Principio di conservazione energia piano inclinato
Ragazzi ho un dubbio..
Un punto materiale di massa m parte da fermo dal punto più alto di un piano inclinato scabro (coefficiente d’attrito μd1), alto h e con angolo θ rispetto all’orizzontale. Dopo il piano inclinato, m percorre un tratto rettilineo privo di attrito, al termine del quale è posizionata una molla (a riposo) di costante elastica k. Il tratto di piano dove è poggiata la molla è senza attrito. Calcolare la compressione della molla.
Calcolare successivamente l’altezza massima rispetto al suolo raggiunta da m sul piano inclinato, quando torna indietro grazie alla spinta della molla.
In pratica inizialmente mi ero mosso applicando il principio di conservazione nel tratto che riguarda il piano inclinato tenendo conto che ci sta anche la forza di attrito quindi
$Eci=Epot-La$
energia cinetica= energia pot- lavoro dell attrito.
Essendoci il tratto rettilineo però qualcosa non mi convince..
La velocita quindi va calcolata attraverso il moto un. accelerato o come ho calcolato io ?
e nel tratto rettilineo?
Un punto materiale di massa m parte da fermo dal punto più alto di un piano inclinato scabro (coefficiente d’attrito μd1), alto h e con angolo θ rispetto all’orizzontale. Dopo il piano inclinato, m percorre un tratto rettilineo privo di attrito, al termine del quale è posizionata una molla (a riposo) di costante elastica k. Il tratto di piano dove è poggiata la molla è senza attrito. Calcolare la compressione della molla.
Calcolare successivamente l’altezza massima rispetto al suolo raggiunta da m sul piano inclinato, quando torna indietro grazie alla spinta della molla.
In pratica inizialmente mi ero mosso applicando il principio di conservazione nel tratto che riguarda il piano inclinato tenendo conto che ci sta anche la forza di attrito quindi
$Eci=Epot-La$
energia cinetica= energia pot- lavoro dell attrito.
Essendoci il tratto rettilineo però qualcosa non mi convince..
La velocita quindi va calcolata attraverso il moto un. accelerato o come ho calcolato io ?
e nel tratto rettilineo?
Risposte
Puoi seguire la via che hai intrapreso, cioè ragionando sulle variazioni di energia potenziale e cinetica , come segue .
All'inizio , hai solo energia potenziale :
$E_(p,i) = mgh$
nella discesa , questa energia deve fornire sia l'energia persa come lavoro della forza di attrito che la variazione di energia cinetica , quindi l'energia cinetica finale sarà data da :
$E_(p,i) = E_(k,f) + L_a$ , ovvero :
$E_(k,f) = E_(p,i) - L_a$
il piano inclinato è lungo $l = h/(sen\theta) $ , quindi il lavoro della forza di attrito (diretta in senso contrario al moto) è, in valore assoluto :
$L_a = \mu*mgcos\theta *h/(sen\theta) = \mu*mgh *ctg\theta$
sostituendo hai l'energia cinetica finale, cioè quando $m$ arriva sul piano orizzontale : $ 1/2mv^2 = mgh ( 1- \mu*ctg\theta)$
Sul piano orizzontale non c'è alcuna variazione di energia , né cinetica né potenziale, perché il piano è liscio. Quindi $m$ colpisce la molla e la comprime, e qui non è difficile calcolare la compressione della molla, poiché tutta l'energia cinetica calcolata prima si trasforma in energia elastica, non ti scrivo neanche la formula
Alla fine della compressione, la molla restituisce tutta l'energia alla massa , supponendo la compressione senza perdita di energia, perciò la massa torna indietro e arriva alla base del piano con la stessa velocità che aveva prima, ma diretta in verso opposto.
Ora quindi risale sul piano, ma stavolta è l'energia cinetica iniziale che deve fornire sia l'energia persa come lavoro di attrito che la variazione di energia potenziale . Perciò la massa risale fino ad un'altezza $h'$ , che deve risultare inferiore ad $h$ , tenendo presente che ora la forza di attrito è diretta in verso opposto a quello che aveva prima.
Non ti scrivo i passaggi , altrimenti tu non fai niente ... Ti dico solo che alla fine devi avere :
$h' = h * (1-\mu*ctg\theta)/(1+\mu*ctg\theta) $
All'inizio , hai solo energia potenziale :
$E_(p,i) = mgh$
nella discesa , questa energia deve fornire sia l'energia persa come lavoro della forza di attrito che la variazione di energia cinetica , quindi l'energia cinetica finale sarà data da :
$E_(p,i) = E_(k,f) + L_a$ , ovvero :
$E_(k,f) = E_(p,i) - L_a$
il piano inclinato è lungo $l = h/(sen\theta) $ , quindi il lavoro della forza di attrito (diretta in senso contrario al moto) è, in valore assoluto :
$L_a = \mu*mgcos\theta *h/(sen\theta) = \mu*mgh *ctg\theta$
sostituendo hai l'energia cinetica finale, cioè quando $m$ arriva sul piano orizzontale : $ 1/2mv^2 = mgh ( 1- \mu*ctg\theta)$
Sul piano orizzontale non c'è alcuna variazione di energia , né cinetica né potenziale, perché il piano è liscio. Quindi $m$ colpisce la molla e la comprime, e qui non è difficile calcolare la compressione della molla, poiché tutta l'energia cinetica calcolata prima si trasforma in energia elastica, non ti scrivo neanche la formula
Alla fine della compressione, la molla restituisce tutta l'energia alla massa , supponendo la compressione senza perdita di energia, perciò la massa torna indietro e arriva alla base del piano con la stessa velocità che aveva prima, ma diretta in verso opposto.
