Problema con blocchi, molla e piano inclinato
ho il seguente problema
Nel sistema rappresentato in figura n corpo A di massa m=5 kg, posto su un piano inclinato liscio formante un angolo alfa =30° con l'orrizzontale, è fissato all'estremità di una molla, avente lunghezza di riposo l=0.8 m e costante elastica k=196N/m. L'altra estremità della molla è fissata ad un gancio G solidale al piano inclinato. Un filo inestensibile che passa nella gola di una carrucola disposta verticalmente collega il corpo A al corpo B, pure di massa m05 kg, che prende verticalmente. Le masse del filo, della molla e della carrucola C sono trascurabili rispetto alla massa dei due corpi. Il sistema è inizialmente in condizioni di equilibrio statico. All'istante t=0 il filo si spezza e il corpo A inizia a uoversi lungo il piano inclinato. Calcolare nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy con l'origine O ancorata al gancio G e l'asse x parallelo al piano inclinato:
a) la tensione del filo per t<0;
b) la posizione di equilibrio del corpo A per t<0;
c) la sua equazione del moto lungo il piano inclinato per t>0;
d) la sua legge oraria del moto per t>0.
se dalla foto non capite bene il disegno ditemelo che ve ne metto un'altra.
Per il punto a )io ho pensato che essento in una posizione di equilibrio le tensioni T della corda saranno uguali percui scrivo le formule
$ T=m_2*g*cos(60°) = 24.5N$
ho messo il cos(60°) perchè l'asse x del piano è parallela al piano inclinato
quindi dall'altra parte
$T=m_1*g + k*x $
Sostituendo il valore di T trovato nella prima funzione nella seconda trovo x
$x= frac{T-m_1*g}{k} = -0.125m$
Percui per il punto b) mi basta sottrarre al valore di riposo che ha la molla la x che ho trovato, che non è altro che lo spostamento della molla dovuta dalla compressione del blocco A, così trovo la posizione del blocco A
$ l - x- 0.8 - 0.125 = 0.675m$
Per gli altri due punti non ho ancora ragionato bene il punto c) dovrebbe essereuna cosa del genere
$ m*a=M_!*a-mu *m_1*g$
il punto d) non ho prorpio idea di come si faccia
Se qualcuno sa aiutarmi lo ringrazio molto
Nel sistema rappresentato in figura n corpo A di massa m=5 kg, posto su un piano inclinato liscio formante un angolo alfa =30° con l'orrizzontale, è fissato all'estremità di una molla, avente lunghezza di riposo l=0.8 m e costante elastica k=196N/m. L'altra estremità della molla è fissata ad un gancio G solidale al piano inclinato. Un filo inestensibile che passa nella gola di una carrucola disposta verticalmente collega il corpo A al corpo B, pure di massa m05 kg, che prende verticalmente. Le masse del filo, della molla e della carrucola C sono trascurabili rispetto alla massa dei due corpi. Il sistema è inizialmente in condizioni di equilibrio statico. All'istante t=0 il filo si spezza e il corpo A inizia a uoversi lungo il piano inclinato. Calcolare nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy con l'origine O ancorata al gancio G e l'asse x parallelo al piano inclinato:
a) la tensione del filo per t<0;
b) la posizione di equilibrio del corpo A per t<0;
c) la sua equazione del moto lungo il piano inclinato per t>0;
d) la sua legge oraria del moto per t>0.
se dalla foto non capite bene il disegno ditemelo che ve ne metto un'altra.
