Problema di dinamica del corpo rigido
Salve a tutti,
c'è una richiesta del seguente problema a cui non riesco a rispondere:
Una puleggia, di raggio R e massa M, può ruotare senza attrito in un piano orizzontale attorno al suo asse verticale. Un corpo di massa m1 è appoggiato al piano scabro (coefficiente di attrito statico $ mu $ ) della puleggia ad una distanza d dal suo asse, con d minore di R. La puleggia viene messa in rotazione, da ferma, mediante un peso m2 in caduta verticale, connesso alla puleggia mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile, che si avvolge sulla puleggia senza slittare. Si calcolino:
1. L'accelerazione angolare di rotazione della puleggia
2. L'istante di tempo in cui m1 si stacca dal piano della puleggia e l'accelerazione angolare di rotazione della puleggia, dopo che m1 si è staccata.
1. Allora, poichè mi viene fornito l'attrito statico, presuppongo che all'inizio la massa m1 si muova insieme alla puleggia:
$ m_2g-T=m_2a $
$ (1/2MR^2+m_1d^2)a/R=TR $
Da cui $ alpha=m_2g/(m_2+1/2M+m_1d^2/R^2)*1/R $
2. Nel sistema di riferimento non inerziale:
$ vec(a')=vec(f_a)-(dvec(omega))/dt xx vec(d)-vec(omega)xx(vec(omega)xxvec(d)) $
Pertanto la componente radiale della forza d'attrito deve essere $m omega^2 d$
Quella tangenziale $m *alpha *d$
Pertanto $ m_1*mu*g >= sqrt((m_1*(alphat)^2*d)^2+ (m_1 alphad)^2) $
Da cui ricavo t.
E per ricavare l'accelerazione angolare dopo che la massa si è staccata dovrei porre $ I alpha=TR$?
Grazie
c'è una richiesta del seguente problema a cui non riesco a rispondere:
Una puleggia, di raggio R e massa M, può ruotare senza attrito in un piano orizzontale attorno al suo asse verticale. Un corpo di massa m1 è appoggiato al piano scabro (coefficiente di attrito statico $ mu $ ) della puleggia ad una distanza d dal suo asse, con d minore di R. La puleggia viene messa in rotazione, da ferma, mediante un peso m2 in caduta verticale, connesso alla puleggia mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile, che si avvolge sulla puleggia senza slittare. Si calcolino:
1. L'accelerazione angolare di rotazione della puleggia
2. L'istante di tempo in cui m1 si stacca dal piano della puleggia e l'accelerazione angolare di rotazione della puleggia, dopo che m1 si è staccata.
1. Allora, poichè mi viene fornito l'attrito statico, presuppongo che all'inizio la massa m1 si muova insieme alla puleggia:
$ m_2g-T=m_2a $
$ (1/2MR^2+m_1d^2)a/R=TR $
Da cui $ alpha=m_2g/(m_2+1/2M+m_1d^2/R^2)*1/R $
2. Nel sistema di riferimento non inerziale:
$ vec(a')=vec(f_a)-(dvec(omega))/dt xx vec(d)-vec(omega)xx(vec(omega)xxvec(d)) $
Pertanto la componente radiale della forza d'attrito deve essere $m omega^2 d$
Quella tangenziale $m *alpha *d$
Pertanto $ m_1*mu*g >= sqrt((m_1*(alphat)^2*d)^2+ (m_1 alphad)^2) $
Da cui ricavo t.
E per ricavare l'accelerazione angolare dopo che la massa si è staccata dovrei porre $ I alpha=TR$?
Grazie
Risposte
L'accelerazione angolare è giusta.
LA massa $m_1$ rimane in quiete relativa , nel riferimento rotante , non inerziale, fin quando sussiste la condizione:
$vecf_a + vecf_c + vecf_t = 0 $
dove la prima è la forza di attrito , la seconda è la forza apparente centrifuga, la terza è la forza apparente tangenziale , dovuta alla accelerazione angolare . La condizione di equilibrio sussiste fino a che la forza di attrito, in modulo, è minore o uguale alla forza apparente totale , quindi in definitiva deve essere , semplificando $m_1$:
$\mug > a_t$
dove $a_t$ è il modulo dell'accelerazione di trascinamento totale . Non ho verificato la radice , ma credo che sia giusta . E fin qui ci siamo .
"Quando $m_1$ si è staccata", che cosa vuol dire ? Che è volata via dal disco ? Francamente non lo so. Essendo il piano scabro, dovrebbe comunque esistere tra massa e disco una forza di attrito dinamico , almeno fin quando la massa non arriva al bordo e vola via; e non è semplice, per me, determinare il moto della massa sul disco, il quale oltretutto accelera angolarmente. Oltre alla forza centrifuga compare anche la forza di Coriolis dovuta alla velocità relativa.
L'istante che determini con la formula ricavata , è quello in cui la forza di attrito statico non ce la fa più a mantenere la massa in equilibrio sul disco , ma non è l'istante in cui essa arriva al bordo e si stacca , cioè vola via.
Certamente, quando non c'è più la massa sul disco, l'accelerazione angolare la trovi con quella formula .
LA massa $m_1$ rimane in quiete relativa , nel riferimento rotante , non inerziale, fin quando sussiste la condizione:
$vecf_a + vecf_c + vecf_t = 0 $
dove la prima è la forza di attrito , la seconda è la forza apparente centrifuga, la terza è la forza apparente tangenziale , dovuta alla accelerazione angolare . La condizione di equilibrio sussiste fino a che la forza di attrito, in modulo, è minore o uguale alla forza apparente totale , quindi in definitiva deve essere , semplificando $m_1$:
$\mug > a_t$
dove $a_t$ è il modulo dell'accelerazione di trascinamento totale . Non ho verificato la radice , ma credo che sia giusta . E fin qui ci siamo .
"Quando $m_1$ si è staccata", che cosa vuol dire ? Che è volata via dal disco ? Francamente non lo so. Essendo il piano scabro, dovrebbe comunque esistere tra massa e disco una forza di attrito dinamico , almeno fin quando la massa non arriva al bordo e vola via; e non è semplice, per me, determinare il moto della massa sul disco, il quale oltretutto accelera angolarmente. Oltre alla forza centrifuga compare anche la forza di Coriolis dovuta alla velocità relativa.
L'istante che determini con la formula ricavata , è quello in cui la forza di attrito statico non ce la fa più a mantenere la massa in equilibrio sul disco , ma non è l'istante in cui essa arriva al bordo e si stacca , cioè vola via.
Certamente, quando non c'è più la massa sul disco, l'accelerazione angolare la trovi con quella formula .
Perfetto. Non riuscivo a capire se l ultimo punto mi chiedesse di ricavare l accelerazione quando la massa fosse ancora sulla piattaforma o quando fosse già caduta.
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