Problema con Yoyo 1179.
Domanda a)
Qualche settimana fa, Navigatore mi ha consigliato una dispenza in merito all'attrito e rotolamento, dove veniva spiegato un qualcosa dl genere, quindi se la forza è applicata in direzione:
1) $theta=0$ si ha che la forza di attrito è in direzione opposta alla forza, ovviamente l'attrito è nel punto di contatto col pavimento, quindi e come se si sciogliesse la corda dal diametro $B$ e il Yoyo va verso sinistra.
2) $theta = pi/2$ per me anche in questo caso si ha che il disco va verso sinistra.
3) $theta= pi$ anche in questo caso si ha che il Yoyo va verso sinistra.
Ma scusate, secondo voi in quale direzione dovrebbe andare sto Yoyo ?
Domanda b)
Penso che qui mi viene chiesto per quale valore di $theta$ lo Yoyo rotolerà indipendentemente dall'attrito, in base alla forza applicata $F$ ?
E come faccio a dare una risposta?
Pensando a qualche equazione dico che per la prima equazione cardinale si deve avere che:
$m ddot(x)= F-f_a$
$f_a= mu m g$
Il momento di inerzia non è da considerare intorno al centro dello Yoyo in quanto si ha puro rotolamento e in questo caso si usa la formula della traslazione del momento, cioè la formula di Steiner riferita al punto di contatto che io chiamo $O$, cioè:
$I_O = 1/2mR^2 + mR^2= 3/2mR^2$
Nel nostro caso si ha che $R= (A-B)$, quindi si ha:
$I_O = 3/2m(A-B)^2$
Perciò posso impostare un sistema di due equazioni:
$m ddot(x)= F-f_a$
$I_O alpha= F(A-B)$
$m ddot(x)= F-f_a$
$ 3/2m(A-B)^2 a/(A-B)= F(A-B)$
$m ddot(x)= F-f_a$
$ 3/2m a = F$
Dal testo so che non devo considerare l'attrito, il che mi sembra un po strano che ci sia puro rotolamento, ma in attesa di capire questo fatto, provo a escludere la $f_a$ dalla prima equazione ed ho che:
$m ddot(x)= F$
$ a = (2F)/(3m)$
E adesso mi sono bloccato !
Che valore deve avere questo $theta$ che chiede il testo?
Ma più che altro da dove lo tiro fuori io un certo $theta$.....?
Domanda c)
E in questa io non sto riuscendo a comprendere nulla, sarà la conseguenza del non capire il quesito precedente!
Help!
P.S. Navigatore, ho provveduto a dire tutto quello che ho nella mente, ma come vedi non riesco a rispondere!
Risposte
Abbiamo fatto questo esercizio del rocchetto col filo molte volte. Se fai una ricerca , ad esempio digitando la parola "rocchetto" nella apposita casella "cerca…." trovi più di 100 risultati.
Ad esempio, ne abbiamo parlato proprio da poco in questa discussione .
Ad ogni modo, basta applicare le due equazioni cardinali della dinamica dl corpo rigido. Se assumi come polo il punto di contatto, e scrivi la 2° eq. cardinale, trovi subito l' accelerazione angolare :
$(MR^2 + I)\alpha = F(Rcos\theta -r)$
Quando $\theta = 0 $ , il disco va verso destra , non verso sinistra.
Inoltre , non puoi mettere subito la forza di attrito uguale al valore massimo $f_(max) = \muN = \mu(Mg-Fsen\theta)$ .
Questo è un errore che gli studenti fanno spesso.
Per trovare $f$ , devi scrivere la prima equazione della dinamica supponendo la massa $M$ concentrata nel CM, e imponendo la condizione di rotolamento senza strisciamento per l'accelerazione : $a_(CM) = \alphaR$ .
Ad esempio, ne abbiamo parlato proprio da poco in questa discussione .