Per il punto a )io ho pensato che essento in una posizione di equilibrio le tensioni T della corda saranno uguali percui scrivo le formule
$ T=m_2*g*cos(60°) = 24.5N$
ho messo il cos(60°) perchè l'asse x del piano è parallela al piano inclinato
quindi dall'altra parte
$T=m_1*g + k*x $
Sostituendo il valore di T trovato nella prima funzione nella seconda trovo x
$x= frac{T-m_1*g}{k} = -0.125m$
Percui per il punto b) mi basta sottrarre al valore di riposo che ha la molla la x che ho trovato, che non è altro che lo spostamento della molla dovuta dalla compressione del blocco A, così trovo la posizione del blocco A
$ l - x- 0.8 - 0.125 = 0.675m$
Per gli altri due punti non ho ancora ragionato bene il punto c) dovrebbe essereuna cosa del genere
$ m*a=M_!*a-mu *m_1*g$
il punto d) non ho prorpio idea di come si faccia
Se qualcuno sa aiutarmi lo ringrazio molto
Risposte
Io farei così
a) La tensione del filo dovrebbe essere intesa in modulo, quindi senza la necessità d'essere scomposta in direzione x e y (che mi pare di aver capito siano rispettivamente le direzioni parallela e perpendicolare al piano inclinato). Quindi la tensione risulta semplicemente quella che tiene su la massa $m_2$ che sta sospesa:
$T=m_2g=49.05[N]$
b) La tensione si trasferisce tale e quale parallela al piano inclinato grazie alla carrucola. Inoltre per fare il bilancio devi prendere la componente lungo x del peso dato dalla massa $m_1$ perchè la componente perpendicolare non partecipa al bilancio stesso. Quindi il bilancio è:
$T=m_1gsinalpha+kx$
$x=(T-m_1gsinalpha)/k=0.125[m]$
che infatti risulta positivo...a te risultava negativo, cioè in compressione, nonostante la molla fosse evidentemente in trazione.
c) questo punto consiste nel bilancio delle forze statiche e dinamiche...dato che è per $t>0$ significa che la massa $m_2$ è già caduta, quindi non partecipa al bilancio stesso. Rimangono solo l'inerzia della massa e la forza della molla. La presenza della forza peso è indifferente se valutiamo il moto come oscillazione attorno al punto di equilibrio dopo il taglio del cavo. Cercando il punto di equilibrio si trova che è:
$x=-(m_1gsinalpha)/k=-0.125[m]$
cioè lo stesso valore di prima, ma in compressione com'è giusto che sia. Quindi il bilancio delle forze dinamico va ora fatto sapendo che l'oscillazione (cioè la massa ciondola spinta o tirata dalla molla) avviene attorno alla posizione di equilibrio appena trovata (-0.125), il tutto partendo dalla posizione trovata prima come condizione iniziale (cioè +0.125). Insomma hai una massa che, spinta dalla molla, oscilla attorno alla posizione $x=-0.125$ con ampiezza di oscillazione $A=0.125-(-0.125)=0.25[m]$
Quindi possiamo scrivere il bilancio delle forze con posizione di equilibrio -0.125:
$m_1a+k(x+0.125)=0$
Nota che se metti $x=-0.125$ risulta che la forza della molla è nulla...com'è giusto che sia, visto che è la posizione di equilibrio.
d) L'equazione del moto, come detto deve essere oscillante, quindi dobbiamo modellare un'equazione generica di moto armonico affinche ci vada bene. Iniziamo spostando leggermente il sistema di riferimento in modo tale che la posizione di equilibrio risulti x=0. Così risulterà $m_1a+kx=0$
Ora prendiamo una equazione armonica generica:
$x=Asin(omegat+phi)$
lo sfasamento $phi$ è nullo, e l'ampiezza $A$ è quella detta prima, quindi $A=0.25[m]$ (infatti nota che quella funzione $x$ varia tra A e -A...non può andare oltre!):
$x=0.25sin(omegat)$
Ora ci manca solo l'$omega$. Per trovare questa dobbiamo sostituire la x nell'equazione di bilancio fatta prima:
$m_1a+kx=0$
$m_1(d^2x)/(dt^2)+kx=0$
$-0.25m_1omega^2sin(omegat)+k0.25sin(omegat)=0$
si semplificano i termini sinusoidali:
$-0.25m_1omega^2+0.25k=0$
$omega^2=k/m$
$omega=sqrt(k/m)=39.2[(rad)/s]$
Quindi l'equazione temporale del moto risulta $x=0.25sin(39.2t)$
a) La tensione del filo dovrebbe essere intesa in modulo, quindi senza la necessità d'essere scomposta in direzione x e y (che mi pare di aver capito siano rispettivamente le direzioni parallela e perpendicolare al piano inclinato). Quindi la tensione risulta semplicemente quella che tiene su la massa $m_2$ che sta sospesa:
$T=m_2g=49.05[N]$
b) La tensione si trasferisce tale e quale parallela al piano inclinato grazie alla carrucola. Inoltre per fare il bilancio devi prendere la componente lungo x del peso dato dalla massa $m_1$ perchè la componente perpendicolare non partecipa al bilancio stesso. Quindi il bilancio è:
$T=m_1gsinalpha+kx$
$x=(T-m_1gsinalpha)/k=0.125[m]$
che infatti risulta positivo...a te risultava negativo, cioè in compressione, nonostante la molla fosse evidentemente in trazione.
