Problema centro di massa e reazione vincolare corpo rigido
Salve a tutti, ho difficoltà nel risolvere due punti di un problema riguardante i corpi rigidi, vi allengo il testo:
Un'asta rigida $bar{OA}$ di sezione trascurabile, di massa $M$ e lunghezza $L$, con densità lineare $lambda_(r)=kr$ (dove $r$ è la distanza dell'estremo $O$), giace su un piano liscio ed è inizialmente ferma, incernierata nel suo estremo $O$. A un certo istante un punto materiale di massa $m=2M$ che si muove sul piano con velocità $v_0$ diretta perpendicolarmente all'asta, la urta nell'estremo $A$ in modo completamente anelastico.
1) la distanza d dal centro di massa del sistema dopo l'urto dal punto $O$.
Risposta: $d=5/6L$
2) La reazione vincolare che agisce sul sistema dopo l'urto.
Risposta: $R_v=128/75Mv_0/L$
Dati noti:
$I_i=ML^2/2$ (momento di inerzia dell'asta prima dell'urto rispetto a un'asse perpendicolare al piano passante per il punto $O$)
$I_f=5ML^2/2$ (momento di inerzia dell'asta dopo l'urto passante per lo stesso punto)
$w_(sistema)=4/5v_0/L$
Allora,
per risolvere il primo quesito ho trovato prima di tutto $X_(cm)$ dell'asta attraverso l'equazione per sistemi continui e poi quello del sistema attraverso l'equazione per sistemi discreti:
$X_(cmAsta)=(int_0^Ll dm)/(int_0^Ldm)$ con $dm=lambda_rdl=k l dl$, quindi $X_(cmAsta)=2/3L$ e di conseguenza
$X_(cmSistema)=(2/3LM+2ML)/(3M)= 8/9L=d$. Ma il risultato è sbagliato.
Per quanto riguarda il secondo punto, non ho idee. Ho provato a calcolarmi l'impulso della reazione vincolare attraverso la formula $J_r=Q_(cm)-J$ e poi derivarla ma non viene.
Grazie un anticipo a chiunque voglia aiutarmi.
Un'asta rigida $bar{OA}$ di sezione trascurabile, di massa $M$ e lunghezza $L$, con densità lineare $lambda_(r)=kr$ (dove $r$ è la distanza dell'estremo $O$), giace su un piano liscio ed è inizialmente ferma, incernierata nel suo estremo $O$. A un certo istante un punto materiale di massa $m=2M$ che si muove sul piano con velocità $v_0$ diretta perpendicolarmente all'asta, la urta nell'estremo $A$ in modo completamente anelastico.
1) la distanza d dal centro di massa del sistema dopo l'urto dal punto $O$.
Risposta: $d=5/6L$
2) La reazione vincolare che agisce sul sistema dopo l'urto.
Risposta: $R_v=128/75Mv_0/L$
Dati noti:
$I_i=ML^2/2$ (momento di inerzia dell'asta prima dell'urto rispetto a un'asse perpendicolare al piano passante per il punto $O$)
$I_f=5ML^2/2$ (momento di inerzia dell'asta dopo l'urto passante per lo stesso punto)
$w_(sistema)=4/5v_0/L$
Allora,
per risolvere il primo quesito ho trovato prima di tutto $X_(cm)$ dell'asta attraverso l'equazione per sistemi continui e poi quello del sistema attraverso l'equazione per sistemi discreti:
$X_(cmAsta)=(int_0^Ll dm)/(int_0^Ldm)$ con $dm=lambda_rdl=k l dl$, quindi $X_(cmAsta)=2/3L$ e di conseguenza
$X_(cmSistema)=(2/3LM+2ML)/(3M)= 8/9L=d$. Ma il risultato è sbagliato.
Per quanto riguarda il secondo punto, non ho idee. Ho provato a calcolarmi l'impulso della reazione vincolare attraverso la formula $J_r=Q_(cm)-J$ e poi derivarla ma non viene.
Grazie un anticipo a chiunque voglia aiutarmi.
Risposte
Anche io trovo che il CM dell’asta, prima dell’urto, ha distanza $2/3L$ dal punto O .
Dopo l’urto anelastico della massa $m=2M$ , trovo anch’io che il CM del sistema si trova a $d = 8/9L$ dal punto $O$ .
Il valore che dà il testo, e cioè $5/6L$ , sarebbe corretto se la massa che urta anelasticamente l’asta fosse:
$m = M $ , e non il dato : $m=2M$ . Quindi non mi spiego il valore $5/6L$. Forse l’errore non è tuo.
I momenti di inerzia, che ho verificato, sono giusti :
$I_i = kL^4/4 = ML^2/2$ (in quanto la massa dell’asta è $M = kL^2/2$) .
$I_f = 5/2ML^2$
e la velocità angolare immediatamente dopo l’urto si ricava dalla conservazione del momento angolare :
$2M*v_0*L = 5/2ML^2omega rarr omega = 4/5v_0/L$
Per quanto riguarda l’ultimo punto, non ho capito come lo hai svolto. LA reazione della cerniera è una forza impulsiva; puoi dettagliare ?
Dopo l’urto anelastico della massa $m=2M$ , trovo anch’io che il CM del sistema si trova a $d = 8/9L$ dal punto $O$ .
Il valore che dà il testo, e cioè $5/6L$ , sarebbe corretto se la massa che urta anelasticamente l’asta fosse:
$m = M $ , e non il dato : $m=2M$ . Quindi non mi spiego il valore $5/6L$. Forse l’errore non è tuo.
I momenti di inerzia, che ho verificato, sono giusti :
$I_i = kL^4/4 = ML^2/2$ (in quanto la massa dell’asta è $M = kL^2/2$) .
$I_f = 5/2ML^2$
e la velocità angolare immediatamente dopo l’urto si ricava dalla conservazione del momento angolare :
$2M*v_0*L = 5/2ML^2omega rarr omega = 4/5v_0/L$
Per quanto riguarda l’ultimo punto, non ho capito come lo hai svolto. LA reazione della cerniera è una forza impulsiva; puoi dettagliare ?
Anche a me viene $ d = \frac{8}{9}L$. Per quanto riguarda la reazione vincolare mi viene considerando che $ R = ma_c $. Questo però non dovrebbe essere completamente vero perchè l'asta che fa da filo è dotata di massa, dunque la reazione dovrebbe avere anche un componente tangenziale. Non so magari ho capito male la domanda
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