Primo teorema di Konig
nella dimostrazione del primo teorema di konig mi sono imbattuto in tale affermazione:
"... esaminiamo in dettaglio le quattro sommatorie:
$\sum_{i}r'_i^^m_i v'_i+\sum_{i}r'_i^^m_i v_{CM}+\sum_{i}r_{CM}^^m_i v'_i+\sum_{i}r_{CM}^^m_i v_{CM}$
Il primo termine rappresenta il momento angolare rispetto al centro di massa; l'ultimo termine il momento angolare rispetto all'origine del sistema inerziale, di un punto che ha una massa totale pari a quella del sistema, coincide con il centro di massa e ha velocità dello stesso. Il secondo e il terzo termine, infine, sono nulli, avendo detto in precedenza che:
$\sum_{i}m_ir_i=0;\sum_{i}m_iv_i=0;$"
"... esaminiamo in dettaglio le quattro sommatorie:
$\sum_{i}r'_i^^m_i v'_i+\sum_{i}r'_i^^m_i v_{CM}+\sum_{i}r_{CM}^^m_i v'_i+\sum_{i}r_{CM}^^m_i v_{CM}$
Il primo termine rappresenta il momento angolare rispetto al centro di massa; l'ultimo termine il momento angolare rispetto all'origine del sistema inerziale, di un punto che ha una massa totale pari a quella del sistema, coincide con il centro di massa e ha velocità dello stesso. Il secondo e il terzo termine, infine, sono nulli, avendo detto in precedenza che:
$\sum_{i}m_ir_i=0;\sum_{i}m_iv_i=0;$"
Risposte
Il secondo termine dovrebbe potersi riscrivere come
$\sum_{i}r'_i^^m_i v_{CM}=\sum_{i}r'_i m_i^^v_{CM}=M r'_{CM}^^v_{CM}$
che è zero perchè $r'_{CM}$ è zero, essendo la posizione del centro di massa calcolata proprio nel sist di riferimento del centro di massa
Il terzo termine dovrebbe potersi riscrivere come
$\sum_{i}r_{CM}^^m_i v'_i=r_{CM}^^\sum_{i}m_i v'_i=r_{CM}^^\sum_{i}p'_i$
che è zero perchè $sum_{i}p'_i$ è la quantità di moto totale del sistema calcolata nel sist di riferimento del centro di massa, nel quale è prorpio zero.
$\sum_{i}r'_i^^m_i v_{CM}=\sum_{i}r'_i m_i^^v_{CM}=M r'_{CM}^^v_{CM}$
che è zero perchè $r'_{CM}$ è zero, essendo la posizione del centro di massa calcolata proprio nel sist di riferimento del centro di massa
Il terzo termine dovrebbe potersi riscrivere come
$\sum_{i}r_{CM}^^m_i v'_i=r_{CM}^^\sum_{i}m_i v'_i=r_{CM}^^\sum_{i}p'_i$
che è zero perchè $sum_{i}p'_i$ è la quantità di moto totale del sistema calcolata nel sist di riferimento del centro di massa, nel quale è prorpio zero.
e il primo non potrebbe essere anch'esso scritto come:
$\sum_{i}r'_im_i^^v_{i}$ dove $Mr'_{CM}^^v_i$ è nullo perchè la posizione del centro di massa è calcolata rispetto al centro di massa?
$\sum_{i}r'_im_i^^v_{i}$ dove $Mr'_{CM}^^v_i$ è nullo perchè la posizione del centro di massa è calcolata rispetto al centro di massa?
No perchè c'è il $v_i$ (credo che debba essere un $v'_i$, prova a controllare) , mentre negli altri due casi c'erano o il $v_{CM}$ o il $r_{CM}$, termini costanti che comparivano in tutti i termini della sommatoria e che potevano essere raccolti. Con le parentesi forse è più chiaro
$\sum_{i}(r'_i^^m_i v_{CM})=\sum_{i}(r'_im_i^^ v_{CM})=(\sum_{i}r'_i m_i)^^v_{CM}=M r'_{CM}^^v_{CM}$
$\sum_{i}(r_{CM}^^m_i v'_i)=\sum_{i}(r_{CM}m_i^^v'_i)=r_{CM}^^(\sum_{i}m_i v'_i)=r_{CM}^^\sum_{i}p'_i$
Osservazione: oltre a mettere le parentesi ho aggiunto un passaggio che prima non avevo riportato, cioè quello in cui si sposta lo scalare $m_i$ dal secondo al primo vettore
$\sum_{i}(r'_i^^m_i v_{CM})=\sum_{i}(r'_im_i^^ v_{CM})=(\sum_{i}r'_i m_i)^^v_{CM}=M r'_{CM}^^v_{CM}$
$\sum_{i}(r_{CM}^^m_i v'_i)=\sum_{i}(r_{CM}m_i^^v'_i)=r_{CM}^^(\sum_{i}m_i v'_i)=r_{CM}^^\sum_{i}p'_i$
Osservazione: oltre a mettere le parentesi ho aggiunto un passaggio che prima non avevo riportato, cioè quello in cui si sposta lo scalare $m_i$ dal secondo al primo vettore
ma come fai a stabilire che la velocità del centro di massa è costante? non potrebbe esserci un moto accelerato?
Non è detto che sia costante nel tempo, ma compare uguale in tutti i termini della sommatoria, quindi posso fare il raccoglimento.
e se volessi calcolare il momento angolare di un razzo in rotazione (es. salita elicoidale) calcolato rispetto non al centro di massa come dovrei fare?
non posso più andare a raccogliere lo scalare $m_i$ esatto?
ho fatto questo esempio in quanto la massa varia sensibilmente (consumo carburante)...
ps.: l'esempio non deriva da nessun esercizio, è solo una mia curiosità (facendo il sottoscritto ingegneria aerosp.)
non posso più andare a raccogliere lo scalare $m_i$ esatto?
ho fatto questo esempio in quanto la massa varia sensibilmente (consumo carburante)...
ps.: l'esempio non deriva da nessun esercizio, è solo una mia curiosità (facendo il sottoscritto ingegneria aerosp.)
Potreste dimostrare il secondo perpiacere ?
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