Ora quindi risale sul piano, ma stavolta è l'energia cinetica iniziale che deve fornire sia l'energia persa come lavoro di attrito che la variazione di energia potenziale . Perciò la massa risale fino ad un'altezza $h'$ , che deve risultare inferiore ad $h$ , tenendo presente che ora la forza di attrito è diretta in verso opposto a quello che aveva prima.
Non ti scrivo i passaggi , altrimenti tu non fai niente ...
Ti dico solo che alla fine devi avere : $h' = h * (1-\mu*ctg\theta)/(1+\mu*ctg\theta) $
La stessa cosa non potrebbe essere calcolare l'accellerazione
$g(senalpha - mucosalpha)$ ed inserire nella relazione
$V^2=2as$
e ricavata $v$ la inserisco in $1/2mv^2=1/2kx^2$ ?
$g(senalpha - mucosalpha)$ ed inserire nella relazione
$V^2=2as$
e ricavata $v$ la inserisco in $1/2mv^2=1/2kx^2$ ?
Certamente il problema si può risolvere anche applicando le leggi del moto uniformemente accelerato (una sola "l" ). Quella che hai scritto è la componente dell''accelerazione nella fase di discesa , che consente di calcolare la velocità finale e quindi l'en.cinetica finale, conoscendo la lunghezza del piano inclinato.
E poi, durante la seconda parte , qual è l'accelerazione quando il corpo sale, e dove si ferma ?
Non dimentichiamoci mai che queste quantità : spostamenti, velocità , accelerazioni, forze , sono quantità vettoriali , e che per prima cosa le equazioni andrebbero scritte in forma vettoriale, poi vanno proiettate su un asse opportuno .
Per esempio, nella seconda fase io orienterei positivamente l'asse $x$ dalla base verso la sommità del piano inclinato , e poi direi che :
$vecv = vecv_0 + veca*t$
$ vecs =vecv_0t + 1/2veca*t^2$
infine proietterei tali equazioni sull'asse $x$ detto .
E poi, durante la seconda parte , qual è l'accelerazione quando il corpo sale, e dove si ferma ?
Non dimentichiamoci mai che queste quantità : spostamenti, velocità , accelerazioni, forze , sono quantità vettoriali , e che per prima cosa le equazioni andrebbero scritte in forma vettoriale, poi vanno proiettate su un asse opportuno .
Per esempio, nella seconda fase io orienterei positivamente l'asse $x$ dalla base verso la sommità del piano inclinato , e poi direi che :
$vecv = vecv_0 + veca*t$
$ vecs =vecv_0t + 1/2veca*t^2$
infine proietterei tali equazioni sull'asse $x$ detto .
Si grazie mille mi trovo...
ultimi dubbi
"Sul piano orizzontale non c'è alcuna variazione di energia , né cinetica né potenziale, perché il piano è liscio. "
energia potenziale mi trovo che non ci sta .. ma la cinetica sarebbe quella acquistata durante la discesa ?
e cosa centra il piano inclinato che è liscio con il fatto che non ci sta energia?
ultimi dubbi
"Sul piano orizzontale non c'è alcuna variazione di energia , né cinetica né potenziale, perché il piano è liscio. "
energia potenziale mi trovo che non ci sta .. ma la cinetica sarebbe quella acquistata durante la discesa ?
e cosa centra il piano inclinato che è liscio con il fatto che non ci sta energia?
"guido fonzo":
Si grazie mille mi trovo...
diciamo che cosa trovi . Trovi che nella seconda fase la componente dell'accelerazione sul piano inclinato è data da
$a = - ( gsen\alpha + \mugcos\alpha)$
cioè i due vettori sono entrambi rivolti verso il basso, e avendo assunto l'asse $x$ positivo verso l'alto la componente detta di $veca$ è negativa. Comunemente la chiamiamo "decelerazione' . Allora si ha , proiettando tutti i vettori sull'asse $x$ :
$v = v_0 - ( gsen\alpha + \mugcos\alpha)*t $
da cui trovi l'istante di arresto ponendo $ v = 0$ . Noto tale istante , lo sostituisci in :
$s' = v_0t -1/2 ( gsen\alpha + \mugcos\alpha) *t^2 $
e trovi lo spazio $s'$ percorso fino all'arresto .
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"Sul piano orizzontale non c'è alcuna variazione di energia , né cinetica né potenziale, perché il piano è liscio. "
energia potenziale mi trovo che non ci sta .. ma la cinetica sarebbe quella acquistata durante la discesa ?
Si , certo . Naturalmente trascuriamo il brusco cambiamento di direzione del vettore $vecv$
e cosa centra il piano inclinato che è liscio con il fatto che non ci sta energia?
non è quello inclinato che è liscio, ma quello orizzontale . Essendo liscio, non c'è lavoro di attrito, quindi l'energia cinetica non cambia. Non c'è variazione di energia cinetica.
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