Problema Campi Variabili
Dunque ho un cilindro isolante (lineare omogeneo) che ruota a $ omega $ costante attorno al proprio asse, esiste un campo magnetico nello spazio parallelo all'asse e costante e concorde ad $ omega $.
Usando un sistema di coordinate cilindriche, ogni punto ha velocità $ bar(v)=r omega bar(u)_theta $ che porta alla definizione del campo elettrico indotto $ bar(E)_i=romegaBbar(u)_r $ all'interno del sistema. La polarizzazione è quindi $ bar(P)=epsilon_0\chibar(E)_i =epsilon_0\chiromegaBbar(u)_r$. Ora $ bar(D)=(1+chi)/(chi)bar(P) $
La divergenza di $ D $ non è nulla pur non essendoci cariche libere. Cosa ho sbagliato? Grazie dell'aiuto.
Usando un sistema di coordinate cilindriche, ogni punto ha velocità $ bar(v)=r omega bar(u)_theta $ che porta alla definizione del campo elettrico indotto $ bar(E)_i=romegaBbar(u)_r $ all'interno del sistema. La polarizzazione è quindi $ bar(P)=epsilon_0\chibar(E)_i =epsilon_0\chiromegaBbar(u)_r$. Ora $ bar(D)=(1+chi)/(chi)bar(P) $
La divergenza di $ D $ non è nulla pur non essendoci cariche libere. Cosa ho sbagliato? Grazie dell'aiuto.
Risposte
Tanto per cominciare mi sa che ti stai dimenticando della densità di carica di polarizzazione volumetrica.
Se è giusta questa formula è:
$ rho_p=-\nabla * P=-1/r partial r( epsilon_0 \chi r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi omega B $
Ma $ bar(D) $ non dipende dalla carica di polarizzazione a quanto so.
Ho la soluzione è mi da proprio quella come densità di carica di polarizzazione. Ma in effetti mi sembra strano che il campo da considerare sia quello indotto e non il risultato dell'interazione di questo campo col dielettrico. Non ho idea di come procedere.
$ rho_p=-\nabla * P=-1/r partial r( epsilon_0 \chi r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi omega B $
Ma $ bar(D) $ non dipende dalla carica di polarizzazione a quanto so.
Ho la soluzione è mi da proprio quella come densità di carica di polarizzazione. Ma in effetti mi sembra strano che il campo da considerare sia quello indotto e non il risultato dell'interazione di questo campo col dielettrico. Non ho idea di come procedere.
"luc.mm":
Se è giusta questa formula è:
$ rho_p=-\nabla * P=-1/r partial r( epsilon_0 \chi r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi omega B $
"luc.mm":
Ma $ bar(D) $ non dipende dalla carica di polarizzazione a quanto so.
Certo.
"luc.mm":
Ho la soluzione è mi da proprio quella come densità di carica di polarizzazione.
Io direi di no. (da dove arriva questo problema?)
"luc.mm":
Ma in effetti mi sembra strano che il campo da considerare sia quello indotto e non il risultato dell'interazione di questo campo col dielettrico.
Proprio così, quella carica di polarizzazione volumetrica andrà ad implicare un campo elettrico radiale in opposizione a quello indotto iniziale e quindi per l'effettiva polarizzazione dovremo andare a considerare la loro somma ... e il bello è che questo campo dovrà essere di nuovo corretto, iterando il processo; sostanzialmente, questo campo correttivo proporzionale a quello indotto iniziale secondo un fattore costante ki, ci permetterà di ricavare la relazione alla quale converge kc = ....
Lascio a te ricavarlo.
Grazie mille (come sempre) comunque Mazzoldi Fisica II esercizio 10.8 dei problemi di Elettromagnetismo per chi è interessato.
Purtroppo quel testo mi manca, ad ogni modo intendevo dire che per la polarizzazione avremo, al primo passaggio dalla polarizzazione iniziale
$\vec P_0 =\epsilon_0 \chi\vec E_i $
passeremo alla seguente
$\vec P_1= \epsilon_0 \chi(\vec E_i+ \vec E_1)$
Dove $\vec E_1$ può essere determinato dalla densità di carica di polarizzazione volumetrica $\rho_p$ da te calcolata e una volta capita l'iteratività si potrà prevedere il valore finale $\vec P_f$ di convergenza per P.
$\vec P_0 =\epsilon_0 \chi\vec E_i $
passeremo alla seguente
$\vec P_1= \epsilon_0 \chi(\vec E_i+ \vec E_1)$
Dove $\vec E_1$ può essere determinato dalla densità di carica di polarizzazione volumetrica $\rho_p$ da te calcolata e una volta capita l'iteratività si potrà prevedere il valore finale $\vec P_f$ di convergenza per P.