c) questo punto consiste nel bilancio delle forze statiche e dinamiche...dato che è per $t>0$ significa che la massa $m_2$ è già caduta, quindi non partecipa al bilancio stesso. Rimangono solo l'inerzia della massa e la forza della molla. La presenza della forza peso è indifferente se valutiamo il moto come oscillazione attorno al punto di equilibrio dopo il taglio del cavo. Cercando il punto di equilibrio si trova che è:
$x=-(m_1gsinalpha)/k=-0.125[m]$
cioè lo stesso valore di prima, ma in compressione com'è giusto che sia. Quindi il bilancio delle forze dinamico va ora fatto sapendo che l'oscillazione (cioè la massa ciondola spinta o tirata dalla molla) avviene attorno alla posizione di equilibrio appena trovata (-0.125), il tutto partendo dalla posizione trovata prima come condizione iniziale (cioè +0.125). Insomma hai una massa che, spinta dalla molla, oscilla attorno alla posizione $x=-0.125$ con ampiezza di oscillazione $A=0.125-(-0.125)=0.25[m]$
Quindi possiamo scrivere il bilancio delle forze con posizione di equilibrio -0.125:
$m_1a+k(x+0.125)=0$
Nota che se metti $x=-0.125$ risulta che la forza della molla è nulla...com'è giusto che sia, visto che è la posizione di equilibrio.
d) L'equazione del moto, come detto deve essere oscillante, quindi dobbiamo modellare un'equazione generica di moto armonico affinche ci vada bene. Iniziamo spostando leggermente il sistema di riferimento in modo tale che la posizione di equilibrio risulti x=0. Così risulterà $m_1a+kx=0$
Ora prendiamo una equazione armonica generica:
$x=Asin(omegat+phi)$
lo sfasamento $phi$ è nullo, e l'ampiezza $A$ è quella detta prima, quindi $A=0.25[m]$ (infatti nota che quella funzione $x$ varia tra A e -A...non può andare oltre!):
$x=0.25sin(omegat)$
Ora ci manca solo l'$omega$. Per trovare questa dobbiamo sostituire la x nell'equazione di bilancio fatta prima:
$m_1a+kx=0$
$m_1(d^2x)/(dt^2)+kx=0$
$-0.25m_1omega^2sin(omegat)+k0.25sin(omegat)=0$
si semplificano i termini sinusoidali:
$-0.25m_1omega^2+0.25k=0$
$omega^2=k/m$
$omega=sqrt(k/m)=39.2[(rad)/s]$
Quindi l'equazione temporale del moto risulta $x=0.25sin(39.2t)$
Brothers se la posizione fosse quella che dici tu la molla spingerebbe invece di tirare il blocco e tenerlo in equilibrio bilanciando la differenza tra forza peso e tensione.
Il mio procedimento:
a) DAl diagramma di corpo libero del blocco B si ha che $T=mg$
b)Sul blocco A si ha $-mgsentheta+mg>0$ perciò la forza elastica per bilanciare dovrà tirare nella direzione negativa, e quindi la posizione dovrà essere maggiore di $x_0$.
PErtanto sul blocco A si ha in totale $T-F_p-F_e=mg-mgsentheta-k(x-x_0)=0$; da cui $x=frac{mg(1-sentheta)+kx_0}{k}=0.925m$
c)UNa volta rotta la fune, su A imangono solo forza peso e forza elastica. Per la seconda legge della dinamica si ha=$-mgsentheta-k(x-x_0)=ma$
d)Riscrivendo la precedente come $-mgsentheta-k(x-x_0)=mfrac{d^2x}{dt^2}$.
Questa è un equazione differenziale ordinaria non omogenea del secondo ordine, che ha come soluzione generale $x(t)=Asen(omegat+phi)-frac{m}{k}gsentheta+x_0$, con $omega$ noto essere $sqrt(frac{k}{m})$.
tenendo conto delle condizioni iniziali (posizione $x=frac{mg(1-sentheta)+kx_0}{k}$ velocità nulla all'istante t=0) la soluzione è
$x(t)=frac{mg}{k}sen(omegat+frac{pi}{2})-frac{m}{k}gsentheta+x_0$
Il mio procedimento:
a) DAl diagramma di corpo libero del blocco B si ha che $T=mg$
b)Sul blocco A si ha $-mgsentheta+mg>0$ perciò la forza elastica per bilanciare dovrà tirare nella direzione negativa, e quindi la posizione dovrà essere maggiore di $x_0$.
