Precessione
Il fatto che la forza peso provochi un momento torcente che altera la direzione del momento angolare mi è chiaro,
non capisco però, che cosa sostituisca la forza che nel primo riquadro è esercitata dalla mano, e che permette al tutto di non cadere verso il basso.
Risposte
Bhe scusami ma avevo letto male un passaggio:
Qui avresti dovuto scrivere $ d/(dt)(\vec(omega))=\dot(vec(omega)) + vec(Omega)\times(\vec(omega))=\vec(P) \times \vec(L)$
In quanto le due velocità angolari, quella del corpo rigido e quella del sistema di riferimento da te scelto, rispetto al sistema di riferimento fisso e indipendentemente dal sistema di riferimento adottato su cui proiettarne le componenti, non sono uguali.
Il sistema di riferimento da te scelto nello scrivere le componenti dei vettori presenti nelle equazioni è effetivamente quello solidale al corpo rigido (visto che incosapevolmente hai posto $Omega=omega$), non quello che hai descritto, quindi i risultati che hai ottenuto li hai interpretati male.
"Faussone":
Scrivendo l'equazione di bilancio del momento di quantità di moto in forma vettoriale rispetto al sistema di riferimento scelto, si ha
$ d/(dt)(\vec(omega))=\dot(vec(omega)) + vec(omega)\times(\vec(omega))=\vec(P) \times \vec(L)$
Qui avresti dovuto scrivere $ d/(dt)(\vec(omega))=\dot(vec(omega)) + vec(Omega)\times(\vec(omega))=\vec(P) \times \vec(L)$
In quanto le due velocità angolari, quella del corpo rigido e quella del sistema di riferimento da te scelto, rispetto al sistema di riferimento fisso e indipendentemente dal sistema di riferimento adottato su cui proiettarne le componenti, non sono uguali.
Il sistema di riferimento da te scelto nello scrivere le componenti dei vettori presenti nelle equazioni è effetivamente quello solidale al corpo rigido (visto che incosapevolmente hai posto $Omega=omega$), non quello che hai descritto, quindi i risultati che hai ottenuto li hai interpretati male.
Non mi pare sia così, comunque controllerò.
EDIT
Avevo scritto di aver commesso un errore nell'esprimere il momento del peso, ho ricontrollato e devo dire che invece mi torna quello che ho scritto e lo confermo.
EDIT
Avevo scritto di aver commesso un errore nell'esprimere il momento del peso, ho ricontrollato e devo dire che invece mi torna quello che ho scritto e lo confermo.
"sonoqui_":
Qui avresti dovuto scrivere $ d/(dt)(\vec(omega))=\dot(vec(omega)) + vec(Omega)\times(\vec(omega))=\vec(P) \times \vec(L)$
In quanto le due velocità angolari, quella del corpo rigido e quella del sistema di riferimento da te scelto, rispetto al sistema di riferimento fisso e indipendentemente dal sistema di riferimento adottato su cui proiettarne le componenti, non sono uguali.
Non ci sono velocità angolari diverse da distinguere: per me $vec omega$ è il vettore velocità angolare della ruota, scritto nel riferimento che ho scelto. Quando integro le equazioni ovviamente otterrò delle rotazioni in termini di angoli in quel particolare riferimento.
Hai scritto di aver ricavato le componenti del momento angolare rispetto al sistema di riferimento da te scelto, sistema in cui evvettivamente, data la simmetria assiale della matrice di inerzia, questa è costante, così come lo è nel sistema di riferimento solidale al corpo rigido.
Da qui hai fatto la derivata assoluta rispetto al tempo di tale vettore, che risulta essere la derivata relativa $sigma_r(O) dot vec omega$ più il contributo dovuto al fatto che il vettore $sigma_r(O) vec omega$ è il momento angolare del corpo rigido rispetto al sistema di riferimento fisso espresso in coordinate del sistema di riferimento relativo, cioè nelle coordinate di un sistema di riferimento non fisso, con velocità angolare $vec Omega$: $vec Omega times sigma_r (O) vec omega$.
Il sistema di riferimento relativo, quello rispetto a cui hai espresso le componenti del vettore $sigma_(f) (O,t) vec omega$, ha una velocità angolare diversa rispetto a quella del sistema di riferimento solidale al corpo rigido rispetto a quello fisso, che è appunto $vec omega$.