Calcolando viene $ bar(P)_k=epsilon_0 chi (bar(E)_0+bar(E)_1+bar(E)_2+...+bar(E)_k)=epsilon_0 chi(r omega B bar(u)_r- chi omega B r bar(u)_r - chi(1-chi) omega B r bar(u)_r+...)=epsilon_0 chi (1-chi)^k omega B r bar(u)_r $
La struttura di $ bar(P) $ non cambia anche se ora può divergere o convergere. Mi sa che è più complesso di quello che pensavo.
Significa che se ruota con velocità costante prima o poi le cariche si staccano?
La struttura di $ bar(P) $ non cambia anche se ora può divergere o convergere. Mi sa che è più complesso di quello che pensavo.
Significa che se ruota con velocità costante prima o poi le cariche si staccano?
Non devi sommare tutti i campi ma solo quello iniziale a quello k-mo; E1,E2 ... Ek, sono successive approssimazioni dello stesso campo, ed $E_k$ te lo calcoli dalla $P_{k-1}$; prova a ricavarti per esempio E1 dalla P0.
Dunque passo per passo.
$ bar(E)_0=omega B r bar(u)_r $
$ bar (P)_0=epsilon_o chi bar(E)_0 $
$ rho_0=-\nabla * bar(P)_0=-1/r partial r( epsilon_0 \chi r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi omega B $
$ bar(E)_1=(rho_0 r)/(2 epsilon_0) bar(u)_r=-\chi omega B r bar(u)_r $
$ bar (P)_1=epsilon_o chi (bar(E)_0+bar(E)_1)=epsilon_o chi(1-chi) omega B r bar(u)_r $
$ rho_1=-\nabla * bar(P)_1=-1/r partial r( epsilon_0 \chi(1-chi) r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi(1-chi) omega B $
$ bar(E)_2=-\chi(1-chi) omega B r bar(u)_r $
$ bar (P)_2=epsilon_o chi (bar(E)_0+bar(E)_2)=epsilon_o chi(1-chi(1-chi)) omega B r bar(u)_r $
Per cui c'è il termine $ chi(1-chi(1-chi(1-chi...)=chi(1-chi+chi^2-chi^3...)=chi/(1+chi)$ per $ chi<1 $
$bar(P)=epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r $
$ 0=\nabla * bar(D)!=chi/(1+chi)\nabla *bar(P)=-chi/(1+chi)rho_p $ essendo a questo punto $rho_p$ non nulla.
Non riesco proprio a capire l'errore. L'unica cosa che mi verrebbe da dire è che questo campo indotto si comporta esattamente come il campo di una distribuzione di carica libera e quindi non posso assumere la divergenza di $ bar(D) $ nulla.
$ bar(E)_0=omega B r bar(u)_r $
$ bar (P)_0=epsilon_o chi bar(E)_0 $
$ rho_0=-\nabla * bar(P)_0=-1/r partial r( epsilon_0 \chi r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi omega B $
$ bar(E)_1=(rho_0 r)/(2 epsilon_0) bar(u)_r=-\chi omega B r bar(u)_r $
$ bar (P)_1=epsilon_o chi (bar(E)_0+bar(E)_1)=epsilon_o chi(1-chi) omega B r bar(u)_r $
$ rho_1=-\nabla * bar(P)_1=-1/r partial r( epsilon_0 \chi(1-chi) r^2 omega B)=-2epsilon_0 \chi(1-chi) omega B $
$ bar(E)_2=-\chi(1-chi) omega B r bar(u)_r $
$ bar (P)_2=epsilon_o chi (bar(E)_0+bar(E)_2)=epsilon_o chi(1-chi(1-chi)) omega B r bar(u)_r $
Per cui c'è il termine $ chi(1-chi(1-chi(1-chi...)=chi(1-chi+chi^2-chi^3...)=chi/(1+chi)$ per $ chi<1 $
$bar(P)=epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r $
$ 0=\nabla * bar(D)!=chi/(1+chi)\nabla *bar(P)=-chi/(1+chi)rho_p $ essendo a questo punto $rho_p$ non nulla.
Non riesco proprio a capire l'errore. L'unica cosa che mi verrebbe da dire è che questo campo indotto si comporta esattamente come il campo di una distribuzione di carica libera e quindi non posso assumere la divergenza di $ bar(D) $ nulla.
"luc.mm":
Dunque passo per passo.
$bar(P)=epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r $
Bravissimo, i miei complimenti 
"luc.mm":
$ 0=\nabla * bar(D)!=chi/(1+chi)\nabla *bar(P)=-chi/(1+chi)rho_p $ essendo a questo punto $rho_p$ non nulla.
Non riesco proprio a capire l'errore.
