Problema con densità uniforme volumetrica più una carica

[umbe14]

Scusate, ma in questo esercizio la carica complessiva non dovrebbe essere uguale a 0? (Dunque dovremmo avere campo e potenziale nulli).
Una carica positiva $Q_0$ è depositata, con densità volumetrica uniforme, su una sfera isolante di raggio $R_0$. Inoltre, una carica puntiforme di valore $–Q_0$ è posta al centro della sfera. Determinare:
a) il vettore campo elettrico $E$ in tutto lo spazio. b) la differenza di potenziale tra due punti A e B situati, rispettivamente, a distanza $3R_0$ e $4R_0$ dal centro della sfera.

[mgrau]

"umbe":Scusate, ma in questo esercizio la carica complessiva non dovrebbe essere uguale a 0? (Dunque dovremmo avere campo e potenziale nulli).

La carica complessiva è nulla, e allora? Anche in un dipolo la carica è nulla, ma il campo no...
Comunque. Principio di sovrapposizione. Il campo è la somma dei due, prodotti dalla sfera e dalla carica puntiforme.
I due campi sono uguali e opposti, fuori dalla sfera, dove allora il campo è nullo.
Ma all'interno della sfera, uno va come $1/r^2$ e l'altro come $r$, per cui va all'infinito per $r->0$ e si azzera per $r = R_0$

[umbe14]

Quindi all'interno della sfera i due campi sono concordi? Mentre al di fuori il campo complessivo è nullo perché i due contributi, essendo discordi, si annullano.

[mgrau]

"umbe":Quindi all'interno della sfera i due campi sono concordi?

Ma no che non sono concordi. La carica volumetrica è positiva, e quella puntiforme è negativa.
Sono discordi, e il campo dovuto alla carica centrale è maggiore in modulo di quello dovuto alla carica volumetrica, e diventa uguale alla superficie della sfera. Per cui, all'interno, il campo è diretto verso il centro.
Fuori invece i due campi sono discordi e uguali, così la somma è sempre nulla.

[umbe14]

Ok, cioè devo trattare la sfera con densità volumetrica uniforme come fosse un'unica carica gigante? E la carica puntiforme al centro della sfera esercita in modulo un campo maggiore, per $r

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[mgrau]

"umbe":Ok, cioè devo trattare la sfera con densità volumetrica uniforme come fosse un'unica carica gigante? E la carica puntiforme al centro della sfera esercita in modulo un campo maggiore, per $r
Non esiste il concetto di "carica gigante". Invece, se vuoi trovare il campo in un punto $P$ a distanza $r$ dal centro della sfera, devi:
pensare alla superficie gaussiana formata dalla sfera di raggio $r$
capire che sulla superficie il campo è radiale e uniforme, per simmetria, quindi il flusso è $Phi = E*4pir^2$
trovare la carica contenuta, che è $Q = sigma *4/3pir^3$
ricordarti il teorema di Gauss, $Phi = Q/epsi_0$
risulta che $E$ è proporzionale a $r$, mentre $E$ dovuto alla carica centrale va come $1/r^2$.
Per $r = R_0$ i due valori si uguagliano, e il campo totale è zero.
Per $r > R_0$ anche il campo dovuto alla sfera va come $1/r^2$, così il campo totale resta zero in tutto lo spazio esterno.

[umbe14]

Quindi, $E$ della sfera cresce al crescere di $r$ fintanto che abbiamo $r Ok quindi per rispondere al secondo quesito del problema, $V=0$ e ok. Per il primo quesito invece avremo:
$E_tot=0$ per $r>R_0$; mentre $Etot$ va ad infinito man mano che ci avviciniamo al centro?

[umbe14]

$E$ totale per $r Allora perché questo non andava bene?

[mgrau]

"umbe": $E_0=-Q_0/(4\pi\epsilon_0R_0^2)$ per $r
Ancora non ci siamo...
$E=q/(4piepsi_0r^2)-Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2)= 1/(4piepsi_0) (rho*4/3pi*r^3)/r^2-Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2) = (rhor)/(3epsi_0)- Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2$

[umbe14]

"mgrau":[quote="umbe"] $E_0=-Q_0/(4\pi\epsilon_0R_0^2)$ per $r
Ancora non ci siamo...
$E=q/(4piepsi_0r^2)-Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2)= 1/(4piepsi_0) (rho*4/3pi*r^3)/r^2-Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2) = (rhor)/(3epsi_0)- Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2$[/quote]
Cioè, non devo calcolare la carica della sfera da $0$ a $R_0$?

[mgrau]

Quello che hai scritto: $E_0=-Q_0/(4\pi\epsilon_0R_0^2)$ è il campo prodotto dalla carica puntiforme $Q_0$ alla superficie della sfera, cioè a distanza $R_0$ dalla carica.
Lo stesso campo, a distanza generica $r$ è $E_0=-Q_0/(4\pi\epsilon_0r^2)$
Ma se vuoi calcolare il campo prodotto dalla carica diffusa, a distanza $r$, devi:
- trovare la carica che si trova a distanza $d<=r$ (quella che sta "sotto"), $q =rho*4/3pir^3$
- e poi usare la stessa formula, ma usando QUESTA carica e non quella dell'intera sfera

[umbe14]

Ok, ma poi il campo generato dalla carica diffusa dovrò calcolarlo in tutta la sfera per calcolare il campo da 0 a R_0, no? E il contributo della carica puntiforme si somma a quello della sfera.

[mgrau]

"umbe":Ok, ma poi il campo generato dalla carica diffusa dovrò calcolarlo in tutta la sfera per calcolare il campo da 0 a R_0, no?

Certo. E vale $ (rhor)/(3epsi_0)$

[umbe14]

Allora scusa, ma dove ho sbagliato?

[mgrau]

Forse non ho capito qual è il tuo risultato finale per il campo all'interno

[umbe14]

"umbe":$E$ totale per $r
Questo.

[mgrau]

Cosa significa $|\rho4/3\pir^3|_0^(R_0)$ ?

[umbe14]

Vuol dire, moltiplicato per $1/\epsilon_0$ di calcolare il campo su tutta la sfera.

[mgrau]

No, continuo a non capire cosa significa questa espressione $|\rho4/3\pir^3|_0^(R_0)$

[umbe14]

"mgrau":No, continuo a non capire cosa significa questa espressione $|\rho4/3\pir^3|_0^(R_0)$

Allora come avrei dovuto fare?

[mgrau]

Visto che proprio non vuoi spiegare cosa vuol dire $|\rho4/3\pir^3|_0^(R_0)$ provo ad esercitare le mie doti di indovino.
Vorrà dire $\rho4/3\piR_0^3 - rho4/3\pi0^3$ ? Che se non sbaglio rappresenta l'intera carica della sfera? Ma allora, il risultato non dovrebbe venirti zero?