Probabilità congiunta di stato di elettrone

[JimmyBrighy]

Buongiorno
Sto avenod un po' di difficoltà a capire un passaggio del seguente esercizio:
Ho un elettrone nello stato:

$ u(r)sin\theta((e^{+i\phi}),(e^{-i\phi}))$

E mi viene chiesto di trovare la distribuzione di probabilità congiunta per: $L^2,L_z,S_z$.

Ora, essendo un elettrone il suo spin sarà $\frac{1}{2}$ quindi $s_z=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$. Inoltre, scrivendo lo stato come:

$ |\psi> =u(r)sin\theta(e^{+i\phi}|\uparrow>+e^{-i\phi}|\downarrow>$

e calcolando le probabilità di trovare l'elettrone nello stato "up" oppure "down" trovo che $P(\uparrow)=|<\uparrow | \psi >|^2 =|<\downarrow | \psi >|^2=P(\downarrow)$ (scusate il layout).

Quindi ho uguale probabilità di trovare $s_z=-\frac{1}{2}$ e $s_z=\frac{1}{2}$, mi aspetto quindi di avere due combinazioni degli autovalori di $L^2,L_z,S_z$ con probabilità $1/2$ e tutte le altre con probabilità $0$.

Ora la parte che non capisco: l'eserciziario mi dice che per questo stato ho già un autovalore di $L^2$ fissato tale che $l=1$ (mi dice "fissato da $sin\theta$ ") e che quindi $l_z=-1,1$. Ho quindi 4 combinazioni di $l_z$ e $s_z$ e mi dice che quelle con probabilità non nulla sono:

$P(l_z, s_z)=P(1, \frac{1}{2})=P(-1,-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$

Non capisco innanzitutto perchè esattamente $l$ sarebbe fissato proprio a $1$ e perchè proprio le combinazioni a segni concordi abbiano probabilità non nulla, qualcuno mi può aiutare anche solo in una delle due?

Grazie mille in anticipo!

[Lampo1089]

Perché per ciascun stato di spin la funzione d'onda è un autostato del momento angolare orbitale con l=1.

https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_de ... _con_l_=_1

[JimmyBrighy]

Okay, in effetti non ci avevo pensato abbastanza, la funzione d'onda separata in coordinate radiali e angolari e che quindi la parte angolare é un'armonica sferica, il fatto che ci sia $sen\theta$ mi dice che $l$ é sicuramente 1. Ma perché gli stati con probabilità non nulla non potrebbero essere ad esempio gli stati $(m=1, s_z=-\frac{1}{2})$ ?

Grazie comunque dell'aiuto!

[Lampo1089]

Se sz è - 1/2,in quale autostato di momento angolare orbitale lz si trova il sistema? Invece per sz=1/2?

[JimmyBrighy]

Potrei ragionare dicendo che la funzione d'onda per lo spin "up" con $s_z=1/2$ è proporzionale all'armonica sferica $Y_{1,1}$ e quindi gli stati con $l_z=1$ avranno sicuramente $s_z=1/2$, la stessa cosa vale per la componente di spin "down" della funzione d'onda. Il significato fisico però boh: vuol dire che se misuro $L_z$ allora sto univocamente determinando anche $S_z$? E se fosse così, sarebbe soltanto una particolarità di questa funzione d'onda o vale in generale dell'elettrone? Lo spin sicuramente commuta con tutte le componenti di $L$ ma non mi basta per dire che una misura di $L$ determina anche quella di $S$