Lo spigolo superiore destro della spira raggiunge il punto di coordinate $(x, y, 0)$ con $0 a) Calcolare la corrente $I$ circolante nella spira.

La mia risoluzione è stata

\[fem=\epsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{B\:dx\:dy}{dt}=-B\dot{x}\:dy=-B\dot{y}\:dx\]

e quindi al tempo t in cui la spira raggiunge il punto (x,y) si abbia $I=-B_z\dot{x}y=-B_z\dot{y}x$.

Mentre la risoluzione segnata corretta è

a) Il flusso del campo magnetico vale $\Phi_B(t)=B_z x y$. Quindi $I=-\dot{\Phi}_B / R=-B_z(x \dot{y}+x \dot{y}) / R$.
Dove mi viene da pensare all'ultimo passaggio ci sia un errore e abbiano invertito il puntino sopra la x e la y in uno dei due termini e si abbia quindi $I=-\dot{\Phi}_B / R=-B_z(y \dot{x}+x \dot{y}) / R$.

Penso che quello che sia stato fatto sia sommare la variazione del flusso nelle due direzioni di percorrimento, tuttavia non mi torna comunque e non capisco perché la mia risoluzione sia sbagliata.

Risposte
RenzoDF
La tua soluzione è errata per il semplice fatto che se a partire dal punto x,y passiamo al punto x+dx, y+dy, l'incremento infinitesimo della superficie non è (dxdy) ma bensì (xdy+ydx)[nota]Se vogliamo essere pignoli (xdy+ydx-dxdy) che, essendo l'ultimo termine un infinitesimo di ordine superiore, può non essere considerato.[/nota] somma delle aree dei due rettangoli infinitesimi di incremento. :wink:
Che la tua espressione sia sbagliata si vede anche dal semplice punto di vista dimensionale.

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