Problema con tensione nulla e forza applicata
Ciao a tutti, ho difficoltà a risolvere il secondo punto del seguente esercizio . " Una scatola di massa $ m_ =1,0kg $ su uno scivolo privo di attrito inclinato di $ 30° $ è collegata a un'altra di massa $ m_2=3,0kg $ appoggiata su una superficie orizzontale egualmente priva di attrito , secondo lo schema della figura ( in sostanza il piano è inclinato in direzione antioraria dell'angolo prima detto verso sinistra ; salendo , da destra verso sinistra , si incontra , sulla superficie piana , la massa $ m_2 $ ) . (a) Se il modulo di $ F $ orizzontale ed applicata alla massa 2 , concorde alla tensione , qual è il modulo della tensione nella corda di collegamento ? . (b) Quale intensità massima può avere $ F $ per evitare che la corda si allenti ? ". Per il primo punto ho proceduto semplicemente scrivendo le equazioni del moto per entrambi i corpi :
massa 1 ) $ m_1gsentheta-T=m_1a $
massa 2 ) $ F+T=m_2a $
Dove la $ a $ è comune ai due corpi poiché c'è la corda di collegamento supposta inestensibile. Da queste due equazioni in due incognite ( la $ T $ e la $ a $ ) trovo la accelerazione che sostituita nella seconda mi permette di trovare la tensione . Ora per il secondo punto ho ragionato così: cosa succede se la corda si allenta ? La $ T $ è pari a zero , se non sbaglio e le due accelerazioni risultano diverse . Le equazioni sono le stesse di prima ma con le accelerazioni rispettivamente con pedici 1 e 2 e con la tensione che non compare più. Però mi fermo qui perché non so onestamente come andare avanti, cioè è come se fossi bloccato con il ragionamento . Vi ringrazio per l'aiuto
massa 1 ) $ m_1gsentheta-T=m_1a $
massa 2 ) $ F+T=m_2a $
Dove la $ a $ è comune ai due corpi poiché c'è la corda di collegamento supposta inestensibile. Da queste due equazioni in due incognite ( la $ T $ e la $ a $ ) trovo la accelerazione che sostituita nella seconda mi permette di trovare la tensione . Ora per il secondo punto ho ragionato così: cosa succede se la corda si allenta ? La $ T $ è pari a zero , se non sbaglio e le due accelerazioni risultano diverse . Le equazioni sono le stesse di prima ma con le accelerazioni rispettivamente con pedici 1 e 2 e con la tensione che non compare più. Però mi fermo qui perché non so onestamente come andare avanti, cioè è come se fossi bloccato con il ragionamento . Vi ringrazio per l'aiuto
Risposte
"Mynameis":
Ora per il secondo punto ho ragionato così: cosa succede se la corda si allenta ? La $ T $ è pari a zero , se non sbaglio e le due accelerazioni risultano diverse .
Perchè "le due accelerazioni risultano diverse"? Sono uguali, ma senza il contributo della fune, infatti $T = 0$
Quindi la massa sul piano inclinato scende con accelerazione $g/2$, l'altra massa pure, quindi deve essere sottoposta ad una forza $m_2g/2$
Non mi è chiaro come mai , anche se la tensione è nulla, le accelerazioni rimangono uguali per entrambi i corpi . Queste non sono uguali in virtù del fatto che inizialmente sono legati da una fune inestensibile che pertanto , punto per punto, ha la stessa accelerazione ? Io partendo da questo ragionamento ho poi dedotto che una volta pari a zero la tensione allora le due masse accelerano ognuna , perdonami il termine , "per i fatti loro". Grazie mgrau
ma c'è la forza applicata alla massa orizzontale, che, man mano che aumenta, " si sostituisce" alla fune, mantenendo però uguali velocità e accelerazione. Crescendo la forza, la tensione della fune diminuisce, l'accelerazione della massa che scende si avvicina a quella della caduta libera, e, quando raggiunge questo valore, la tensione della fune è zero, e le due masse vanno, ancora con la stessa accelerazione, ma per i fatti loro: una spinta dalla gravità, l'altra dalla forza orizzontale
Ti chiedo , se puoi , di avere un attimino di pazienza con me . Comincio ad avere le idee più chiare ma mi manca ancora qualche tassello. Sostanzialmente tu proponi di considerare , se ho capito bene, l'istante immediatamente successivo a quando la fune si allenta perché un attimo dopo che avviene ciò le due accelerazioni sono uguali , giusto ? Negli istanti successivi esse però dovrebbero variare le accelerazioni perché è come se la fune sparisse ed una accelerasse sotto l'effetto della gravità mentre l'altra sotto l'effetto di una forza diversa da quella di gravità . Io per il primo punto ho trovato una tensione pari a $ T=m_2a-F $ con accelerazione $ a=(F+m_1gsentheta)/(m_1+m_2) $ . Considerando ancora uguali le accelerazioni dovrei risolvere questo sistema di due equazioni in due incognite ( la accelerazione e la forza max ) dato che la tensione non la devo più considerare ? Scusami ma non riesco ancora a visualizzare bene come le accelerazioni possano essere uguali se le masse , diverse , sono sottoposte a forze diverse , una quella di gravità ed una quella max che non conosciamo . Vero è che imponendo l'uguaglianza delle accelerazioni il problema è risolto ma ovviamente , non interessandomi tanto il risultato ma il ragionamento che sta dietro , vorrei capire proprio questo passaggio chiave . Grazie ancora mgrau
Faccio fatica a capire le tue perplessità, sul fatto che le accelerazioni sono sempre uguali. E' vero, le forze sono diverse ecc., ma lascia perdere la dinamica, concentrati sulla cinematica: le masse sono collegale dal filo, quindi si muovono insieme, non dipende da quanto il filo è più o meno teso, o anche niente del tutto.