PErtanto sul blocco A si ha in totale $T-F_p-F_e=mg-mgsentheta-k(x-x_0)=0$; da cui $x=frac{mg(1-sentheta)+kx_0}{k}=0.925m$
c)UNa volta rotta la fune, su A imangono solo forza peso e forza elastica. Per la seconda legge della dinamica si ha=$-mgsentheta-k(x-x_0)=ma$
d)Riscrivendo la precedente come $-mgsentheta-k(x-x_0)=mfrac{d^2x}{dt^2}$.
Questa è un equazione differenziale ordinaria non omogenea del secondo ordine, che ha come soluzione generale $x(t)=Asen(omegat+phi)-frac{m}{k}gsentheta+x_0$, con $omega$ noto essere $sqrt(frac{k}{m})$.
tenendo conto delle condizioni iniziali (posizione $x=frac{mg(1-sentheta)+kx_0}{k}$ velocità nulla all'istante t=0) la soluzione è
$x(t)=frac{mg}{k}sen(omegat+frac{pi}{2})-frac{m}{k}gsentheta+x_0$
Ops qualcuno mi ha preceduto di 10 minuti mentre scrivevo...
Cmq a parte il fatto che nella tua equazione non c'è sfasamento, il che non penso sia possibile perchè allora all'istante t=0 la forza elastica è 0, mentre in realtà la molla è in tiro...Cmq anche nella mia qualcosa non quadra, perchè comq risulta un moto armonico semplice, mentre secondo me a naso essendoci pure la forza peso in salita dovrebbe esser più lento che in discesa...
grazie mille ragazzi...si nel punto C) io ho scritto una cavolata, sarà stata la stanchezza ma non volevo mettere la forza di attrito mi sono confso con un altro esercizio fatto precedentemente, volevo mettere quella elastica. A me è risultata negativa la x sul punto b) ed infatti mi sembrava un po' strano. Il fatto è che ho portato tutto riferito all'asse parallelo al piano inclinato perchè così chiedeva il problema, cmq ora ho capito grazie alla spiegazione perchè andava fatto così.
Per il punto d) mi avete fatto proprio luce....
Per il punto d) mi avete fatto proprio luce....
Ehma io volevo conferma da qualcun altro se la mia equazione diferenziale è giusta...
"antani":
Ehma io volevo conferma da qualcun altro se la mia equazione diferenziale è giusta...
Mi sembra corretto.
Che dubbi hai?
Se ci fai caso hai ottenuto un moto armonico attorno alla posizione di equilibrio del sistema senza l'altra massa, cioè
$x= - (m g sin \theta) / k + x_0$
come doveva essere.
D'altronde pizzaf40 ha già detto tutto, a differenza tua però la sua $x=0$ coincide con la posizione molla indeformata e poi con il nuovo punto di equilibrio , non con il punto G ...
...punto G? Ma questo non era un forum di fisica?
oh gesù 
ma come mai ilsuo moto non ha fase e il mio sì? $pi/2$ E poi il testo non chiedeva cmq il riferimento che ha come origine il punto G?
"antani":
ma come mai ilsuo moto non ha fase e il mio sì? $pi/2$ E poi il testo non chiedeva cmq il riferimento che ha come origine il punto G?
Penso quello fosse un ragionamento più qualitativo che quantitativo. Il tuo procedimento risponde esattamente al problema.
Ola, sono tornato!
Sì, confermo che il mio discorso era più dedicato alla comprensione del problema e del suo andamento piuttosto che alla risoluzione precisa del problema...tuttavia mi scuso per quella che può essere presa come un'imprecisione. Lo sfasamento di $pi/2$ infatti è proprio dovuto al fatto che ho preso come punto di partenza la posizione di equilibrio per $t>0$ (quindi $t=T/4$, che corrisponde allo sfasamento di un quarto di ciclo....quindi $phi=pi/2$).
Sì, confermo che il mio discorso era più dedicato alla comprensione del problema e del suo andamento piuttosto che alla risoluzione precisa del problema...tuttavia mi scuso per quella che può essere presa come un'imprecisione. Lo sfasamento di $pi/2$ infatti è proprio dovuto al fatto che ho preso come punto di partenza la posizione di equilibrio per $t>0$ (quindi $t=T/4$, che corrisponde allo sfasamento di un quarto di ciclo....quindi $phi=pi/2$).
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