Problema asta incernierata ad asse verticale in rotazione
Vi propongo l'ennesimo problema che purtroppo non sono riuscito a risolvere da solo, sperando che qualcuno di voi possa aiutarmi.
Il testo del problema è il seguente:
Un'asta omogenea di lunghezza $l$ e massa $m$ e dimensioni trasversali trascurabili, ha un'estremità incernierata senza attrito a un asse verticale attorno al quale ruota con velocità angolare costante $omega$ formando con esso un angolo $alpha$ costante. Si determini il valore di $alpha$ e il modulo della reazione vincolare $R$.
Il risultato è il seguente:
$alpha=arccos(3g/(2omega^2l)) $
$ R=mgsqrt(7/16+((omega^2l)/(2g))^2 ) $
Ho provato in diversi modi ma non ho capito quale è la giusta relazione da impostare per stabilire l'equilibrio.
Spero che qualcuno sappia aiutarmi.
Grazie anticipatamente
Redbaron990
Il testo del problema è il seguente:
Un'asta omogenea di lunghezza $l$ e massa $m$ e dimensioni trasversali trascurabili, ha un'estremità incernierata senza attrito a un asse verticale attorno al quale ruota con velocità angolare costante $omega$ formando con esso un angolo $alpha$ costante. Si determini il valore di $alpha$ e il modulo della reazione vincolare $R$.
Il risultato è il seguente:
$alpha=arccos(3g/(2omega^2l)) $
$ R=mgsqrt(7/16+((omega^2l)/(2g))^2 ) $
Ho provato in diversi modi ma non ho capito quale è la giusta relazione da impostare per stabilire l'equilibrio.
Spero che qualcuno sappia aiutarmi.
Grazie anticipatamente
Redbaron990
Risposte
Mettiti in un sistema di riferimento solidale con l'asta e scrivi l'equilibrio delle forze e dei momenti tenendo in conto anche delle forze apparenti ovviamente.
Ho già provato ma non riesco a farlo tornare.
Vediamo se ho fatto bene, allora l'unica forza apparente è quella data dall'accelerazione centrifuga che è diretta orizzontalmente e quindi perpendicolare alla forza peso.
La reazione del piolo a cui è incernierata dovrebbe essere nella stessa direzione dell'asta, oppure no?
Ora il mio dubbio è, si può considerare l'accelerazione centrifuga applicata al centro di massa oppure non essendo costante bisogna agire diversamente e fare qualche integrale?
Inoltre non ho capito un'altra cosa in questo caso il momento di inerzia dell'asta è sempre $1/3mr^2$ oppure considerando che non ruota su un piano orizzontale il momento di inerzia è diverso?
Se il ragionamento che ho fatto non è sbagliato(ma temo che lo sia perchè i risultati non mi tornano) in pratica la componente verticale della reazione dovrebbe andare ad equilibrare la forza peso poichè è l'unica altra forza che agisce lungo l'asse $y$
Ovviamente però non è così, cosa c'è che non va nel mio ragionamento?
Grazie
redbaron990
Vediamo se ho fatto bene, allora l'unica forza apparente è quella data dall'accelerazione centrifuga che è diretta orizzontalmente e quindi perpendicolare alla forza peso.
La reazione del piolo a cui è incernierata dovrebbe essere nella stessa direzione dell'asta, oppure no?
Ora il mio dubbio è, si può considerare l'accelerazione centrifuga applicata al centro di massa oppure non essendo costante bisogna agire diversamente e fare qualche integrale?
Inoltre non ho capito un'altra cosa in questo caso il momento di inerzia dell'asta è sempre $1/3mr^2$ oppure considerando che non ruota su un piano orizzontale il momento di inerzia è diverso?
Se il ragionamento che ho fatto non è sbagliato(ma temo che lo sia perchè i risultati non mi tornano) in pratica la componente verticale della reazione dovrebbe andare ad equilibrare la forza peso poichè è l'unica altra forza che agisce lungo l'asse $y$
Ovviamente però non è così, cosa c'è che non va nel mio ragionamento?
Grazie
redbaron990
Il momento di inerzia non ti serve.
Scrivi l'equilibrio dei momenti con polo nella cerniera per trovarti l'angolo di equilibrio.
Non sei sicuro se la forza centrifuga debba essere applicata nel centro di massa? ... be' fai l'integrale per calcolare il momento e vedrai se hai ragione.
Scrivi l'equilibrio dei momenti con polo nella cerniera per trovarti l'angolo di equilibrio.
Non sei sicuro se la forza centrifuga debba essere applicata nel centro di massa? ... be' fai l'integrale per calcolare il momento e vedrai se hai ragione.
Allora sono riuscito a calcolare l'angolo proprio come dicevi tu facendo l'integrale per trovare il momento della forza centrifuga eil risultato finalmente torna però mi sfugge una cosa a che punto è applicata questa forza centrifuga?
Cioè ora dovrei trovare la reazione del pernio (che ancora non ho capito in che direzione è orientata, è no la stessa dell'asta?) e quindi dovrei cambiare polo e vedere l'equilibrio in modo da avere la reazione come incognita però non capisco come devo fare, ho provato ma ottengo un$sin(arcos(alpha))$ e non so come rigirarlo cosa dovrei fare???
Se qualcuno ha voglia di spiegarmelo passo passo gli sarei molto grato
GRazie mille
Redbaron990
Cioè ora dovrei trovare la reazione del pernio (che ancora non ho capito in che direzione è orientata, è no la stessa dell'asta?) e quindi dovrei cambiare polo e vedere l'equilibrio in modo da avere la reazione come incognita però non capisco come devo fare, ho provato ma ottengo un$sin(arcos(alpha))$ e non so come rigirarlo cosa dovrei fare???