Come ti dicevo, a questo punto, ricavi $\vec E$ affinchè la divergenza di $\vec D$ sia nulla come deve essere, non essendoci in giro cariche libere.
BTW posso sapere cosa stai studiando e dove? ... e ripeto ancora, COMPLIMENTI
Grazie mille, ma molte cose non mi tornano.
Allora divergenza di $ bar(D) $ nulla con $ bar(D)=epsilon_0 bar(E)+bar(P) $. Devo risolvere quindi $ E(r)+r(partial E(r))/(partial r)=-2 omega B chi/(1+chi) r $ ?
$ bar(E)=(A/r- omega B chi/(1+chi) r )bar(u)_r $ e questo campo sarebbe? Il campo totale $ bar(E)=bar(E)_i+bar(E)_(rho) $ ?
Ora $ \nabla * bar(D)=0 $ ma devono valere anche $ bar(P)=epsilon_0 chi bar(E) $ e $ bar(D)=epsilon_0 bar(E)+bar(P) $. Mi sembra di girare in tondo.
Senza contare che per $chi > 1 $ la sommatoria diverge.
Comunque studio ingegneria matematica al politecnico di Milano, ma frequento ben poco per motivi di tempo.
Grazie dell'aiuto.
Allora divergenza di $ bar(D) $ nulla con $ bar(D)=epsilon_0 bar(E)+bar(P) $. Devo risolvere quindi $ E(r)+r(partial E(r))/(partial r)=-2 omega B chi/(1+chi) r $ ?
$ bar(E)=(A/r- omega B chi/(1+chi) r )bar(u)_r $ e questo campo sarebbe? Il campo totale $ bar(E)=bar(E)_i+bar(E)_(rho) $ ?
Ora $ \nabla * bar(D)=0 $ ma devono valere anche $ bar(P)=epsilon_0 chi bar(E) $ e $ bar(D)=epsilon_0 bar(E)+bar(P) $. Mi sembra di girare in tondo.
Senza contare che per $chi > 1 $ la sommatoria diverge.
Comunque studio ingegneria matematica al politecnico di Milano, ma frequento ben poco per motivi di tempo.
Grazie dell'aiuto.
Scusa ma non capisco la parte destra di quella seconda riga.
Si ho fatto un passaggio inutile, ho ricavato il campo $bar(E) $ in modo da avere divergenza nulla.
$ \nabla * bar(D)=0 $ equivale a $ \nabla * bar(E)=rho_p/epsilon_0 $ essendo $ bar(D)=epsilon_0bar(E)+bar(P) $ equindi a quell'equazione differenziale.
Il punto è, supposta $ bar(P)=epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r $ come calcolato dal limite, devono valere le tre equazioni:
$ \nabla * bar(D)=0 $ perchè non c'è carica libera.
$ bar(D)=epsilon_0 bar(E) + bar(P) $ dalla definizione di induzione dielettrica.
$ bar(P)=epsilon_0 chi bar(E) $ perchè il dielettrico è lineare (e inoltre è omogeneo quindi $ chi $ è costante).
Dalle ultime due si ricava la relazione $ bar(D)=(chi+1)/chi bar(P) $
Che inserita nella prima è $ \nabla * bar(D)= (chi+1)/chi \nabla*P= (chi+1)/chi \nabla*(epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r)=epsilon_0 omega B \nabla*(rbar(u)_r)=2epsilon_0 omega B$ quindi le tre equazioni sono incompatibili. E' questo che non mi torna affatto. Una polarizzazione di quel tipo in un materiale lineare omogeneo implica per forza l'esistenza di carica libera, in contraddizione col fatto che non ne abbiamo.
$ \nabla * bar(D)=0 $ equivale a $ \nabla * bar(E)=rho_p/epsilon_0 $ essendo $ bar(D)=epsilon_0bar(E)+bar(P) $ equindi a quell'equazione differenziale.
Il punto è, supposta $ bar(P)=epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r $ come calcolato dal limite, devono valere le tre equazioni:
$ \nabla * bar(D)=0 $ perchè non c'è carica libera.
$ bar(D)=epsilon_0 bar(E) + bar(P) $ dalla definizione di induzione dielettrica.
$ bar(P)=epsilon_0 chi bar(E) $ perchè il dielettrico è lineare (e inoltre è omogeneo quindi $ chi $ è costante).
Dalle ultime due si ricava la relazione $ bar(D)=(chi+1)/chi bar(P) $
Che inserita nella prima è $ \nabla * bar(D)= (chi+1)/chi \nabla*P= (chi+1)/chi \nabla*(epsilon_0 chi/(1+chi) omega B r bar(u)_r)=epsilon_0 omega B \nabla*(rbar(u)_r)=2epsilon_0 omega B$ quindi le tre equazioni sono incompatibili. E' questo che non mi torna affatto. Una polarizzazione di quel tipo in un materiale lineare omogeneo implica per forza l'esistenza di carica libera, in contraddizione col fatto che non ne abbiamo.