Ad ogni modo, basta applicare le due equazioni cardinali della dinamica dl corpo rigido. Se assumi come polo il punto di contatto, e scrivi la 2° eq. cardinale, trovi subito l' accelerazione angolare :
$(MR^2 + I)\alpha = F(Rcos\theta -r)$
Quando $\theta = 0 $ , il disco va verso destra , non verso sinistra.
Inoltre , non puoi mettere subito la forza di attrito uguale al valore massimo $f_(max) = \muN = \mu(Mg-Fsen\theta)$ .
Questo è un errore che gli studenti fanno spesso.
Per trovare $f$ , devi scrivere la prima equazione della dinamica supponendo la massa $M$ concentrata nel CM, e imponendo la condizione di rotolamento senza strisciamento per l'accelerazione : $a_(CM) = \alphaR$ .
Nav., ho letto il thread che mi hai indicato nel link, l'unica cosa che non riesco a giustificare è il fatto che:
Insomma, io so che un Yoyo si deve avvolgere quando si applica una forza come nel caso dell'esercizio, ma lo so per una questione di pratica!
So che la forza di attrito c'è ..., so la forza, ma stranamente non mi entra in testa il fatto che si deve avvolgere e quindi andare a destra quando $theta=0$
E poi in che direzione va sto Yoyo se l'angolo è ad $theta = pi/2$ ed $pi$
Stando a quello che hai detto per $theta =0$ e sapendo come funziona uno Yoyo, io direi che se $theta= pi/2$ allora lo Yoyo va verso l'alto in verticale, se invece $theta = pi$ allora si ha che sto Yoyo deve andare verso sinistra, vero
Mi hai detto che:
Ma per quale motivo non posso considerare la forza di attrito uguale al valore massimo
In quel thread che hai detto hai scritto i passaggi per come si deve arrivare alla forza di attrito, penso che tu vorrai dire che si deve arrivare in quel modo
Da quello che vedo penso che sia io che tanti altri studenti sbagliano per il semplice motivo che non ci rendiamo conto che la forza di attrito $f$ è una incognita, vero
Ho detto questo per il semplice fatto che è un intuito dovuto alle tue indicazioni, ma non riesco a capire tanto il perchè non si può scrivere direttamente la forza di attrito uguale al valore massimo $f_(max) = \muN = \mu(Mg-Fsen\theta)$
Help!
"navigatore":
Il moto traslatorio del centro del rocchetto avviene in direzione dell'asse $x$ , e il filo si avvolge sul rocchetto, anzichè svolgersi, anche se sembra strano! Tale moto è uniformente accelerato, perchè la forza è costante, con accelerazione $a = \alphaR$ , che puoi ricavare usando la (2), e quindi si ha : $ x= 1/2*a*t^2$ come legge del moto.
Insomma, io so che un Yoyo si deve avvolgere quando si applica una forza come nel caso dell'esercizio, ma lo so per una questione di pratica!
So che la forza di attrito c'è ..., so la forza, ma stranamente non mi entra in testa il fatto che si deve avvolgere e quindi andare a destra quando $theta=0$
E poi in che direzione va sto Yoyo se l'angolo è ad $theta = pi/2$ ed $pi$
Stando a quello che hai detto per $theta =0$ e sapendo come funziona uno Yoyo, io direi che se $theta= pi/2$ allora lo Yoyo va verso l'alto in verticale, se invece $theta = pi$ allora si ha che sto Yoyo deve andare verso sinistra, vero
Mi hai detto che:
Inoltre , non puoi mettere subito la forza di attrito uguale al valore massimo $f_(max) = \muN = \mu(Mg-Fsen\theta)$ .
Questo è un errore che gli studenti fanno spesso.
Ma per quale motivo non posso considerare la forza di attrito uguale al valore massimo
In quel thread che hai detto hai scritto i passaggi per come si deve arrivare alla forza di attrito, penso che tu vorrai dire che si deve arrivare in quel modo
"navigatore":
a) La forza $F$ è parallela al piano, che è scabro e quindi esercita una forza di attrito $f$ che si oppone al moto.
