Principio di sovrapposizione e campi elettrostatici
Sfruttando il principio di sovrapposizione è possibile esprimere il campo elettrostatico prodotto da una distribuzione continua mediante un integrale definito. La scelta dell'ordine degli estremi di integrazione determina il segno del risultato! Fissato il segno della carica come si fa a scegliere opportunamente l'ordine degli estremi di integrazione in modo da ottenere compatibilità con il verso del campo (entrante o uscente)?
Risposte
Ci faresti un esempio?
Ciao.
Stai intendendo un integrale di volume con densità volumetrica e vuoi sapere il verso del campo?
O un integrale di superficie?
Stai intendendo un integrale di volume con densità volumetrica e vuoi sapere il verso del campo?
O un integrale di superficie?
Ad esempio nel calcolo del campo elettrostatico generato da un anello uniformemente carico lungo il suo asse (z), in un punto P:
$ E_z(P)=\intdE_z=\int_{0}^{2\pi} \frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\d\alpha=\frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\int_{0}^{2\pi}d\alpha=\frac{\lamdaacos\theta}{2\epsilon_0r^2} $
dove $a$ è il raggio, $\theta$ l'angolo formato dalla congiungente la carica infinitesima con il punto P e l'asse e $r$ la distanza tra carica infinitesima e il punto P.
Se invece scambio estremi di integrazione ottengo l'opposto del risultato appena ottenuto:
$ E_z(P)=\intdE_z=\int_{2\pi}^{0} \frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\d\alpha=\frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\int_{2\pi}^{0}d\alpha=-\frac{\lamdaacos\theta}{2\epsilon_0r^2} $
Quello che mi chiedevo e se esistesse una regola per stabilire l'ordine degli estremi di integrazione in modo da ottenere compatibilità con il verso del campo.
$ E_z(P)=\intdE_z=\int_{0}^{2\pi} \frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\d\alpha=\frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\int_{0}^{2\pi}d\alpha=\frac{\lamdaacos\theta}{2\epsilon_0r^2} $
dove $a$ è il raggio, $\theta$ l'angolo formato dalla congiungente la carica infinitesima con il punto P e l'asse e $r$ la distanza tra carica infinitesima e il punto P.
Se invece scambio estremi di integrazione ottengo l'opposto del risultato appena ottenuto:
$ E_z(P)=\intdE_z=\int_{2\pi}^{0} \frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\d\alpha=\frac{\lamdaacos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}\int_{2\pi}^{0}d\alpha=-\frac{\lamdaacos\theta}{2\epsilon_0r^2} $
Quello che mi chiedevo e se esistesse una regola per stabilire l'ordine degli estremi di integrazione in modo da ottenere compatibilità con il verso del campo.
Senso antiorario viene scelto positivo,
Come vedi integri su $2pi$ stai percorrendo una circonferenza nei due sensi
Come vedi integri su $2pi$ stai percorrendo una circonferenza nei due sensi
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