Problema 4.13 Dalba, Fornasini - Esercizi di fisica
Scusate ma non riesco proprio a risolvere questo apparentemente semplice problema. Una carrucola con due masse appoggiate su un tavolo in modo orizzontale.
Testo:
Due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ sono collegati da una fune avvolta intorno ad una puleggia. I corpi e la puleggia sono appoggiati su un piano orizzontale. Al centro della puleggia è applicata una forza costante orizzontale $F$. Considerando trascurabili le masse della fune e della puleggia nonché tutti gli attriti, si determini:
a) l'accelerazione $a_t$ della puleggia;
b) le accelerazioni delle due masse rispetto alla puleggia;
c) la tensione della fune.
Risultati:
a) $a_t=((m_1+m_2)F)/(4m_1m_2)$
b) $a'_1=-a'_2=((m_2-m_1)F)/(4m_1m_2)$
c) $T=F/2$
Ho provato ad applicare il secondo principio, considerando anche le accelerazioni assolute, relative e di trascinamento $a_a=a_r+a_t$. Però non ho trovato la soluzione. Ho molti dubbi sulla natura dei sistemi di riferimento da adottare e l'applicazione del secondo principio e le eventuali forze apparenti.
Grazie in anticipo per l'aiuto che vorrete darmi.
Testo:
Due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ sono collegati da una fune avvolta intorno ad una puleggia. I corpi e la puleggia sono appoggiati su un piano orizzontale. Al centro della puleggia è applicata una forza costante orizzontale $F$. Considerando trascurabili le masse della fune e della puleggia nonché tutti gli attriti, si determini:
a) l'accelerazione $a_t$ della puleggia;
b) le accelerazioni delle due masse rispetto alla puleggia;
c) la tensione della fune.
Risultati:
a) $a_t=((m_1+m_2)F)/(4m_1m_2)$
b) $a'_1=-a'_2=((m_2-m_1)F)/(4m_1m_2)$
c) $T=F/2$
Ho provato ad applicare il secondo principio, considerando anche le accelerazioni assolute, relative e di trascinamento $a_a=a_r+a_t$. Però non ho trovato la soluzione. Ho molti dubbi sulla natura dei sistemi di riferimento da adottare e l'applicazione del secondo principio e le eventuali forze apparenti.
Grazie in anticipo per l'aiuto che vorrete darmi.
Risposte
Intanto, applicando il 2° principio della dinamica e orientando l'asse orizzontale verso destra:
Inoltre, per quanto riguarda la relazione cinematica:
A questo punto, dopo aver risolto il sistema:
non resta che sfruttare le due ipotesi sottostanti:
ed esprimere le accelerazioni relative dei due corpi in funzione delle tre accelerazioni assolute (i risultati tornano).
$[m_pa_p=F-2T] ^^ [m_1a_1=T] ^^ [m_2a_2=T]$
Inoltre, per quanto riguarda la relazione cinematica:
$2a_p-a_1-a_2=0$
A questo punto, dopo aver risolto il sistema:
$[a_p=...] ^^ [a_1=...] ^^ [a_2=...] ^^ [T=...]$
non resta che sfruttare le due ipotesi sottostanti:
$[m_p/m_1 rarr 0] ^^ [m_p/m_2 rarr 0]$
ed esprimere le accelerazioni relative dei due corpi in funzione delle tre accelerazioni assolute (i risultati tornano).
Ciao Sergeant Elias, ho capito. Correggimi se sbaglio:
si inserisce per ipotesi l'esistenza della massa della puleggia e la corrispondente accelerazione, che è poi l'accelerazione di trascinamento che l'esercizio chiede di trovare. Risolte le quattro equazioni si fa tendere la stessa massa della puleggia a zero, così si trovano i risultati richiesti.
Giusto?
si inserisce per ipotesi l'esistenza della massa della puleggia e la corrispondente accelerazione, che è poi l'accelerazione di trascinamento che l'esercizio chiede di trovare. Risolte le quattro equazioni si fa tendere la stessa massa della puleggia a zero, così si trovano i risultati richiesti.
Giusto?
Con $m_p$ ho inteso la massa della puleggia. Inoltre, la relazione cinematica sintetizza il fatto che, poiché la lunghezza della fune è costante, le tre accelerazioni assolute non possono essere indipendenti.
Bravissimo, si ho capito! Grazie tante.
"antmerl":
... si fa tendere la stessa massa della puleggia a zero ...
A rigore, non essendo una grandezza fisica adimensionale, non è la massa della puleggia che si fa tendere a zero, piuttosto, i due rapporti che ho scritto nel mio primo messaggio.
Si, in effetti è vero. Grazie ancora
Però Sergeant, perché $2a_p$?
Scusa, azzardo un ragionamento: $ (a_p - a_1 ) = - ( a_p - a_2 ) $, quindi un'equivalenza fra le accelerazioni relative? Dato che $a_p$ è una accelerazione di trascinamento e $a_1$ e $a_2$ sono le accelerazioni assolute rispetto alle due masse?
Scusa, azzardo un ragionamento: $ (a_p - a_1 ) = - ( a_p - a_2 ) $, quindi un'equivalenza fra le accelerazioni relative? Dato che $a_p$ è una accelerazione di trascinamento e $a_1$ e $a_2$ sono le accelerazioni assolute rispetto alle due masse?
Devi procedere con le accelerazioni assolute:
Se consideri la lunghezza della fune costante, dovresti riuscire.
$s_p=1/2a_pt^2$
$s_1=1/2a_1t^2$
$s_2=1/2a_2t^2$
Se consideri la lunghezza della fune costante, dovresti riuscire.
Correggimi se sbaglio
$ 2s_p - s_1 -s_2 = 2l $ dove $2l$ è la lunghezza del filo inestensibile, derivando due volte la costante $2l$ si annulla e rimane l'equazione $ 2a_p -a_1 - a_2 = 0 $.
Corretto?
$ 2s_p - s_1 -s_2 = 2l $ dove $2l$ è la lunghezza del filo inestensibile, derivando due volte la costante $2l$ si annulla e rimane l'equazione $ 2a_p -a_1 - a_2 = 0 $.
Corretto?
La relazione corretta è quella sottostante:
Se fai mente locale, dovresti riuscire a comprenderne la logica.
$[2s_p+2l=s_1+s_2+2l] rarr [2s_p-s_1-s_2=0] rarr [2a_p-a_1-a_2=0]$
Se fai mente locale, dovresti riuscire a comprenderne la logica.
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