Detto $\theta$ un angolo di rotazione del rocchetto, lo spostamento lineare vale : $x = \theta*R$. Quindi la velocità lineare vale : $v=\omega*R$ , e l'accelerazione lineare vale : $a = \alpha*R$, con ovvio significato dei simboli $\omega$ e $\alpha = (d\omega)/(dt)$ = accelerazione angolare.
La 1°eq cardinale della dinamica dice che :
$F-f = M*a = M*\alpha*R$ -----(1)
La 2°eq cardinale, assumendo come polo il centro di istantanea rotazione $C$ che è il punto di contatto col suolo, dice che "il momento delle forze agenti risp al polo causa variazione del momento angolare risp. allo stesso polo" , cioè:
$F(R-r) = \alpha*(I_0+MR^2)$-----(2)
dove al primo membro c'è il momento della forza $F$ rispetto al centro $C$ di istantanea rotazione, al secondo il prodotto dell'accelerazione angolare per il momento di inerzia rispetto sempre a $C$.
Dalla prima ti ricavi $f = F - M*\alpha*R$ . Dalla seconda ti ricavi $\alpha = (F(R-r))/(I_0+MR^2)$, e sostituisci nella prima per ricavare il valore della forza di attrito : $ f = F* (I_0+MRr)/(I_0+MR^2)$ .
Perchè non ci sia slittamento, occorre che questa forza di attrito sia minore o uguale a $\mu*M*g$.
Da quello che vedo penso che sia io che tanti altri studenti sbagliano per il semplice motivo che non ci rendiamo conto che la forza di attrito $f$ è una incognita, vero
Ho detto questo per il semplice fatto che è un intuito dovuto alle tue indicazioni, ma non riesco a capire tanto il perchè non si può scrivere direttamente la forza di attrito uguale al valore massimo $f_(max) = \muN = \mu(Mg-Fsen\theta)$
Help!
Confermo tutto ciò che ho scritto allora , in particolare per il caso di forza $F$ applicata parallelamente al piano, che "esce dal rocchetto" dalla parte inferiore. Ci sono le equazioni, non ti sembrano abbastanza chiare?
Qui non è questione di sapere le cose per atto pratico. Qui è questione di equazioni della dinamica. Quando il filo esce dal rocchetto da sotto, e la forza è diretta verso destra, il rocchetto si sposta verso destra.
SE il filo è diretto verso l'alto , il rocchetto si sposta verso sinistra. Così pure se è il filo è diretto verso sinistra. Non stiamo ipotizzando il caso in cui il rocchetto possa sollevarsi dal piano.
Qui non è questione di sapere le cose per atto pratico. Qui è questione di equazioni della dinamica. Quando il filo esce dal rocchetto da sotto, e la forza è diretta verso destra, il rocchetto si sposta verso destra.
SE il filo è diretto verso l'alto , il rocchetto si sposta verso sinistra. Così pure se è il filo è diretto verso sinistra. Non stiamo ipotizzando il caso in cui il rocchetto possa sollevarsi dal piano.
Domanda b)
Qui mi viene chiesto per quale valore di $theta$ lo Yoyo rotolerà indipendentemente dall'attrito, in base alla forza applicata $F$ ?
Comprendo pienamente quello che mi hai detto nei messaggi precedeni, ma per quanto riguarda la domanda b) che sto per rispondere, penso che serve solo la prima equazione della dinamica e la seconda equazione della dinamica, mi spiego....