"luc.mm":
... devono valere le tre equazioni:
$ \nabla * bar(D)=0 $ perchè non c'è carica libera.
Su questa non ci piove.
"luc.mm":
... $bar(D)=epsilon_0 bar(E) + bar(P) $ dalla definizione di induzione dielettrica.
Su questa nemmeno, e applicando l'operatore divergenza ad entrambi i membri possiamo ottenere il campo E
"luc.mm":
... $ bar(P)=epsilon_0 chi bar(E) $ perchè il dielettrico è lineare (e inoltre è omogeneo quindi $ chi $ è costante).
Questa no, la polarizzazione come abbiamo visto, non è dovuta al solo campo elettrico ma anche al campo magnetico.
Per cui l'equazione differenziale che ho scritto che impone divergenza nulla di $ bar(D) $ è un modo che ho di trovare il campo? Un'altro equivalente dovrebbe essere però calcolarlo come $ bar(E)=bar(E)_i+bar(E)_(rho) $ visto che ho la densità di carica, giusto? E consegentemente questo punto dovrebbe venire divergenza nulla di $ bar(D) $. Domani provo a fare i calcoli.
Si, a dire il vero, potremo far molto prima a ricavarci la polarizzazione a partire dalla
$\vec P=\epsilon_0 \chi (\vec E +\omega B r \hat u_r)$
usando la divergenza nulla di $\vec D$,
$\epsilon_0\vec E+\vec P=0$
dalle quali avremo molto, ma moltooooo più semplicemente ottenuto
$\vec P=\epsilon_0 \frac{\chi}{1+\chi} \omega B r \hat u_r$
BTW per quanto riguarda quel problema di convergenza del metodo precedente, che correttamente mi hai fatto notare e che non ricordavo ci fosse, forse è solo dovuto alla discretizzazione di quel metodo iterativo in quanto "fisicamente" non vedo come non possa esserci convergenza; ci devo pensare!
$\vec P=\epsilon_0 \chi (\vec E +\omega B r \hat u_r)$
usando la divergenza nulla di $\vec D$,
$\epsilon_0\vec E+\vec P=0$
dalle quali avremo molto, ma moltooooo più semplicemente ottenuto
$\vec P=\epsilon_0 \frac{\chi}{1+\chi} \omega B r \hat u_r$
BTW per quanto riguarda quel problema di convergenza del metodo precedente, che correttamente mi hai fatto notare e che non ricordavo ci fosse, forse è solo dovuto alla discretizzazione di quel metodo iterativo in quanto "fisicamente" non vedo come non possa esserci convergenza; ci devo pensare!
"RenzoDF":
usando la divergenza nulla di $\vec D$,
$\epsilon_0\vec E+\vec P=0$
Che $ bar(D) $ sia nullo come conseguenza di avere divergenza nulla è solo una delle possibili soluzioni di $ nabla* bar(D)=0 $, che sia proprio quella l'hai dedotto dal fatto che $ bar(D) $ ha una struttura simmetrica per la geometria del sistema di tipo $ bar(D)=D(r)bar(u)_r $, quindi dovendo avere flusso nullo attraverso una superficie chiusa di tipo cilindrico coassiale al cilindro è identicamente nullo (un pò come si fa nella sfera conduttrice per il campo all'interno)?
Però rimango perplesso sulla definizione $ bar(D)=epsilon_0bar(E) + bar(P) $ come mai non si deve includere il campo elettrico indotto? Pensavo che nelle equazioni di Maxwell e nelle relazioni costitutive $ bar(D)=epsilon_0bar(E) + bar(P) $ e $ bar(H)=bar(B)/(mu_0)-bar(M) $ i campi di cui si parlasse fossero quello elettrico totale e quello magnetico totale, ovvero generati da sorgenti stazionarie ma anche dalle variazioni temporali dei campi stessi.
Infine concludo che nella relazione $ bar(P)=epsilon_0 chi bar(E)=epsilon_0 chi (bar(E)_rho+bar(E)_i) $ io intendo sempre il campo elettrico che si misura in quel punto, che può essere dovuto a cariche fisse, di polarizzazione o a campi magnetici variabili (la somma di tutti in generale), lo stesso che pensavo fosse nella relazione $ bar(D)=epsilon_0bar(E) + bar(P)=epsilon_0(bar(E)_rho+bar(E)_i) + bar(P) $ per quello non capivo.
Grazie comunque della discussione.
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