$sigma_(r) (O)$ è la matrice di inerzia rispetto al sistema di riferimento relativo, che è uguale a quella del sistema di riferimento solidale, data la simetria assiale e la scelta del sistema di riferimento
$sigma_(f) (O,t)$ è la matrice di inerzia rispetto al sistema di riferimento assoluto, che dipende dal tempo in quanto il corpo rigido è in movimento rispetto a tale sistema di riferimento e non manitiene una certa simmetria come in quello relativo.
No a quanto ho capito tu hai calcolata la derivata del vettore momento angolare nel sistema di riferimento relativo e non so se va bene.
Ad ogni mdo il vettore $omega$ è la velocità angolare del corpo rigido rispetto al sistema di riferimento fisso non rispetto al sistema di riferimento relativo. Stando a quanto hai detto il sistema i riferimento rispetto al quale hai descritto il moto è quello fisso inerziale, anche se le componenti dei vettori le esprimi in quello relativo.
Da qui hai fatto la derivata assoluta rispetto al tempo di tale vettore, che risulta essere la derivata relativa $sigma_r(O) dot vec omega$ più il contributo dovuto al fatto che il vettore $sigma_r(O) vec omega$ è il momento angolare del corpo rigido rispetto al sistema di riferimento fisso espresso in coordinate del sistema di riferimento relativo, cioè nelle coordinate di un sistema di riferimento non fisso, con velocità angolare $vec Omega$: $vec Omega times sigma_r (O) vec omega$.
Il sistema di riferimento relativo, quello rispetto a cui hai espresso le componenti del vettore $sigma_(f) (O,t) vec omega$, ha una velocità angolare diversa rispetto a quella del sistema di riferimento solidale al corpo rigido rispetto a quello fisso, che è appunto $vec omega$.
$sigma_(r) (O)$ è la matrice di inerzia rispetto al sistema di riferimento relativo, che è uguale a quella del sistema di riferimento solidale, data la simetria assiale e la scelta del sistema di riferimento
$sigma_(f) (O,t)$ è la matrice di inerzia rispetto al sistema di riferimento assoluto, che dipende dal tempo in quanto il corpo rigido è in movimento rispetto a tale sistema di riferimento e non manitiene una certa simmetria come in quello relativo.
No a quanto ho capito tu hai calcolata la derivata del vettore momento angolare nel sistema di riferimento relativo e non so se va bene.
Ad ogni mdo il vettore $omega$ è la velocità angolare del corpo rigido rispetto al sistema di riferimento fisso non rispetto al sistema di riferimento relativo. Stando a quanto hai detto il sistema i riferimento rispetto al quale hai descritto il moto è quello fisso inerziale, anche se le componenti dei vettori le esprimi in quello relativo.
Ok, ho capito quello che intendi ora.
Una cosa però: se le cose stanno così non avrei interpretato male i risultati perché quei risultati non sarebbero interpretabili ma sarebbero da buttare perché il momento del peso nel sistema solidale al corpo non sarebbe quello che ho scritto (per quello avevo preferito non lavorare nel sistema solidale).
Credo che comunque correggendo le cose si otterrebbe un sistema simile, ma più semplice di quello che ho scritto.
Adesso non ho tempo quando riesco ci ragiono e in caso correggo le equazioni e i grafici.
Grazie per l'osservazione!
PS: Accidenti, questo significa che nessuno prima di te aveva avuto voglia di controllare quanto avevo scritto, forse ho uno stile di scrittura un po' noioso...
Una cosa però: se le cose stanno così non avrei interpretato male i risultati perché quei risultati non sarebbero interpretabili ma sarebbero da buttare perché il momento del peso nel sistema solidale al corpo non sarebbe quello che ho scritto (per quello avevo preferito non lavorare nel sistema solidale).
Credo che comunque correggendo le cose si otterrebbe un sistema simile, ma più semplice di quello che ho scritto.
Adesso non ho tempo quando riesco ci ragiono e in caso correggo le equazioni e i grafici.
Grazie per l'osservazione!
PS: Accidenti, questo significa che nessuno prima di te aveva avuto voglia di controllare quanto avevo scritto, forse ho uno stile di scrittura un po' noioso...
Deve essere per il modo di scrivere le equazioni e nella scelta dei sistemi di riferimento su cui proiettare le coordinate dei vettori.