Quindi, nel momento in cui la tensione del filo diventa zero, il filo non tira più, ma la sua lunghezza è quella, e, fino a quel momento, v e a sono uguali. Se a quel punto la forza orizzontale cessa di crescere, allora le due masse continuano ad accelerare, a seguito delle forze che ora sono costanti, per i fatti loro, va bene, ma sempre nello stesso modo, per cui le accelerazioni continuano ad essere le stesse anche dopo.
Quindi, nel momento in cui la tensione del filo diventa zero, il filo non tira più, ma la sua lunghezza è quella, e, fino a quel momento, v e a sono uguali. Se a quel punto la forza orizzontale cessa di crescere, allora le due masse continuano ad accelerare, a seguito delle forze che ora sono costanti, per i fatti loro, va bene, ma sempre nello stesso modo, per cui le accelerazioni continuano ad essere le stesse anche dopo.
Io penso che le accelerazioni si mantengano uguali fino a quando il filo è teso ( tensione diversa da zero ) e quindi in virtù del fatto che la corda è inestensibile "tanto accelera uno , tanto accelera l'altro " proprio perché come dici tu la lunghezza del filo non può variare. Fin qui ci sono perfettamente ; tu dici che le masse si muovono insieme indipendentemente da quanto il filo sia teso o meno , o anche niente del tutto. E' qui che sta il nocciolo del mio dubbio : non appena il filo non è più teso , tensione pari a zero , fune "molla" , le due masse seppur siano collegate dal filo , FINO A QUANDO QUESTO NON SI TENDE , dovrebbe avere accelerazioni diverse . Esempio : se uno dei due corpi fosse fermo ed uno in moto ( entrambi ancora collegati dalla fune ) solo quando il secondo corpo tira al massimo e tende del tutto la fune assume una accelerazione pari a quella della secondo corpo ( che inizialmente era zero e poi stabilizza la sua accelerazione uguale a quella dell'altro corpo ) . Non so se ho reso l'idea
Io penso che le accelerazioni si mantengano uguali fino a quando il filo è teso ( tensione diversa da zero ) e quindi in virtù del fatto che la corda è inestensibile "tanto accelera uno , tanto accelera l'altro
La situazione chiesta dal problema è la situazione limite, ossia quella in cui la corda è "tesa" ossia è "dritta" ma non esercita nessuna tensione, proprio perché i due corpi hanno la stessa accelerazione. La situazione limite in cui la corda è dritta ma non esercita tensione è quella corrispondente alla forza massima richiesta dall'esercizio, perché una forza superiore accelererebbe la massa orizzontale con un accelerazione maggiore di quella obliqua, e la corda si allenterebbe. Oppure un altro modo per vederla è il fatto che la corda è collegata alle due estremità ai due corpi, se l'estremità orizzontale andasse più veloce di quella obliqua, la corda si allenterebbe, quindi in ogni istante, affinché la corda non si allenti, le due estremità devono avere la stessa velocità, ossia i due corpi si devono muovere con la stessa accelerazione
Cioè è come se tutto si muovesse con la corda tesa e sostanzialmente "assente" allo stesso tempo, come se non ci fosse ; le equazioni diventerebbero
1) $ m_1gsentheta=m_1a $
2) $ F_(max)=m_2a $
da cui posso ricavare la accelerazione e poi la forza. Correggetemi se sbaglio , i corpi si muovo di moto uniforme l'uno rispetto all'altro . Sto cercando di visualizzare meglio la situazione per cui mi scuso se perdo tempo perché voglio davvero capire
1) $ m_1gsentheta=m_1a $
2) $ F_(max)=m_2a $
da cui posso ricavare la accelerazione e poi la forza. Correggetemi se sbaglio , i corpi si muovo di moto uniforme l'uno rispetto all'altro . Sto cercando di visualizzare meglio la situazione per cui mi scuso se perdo tempo perché voglio davvero capire
Non è "come se", è proprio così, la corda è dritta ma non fa forza, questo perché i suoi estremi si muovono in ogni istante con la stessa velocità, se avessero accelerazioni diverse, i punti estremi della corda si allontanerebbero o si avvicinerebbero
"Mynameis":
i corpi si muovo di moto uniforme l'uno rispetto all'altro
No, sono FERMI l'uno rispetto all'altro
(beh, solo in un certo senso... se misuriamo la distanza lungo la fune, che però forma un angolo. In linea d'aria la distanza cambia, in modo complicato, ma non stiamo a spaccare il capello in quattro, ci siamo capiti... spero)
Ok finalmente è tutto chiaro. Grazie a mgrau e Vulplasir per avermi aiutato
"mgrau":
[quote="Mynameis"] i corpi si muovo di moto uniforme l'uno rispetto all'altro
No, sono FERMI l'uno rispetto all'altro
(beh, solo in un certo senso... se misuriamo la distanza lungo la fune, che però forma un angolo. In linea d'aria la distanza cambia, in modo complicato, ma non stiamo a spaccare il capello in quattro, ci siamo capiti... spero)[/quote]
Volevo dire la stessa cosa tua ma mi sono incartato , avevo in testa il concetto ma l'ho espresso con altre parole completamente , comunque adesso ho capito bene , grazie ancora !
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