So che la prima equazione della dinamica lungo l'asse $x$ (che è quella che mi interessa per il movimento che si ha), è:
$Fcos theta -mu N = Mddot(x)$
La seconda equazione della dinamica che riguarda i momenti rispetto al centro del disco che rotola, è:
$FB-f_aA=I alpha$
ma a secondo membro abbiamo $I alpha$, e notiamo che questo prodotto $I alpha=0$ in quanto questi due momenti non generano accelerazioni angolari,
, non ne sono sicuro, ma una tua conferma in merito mi aiuterà a capire cosa sto sbagliando a dire!
Per qui, per conoscere questo angolo $theta$, impostiamo il seguente sistema:
$ { ( Fcos theta -mu N = Mddot(x) ),( FB-f_aA=0 ):}->{ ( Fcos theta -mu N = Mddot(x) ),( FB-muNA=0 ):}->{ ( Fcos theta -mu N = Mddot(x) ),( FB=muNA ):} $
${ ( Fcos theta = Mddot(x) +mu N ),( FB=muNA ):}-> { ( cos theta = (Mddot(x))/F +(mu N)/F ),( FB=muNA ):}-> { ( cos theta = (Mddot(x))/F +(mu N)/F ),( (FB)/A=muN ):}-> { ( cos theta = (Mddot(x))/F +B/A ),( muN =(FB)/A):} $
Ricaviamo quindi l'angolo che ci viene chiesto dalla domanda che è:
$ theta = cos^(-1) ((Mddot(x))/F +(mu N)/F)$
Navigatore, cosa ne dici?
Non sono sicuro delle cose che ho detto!
Qui mi viene chiesto per quale valore di $theta$ lo Yoyo rotolerà indipendentemente dall'attrito, in base alla forza applicata $F$ ?
Comprendo pienamente quello che mi hai detto nei messaggi precedeni, ma per quanto riguarda la domanda b) che sto per rispondere, penso che serve solo la prima equazione della dinamica e la seconda equazione della dinamica, mi spiego....
So che la prima equazione della dinamica lungo l'asse $x$ (che è quella che mi interessa per il movimento che si ha), è:
$Fcos theta -mu N = Mddot(x)$
La seconda equazione della dinamica che riguarda i momenti rispetto al centro del disco che rotola, è:
$FB-f_aA=I alpha$
ma a secondo membro abbiamo $I alpha$, e notiamo che questo prodotto $I alpha=0$ in quanto questi due momenti non generano accelerazioni angolari,
, non ne sono sicuro, ma una tua conferma in merito mi aiuterà a capire cosa sto sbagliando a dire! Per qui, per conoscere questo angolo $theta$, impostiamo il seguente sistema:
$ { ( Fcos theta -mu N = Mddot(x) ),( FB-f_aA=0 ):}->{ ( Fcos theta -mu N = Mddot(x) ),( FB-muNA=0 ):}->{ ( Fcos theta -mu N = Mddot(x) ),( FB=muNA ):} $
${ ( Fcos theta = Mddot(x) +mu N ),( FB=muNA ):}-> { ( cos theta = (Mddot(x))/F +(mu N)/F ),( FB=muNA ):}-> { ( cos theta = (Mddot(x))/F +(mu N)/F ),( (FB)/A=muN ):}-> { ( cos theta = (Mddot(x))/F +B/A ),( muN =(FB)/A):} $
Ricaviamo quindi l'angolo che ci viene chiesto dalla domanda che è:
$ theta = cos^(-1) ((Mddot(x))/F +(mu N)/F)$
Navigatore, cosa ne dici?
Non sono sicuro delle cose che ho detto!
Non sono sicuro delle cose che ho detto!
E sapessi io ! Non mi metto a verificare, non ne ho la forza.
Vedendo la soluzione del punto b), non riesco ad avere le idee chiare in merito a quello che è stato fatto?
Ecco la soluzione:
Punto b)
Ma quando nella soluzione scrive la seguente equazione, quella dei momenti:
$FB-f_aA=0$
perchè non la eguaglia ad $I alpha$
Insomma, io scriverei così:
$FB-f_aA= I alpha$
Perchè non fa questo
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