Problema conservazione momento angolare
Salve,
di recente stavo facendo degli esercizi del mio libro sul corpo rigido, e mi imbatto in questo problema:
A prescindere dalle richieste dell'esercizio, a me interessa trovare la velocità traslazionale dopo l'urto del blocco disco+massa. Il libro impone la conservazione della quantità di moto lungo l'asse e quindi si trova:
$mv_0 = (m+M)v_1$
Sembra ragionevole, ma io ho invece usato la conservazione del momento angolare prendendo come polo il punto di contatto tra il disco e l'asse (il centro del disco). Uso come sistema di coordinate $hat(u_x)$ e $hat(u_y)$, con $hat(u_x)$ indicante il versore parallelo all'asse e di verso concorde alla velocità della massa.
Allora ho:
$L_0 = I_d \omega_0 \ hat(u_x) + r m v_0 \ hat(u_y)$, ovvero il momento angolare prima dell'urto
$L_1 = (I_d \omega_1 + m r^2 \omega_1) \ hat(u_x) + r m v_1 \ hat(u_y)$, il momento angolare dopo l'urto.
Uguagliando le componenti $y$ mi trovo $v_0 = v_1$ ovvero il blocco disco+massa dopo l'urto procede con la stessa velocità della massa all'inizio. Dove ho sbagliato?
Grazie infinite dell'attenzione
di recente stavo facendo degli esercizi del mio libro sul corpo rigido, e mi imbatto in questo problema:
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A prescindere dalle richieste dell'esercizio, a me interessa trovare la velocità traslazionale dopo l'urto del blocco disco+massa. Il libro impone la conservazione della quantità di moto lungo l'asse e quindi si trova:
$mv_0 = (m+M)v_1$
Sembra ragionevole, ma io ho invece usato la conservazione del momento angolare prendendo come polo il punto di contatto tra il disco e l'asse (il centro del disco). Uso come sistema di coordinate $hat(u_x)$ e $hat(u_y)$, con $hat(u_x)$ indicante il versore parallelo all'asse e di verso concorde alla velocità della massa.
Allora ho:
$L_0 = I_d \omega_0 \ hat(u_x) + r m v_0 \ hat(u_y)$, ovvero il momento angolare prima dell'urto
$L_1 = (I_d \omega_1 + m r^2 \omega_1) \ hat(u_x) + r m v_1 \ hat(u_y)$, il momento angolare dopo l'urto.
Uguagliando le componenti $y$ mi trovo $v_0 = v_1$ ovvero il blocco disco+massa dopo l'urto procede con la stessa velocità della massa all'inizio. Dove ho sbagliato?
Grazie infinite dell'attenzione
Risposte
La conservazione della quantità di moto totale lungo l'asse x non esclude la conservazione della sola componente del momento angolare totale lungo il medesimo asse:
$[1/2MR^2\omega_0=(1/2MR^2+mr^2)\omega_1] rarr [\omega_1=(MR^2)/(MR^2+2mr^2)\omega_0]$
In sintesi, poiché il vincolo impedisce la rotazione attorno all'asse y e all'asse z, a conservarsi non è il momento angolare totale (come vettore) ma solo la sua componente lungo l'asse x.
$[1/2MR^2\omega_0=(1/2MR^2+mr^2)\omega_1] rarr [\omega_1=(MR^2)/(MR^2+2mr^2)\omega_0]$
In sintesi, poiché il vincolo impedisce la rotazione attorno all'asse y e all'asse z, a conservarsi non è il momento angolare totale (come vettore) ma solo la sua componente lungo l'asse x.
perché non dovrebbe conservarsi tutto il vettore? Se il polo lo posiziono nel centro del disco non ci dovrebbero essere momenti di forze esterne, tanto meno momenti di forze impulsive..
Il vincolo, impedendo la rotazione attorno all'asse y e all'asse z, non può essere rappresentato idealmente da una sola forza applicata in un solo punto dell'asse che, avendo momento nullo, non impedirebbe un bel niente. Piuttosto, può essere rappresentato da un sistema di forze applicate in punti diversi dell'asse (molto vicini) equivalente a una forza e a due coppie, una che impedisce la rotazione attorno all'asse y e l'altra che impedisce la rotazione attorno all'asse z. Per questo motivo si può conservare solo la componente del momento angolare totale lungo l'asse x.
Ok grazie!
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