Probabilità congiunta di stato di elettrone

JimmyBrighy
Buongiorno :!:
Sto avenod un po' di difficoltà a capire un passaggio del seguente esercizio:
Ho un elettrone nello stato:
$ u(r)sin\theta((e^{+i\phi}),(e^{-i\phi}))$

E mi viene chiesto di trovare la distribuzione di probabilità congiunta per: $L^2,L_z,S_z$.

Ora, essendo un elettrone il suo spin sarà $\frac{1}{2}$ quindi $s_z=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$. Inoltre, scrivendo lo stato come:

$ |\psi> =u(r)sin\theta(e^{+i\phi}|\uparrow>+e^{-i\phi}|\downarrow>$


e calcolando le probabilità di trovare l'elettrone nello stato "up" oppure "down" trovo che $P(\uparrow)=|<\uparrow | \psi >|^2 =|<\downarrow | \psi >|^2=P(\downarrow)$ (scusate il layout).

Quindi ho uguale probabilità di trovare $s_z=-\frac{1}{2}$ e $s_z=\frac{1}{2}$, mi aspetto quindi di avere due combinazioni degli autovalori di $L^2,L_z,S_z$ con probabilità $1/2$ e tutte le altre con probabilità $0$.

Ora la parte che non capisco: l'eserciziario mi dice che per questo stato ho già un autovalore di $L^2$ fissato tale che $l=1$ (mi dice "fissato da $sin\theta$ ") e che quindi $l_z=-1,1$. Ho quindi 4 combinazioni di $l_z$ e $s_z$ e mi dice che quelle con probabilità non nulla sono:

$P(l_z, s_z)=P(1, \frac{1}{2})=P(-1,-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$

Non capisco innanzitutto perchè esattamente $l$ sarebbe fissato proprio a $1$ e perchè proprio le combinazioni a segni concordi abbiano probabilità non nulla, qualcuno mi può aiutare anche solo in una delle due?

Grazie mille in anticipo!

Risposte
Lampo1089
Perché per ciascun stato di spin la funzione d'onda è un autostato del momento angolare orbitale con l=1.

https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_de ... _con_l_=_1

JimmyBrighy
Okay, in effetti non ci avevo pensato abbastanza, la funzione d'onda separata in coordinate radiali e angolari e che quindi la parte angolare é un'armonica sferica, il fatto che ci sia $sen\theta$ mi dice che $l$ é sicuramente 1. Ma perché gli stati con probabilità non nulla non potrebbero essere ad esempio gli stati $(m=1, s_z=-\frac{1}{2})$ ?

Grazie comunque dell'aiuto!

Lampo1089
Se sz è - 1/2,in quale autostato di momento angolare orbitale lz si trova il sistema? Invece per sz=1/2?

JimmyBrighy
Potrei ragionare dicendo che la funzione d'onda per lo spin "up" con $s_z=1/2$ è proporzionale all'armonica sferica $Y_{1,1}$ e quindi gli stati con $l_z=1$ avranno sicuramente $s_z=1/2$, la stessa cosa vale per la componente di spin "down" della funzione d'onda. Il significato fisico però boh: vuol dire che se misuro $L_z$ allora sto univocamente determinando anche $S_z$? E se fosse così, sarebbe soltanto una particolarità di questa funzione d'onda o vale in generale dell'elettrone? Lo spin sicuramente commuta con tutte le componenti di $L$ ma non mi basta per dire che una misura di $L$ determina anche quella di $S$

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