Se qualcuno ha voglia di spiegarmelo passo passo gli sarei molto grato
GRazie mille
Redbaron990
Se vuoi vedere la risultante delle forze centrifughe sull'asta dove è applicata basta che fai l'integrale di tale forze e calcolare la forza centrifuga totale, poi fai l'integrale dei momenti per calcolarti il momento totale rispetto per esempio alla cerniera. A questo punto la forza risultante sarà una forza pari al valore del primo integrale e applicata in un punto tale da fornire lo stesso momento del secondo integrale.
Per calcolare la reazione della cerniera la cosa più semplice è fare l'equilibrio delle forze orizzontali e verticali, quello dei momenti è già garantito grazie all'angolo che hai calcolato.
La reazione della cerniera è la forza che il vincolo esercita sull'asta per tenerla ferma, l'opposto e la forza che l'asta esercita sul vincolo ovviamente.
Per calcolare la reazione della cerniera la cosa più semplice è fare l'equilibrio delle forze orizzontali e verticali, quello dei momenti è già garantito grazie all'angolo che hai calcolato.
La reazione della cerniera è la forza che il vincolo esercita sull'asta per tenerla ferma, l'opposto e la forza che l'asta esercita sul vincolo ovviamente.
Faccio anch'io una domanda....
dalle formule sopra (le soluzioni) se metto $ omega = 0 $ risulta l'arcoseno di un infinito.... !!! ???
Anche la reazione vincolare a $ omega = 0 $ si dovrebbe ridurre a $ mg $, ma cosi' non e' dai risultati....
C'e' qualcosa che mi sfugge i risultati sono errati ?
dalle formule sopra (le soluzioni) se metto $ omega = 0 $ risulta l'arcoseno di un infinito.... !!! ???
Anche la reazione vincolare a $ omega = 0 $ si dovrebbe ridurre a $ mg $, ma cosi' non e' dai risultati....
C'e' qualcosa che mi sfugge i risultati sono errati ?
Quella formula vale solo se l'argomento dell' arcos è minore di uno altrimenti non esistono soluzioni, ciò significa che il sistema non ha una configurazione di equilibrio per quei valori, quindi non puoi ottenere la soluzione $alpha=0$ facendo tendere $omega$ a zero.
In altre parole se $omega$ è sotto un dato valore l'asta non rimane alzata (scusate il doppio senso non voluto.... o forse sì
) quindi non ci sono configurazioni di equilibrio in quella situazione.
D'altra parte la soluzione $alpha=0$ quando $omega=0$ è esclusa perché se fai i conti vedi che per ottenere quella formula di $alpha$ si è supposto $alpha$ diverso da zero, simili considerazioni valgono per l'altra formula....
In altre parole se $omega$ è sotto un dato valore l'asta non rimane alzata (scusate il doppio senso non voluto.... o forse sì
) quindi non ci sono configurazioni di equilibrio in quella situazione.D'altra parte la soluzione $alpha=0$ quando $omega=0$ è esclusa perché se fai i conti vedi che per ottenere quella formula di $alpha$ si è supposto $alpha$ diverso da zero, simili considerazioni valgono per l'altra formula....
Faussone Scusami ma io ancora non riesco a capire una cosa, secondo il ragionamento che fai tu (che mi torna perfettamente) la componente verticale della reazione deve essere uguale alla forza peso poichè questa è l'unica altra componente lungo l'asse y ma se così fosse vorrebbe anche dire che $R/cos(alpha)=2momega^2l/(3g)$ ma questo risultato non ha nulla a che vedere con quello riportato dal libro.
Inoltre continuo a non capire come faccio a trovare la componente orizzontale poichè ottengo che $Rx=Fcentrifuga$ e poi dovrei dividere il tutto per $sin(alpha) $ però mi ritrovo un'altra volta con la forma $sin(arcos)$ che non so come si risolve.
Puoi essere un pochino più chiaro sui passaggi che vanno fatti per arrivare alla soluzione??
Grazie mille
Redbaron990
Inoltre continuo a non capire come faccio a trovare la componente orizzontale poichè ottengo che $Rx=Fcentrifuga$ e poi dovrei dividere il tutto per $sin(alpha) $ però mi ritrovo un'altra volta con la forma $sin(arcos)$ che non so come si risolve.
Puoi essere un pochino più chiaro sui passaggi che vanno fatti per arrivare alla soluzione??
Grazie mille
Redbaron990
La componente verticale è quella che hai indicato. La componente orizzontale è data dal termine centrifugo, [tex]\int^l_0\frac{m}{l}\omega^2z\sin{\alpha}dz[/tex], dove [tex]z[/tex] è una coordinata scelta lungo la sbarra. Ricavare il modulo della reazione a questo punto non dovebbe essere difficile, e soprattutto niente implica che la reazione sia diretta lungo la sbarra.
Ciao, riapro il post perchè ho una domanda, anchio ho fatto un esercizio simile, inizialmente avevo pensato si potesse risolvere calcolando la posizione del centro di massa e studiando il moto di esso. Ma non tornava.
Perchè in questo caso non si puó? È sbagliato perchè il sistema non puó essere approssimato come puntiforme?
Grazie!
Perchè in questo caso non si puó? È sbagliato perchè il sistema non puó essere approssimato come puntiforme?
Grazie!
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