Normalmente se si adotta un sistema di riferimento nel quale studiare il moto i vettori si proiettano sugli assi di questo stesso sistema di riferimento e quando si calcola la derivata del momento angolare la si calcola rispetto a questo sistema di riferimento. Non so se la seconda equazione cardinale risulterebbe valida anche scegliendone uno diverso in cui fare la derivata e in cui esprimere il momento angolare, ma direi di no, visto che il passaggio da uun sistema all'altro per la derivata prevede la moltiplicazione vettoriale mentre per un vettore, quale ad esempio il momento angolare, è prevista solo una rotazione.
Questo per non avere troppe complicazioni
Normalmente se si adotta un sistema di riferimento nel quale studiare il moto i vettori si proiettano sugli assi di questo stesso sistema di riferimento e quando si calcola la derivata del momento angolare la si calcola rispetto a questo sistema di riferimento. Non so se la seconda equazione cardinale risulterebbe valida anche scegliendone uno diverso in cui fare la derivata e in cui esprimere il momento angolare, ma direi di no, visto che il passaggio da uun sistema all'altro per la derivata prevede la moltiplicazione vettoriale mentre per un vettore, quale ad esempio il momento angolare, è prevista solo una rotazione.
Questo per non avere troppe complicazioni
Ho corretto le equazioni e i grafici, adesso mi pare corretto, i grafici dal punto di vista qualitativo non sono cambiati di molto (infatti venendo una soluzione ragionevole mi era sfuggito l'errore notato da sonoqui_).
C'è qualcosa che ancora non mi quadra e che vorrei mettere in chiaro prima di passare a ricorreggere i grafici, in modo che non sia necessario farlo nuovamente, anche perchè penso che ti prenda un po' di tempo.
Si vuole esprimere questa equazione:
$vecM_f(O)=d/dt (vec K_f(O))=d/dt(sigma_f(O,t) vec omega)$
Con $f$ indico il sistema fisso e con $r$ il sistema relativo, cioè indico che le coordinate di vettori e matrici sono espressi nel dato sistema di riferimento. O meglio per le matrici indico che l'applicazione è espressa nel dato sistema di coordinate. (quello fisso in questo caso è quello inerziale con origine nella cerniera, mentre quello relativo è quello scelto).
Visto che non ci piace questa equazione espressa in questa maniera, perchè $sigma_f(O,t)$ non è una matrice costante cerchiamo un sistema di riferimento in cui lo sia, che potrebbe essere semplicemente quello solidale al corpo rigido, ma che in questo caso è differente.
Abbiamo che il legame tra velocità angolare e momento angolare può essere espresso come $vecK_f(O)=sigma_f(O,t)vecomega_f$ o anche nel sistema di riferimento relativo $vecK_r(O)=sigma_r(O)vecomega_r$. Per semplicità si può trovare una condizione per cui la matrice oltre ad essere costante è anche diagonale, in base alla scelta del sistema di riferimento relativo. La matrice in questione ha due autovalori, data la simmetria, uno con autovettore lungo l'asse di simmetria del corpo e uno con autospazio costituito dal piano perpendicolare all'asse di simmetria, quindi scegliendo due vettori qualsiasi su questo piano basta moltiplicare per l'autovalore ed ottenere e ottenere il risultato della'applicazione, cioè si può scrivere la matrice con la'utovalore scritto due volte sulla diagonale nelle posizioni corrispondenti.
Andando a calcolare la derivata assoluta risulta che $d/dtvecK_f(O)=d/dtvecK_r(O)+vec Omega times vec K_r(O)$
Quindi in definitiva risulta $vecM_f(O)=sigma_r(O)dotvecomega_r+vec Omega times sigma_r(O)vecomega_r$
Senza fare ulteriori trasformazioni di coordinate nell'equazione sopra
$vecomega_r$ è espressa nel sistema di riferimento relativo
$vecM_f(O)$ in quello assoluto
Su $Omega$ avrei dei dubbi
Si vuole esprimere questa equazione:
$vecM_f(O)=d/dt (vec K_f(O))=d/dt(sigma_f(O,t) vec omega)$
Con $f$ indico il sistema fisso e con $r$ il sistema relativo, cioè indico che le coordinate di vettori e matrici sono espressi nel dato sistema di riferimento. O meglio per le matrici indico che l'applicazione è espressa nel dato sistema di coordinate. (quello fisso in questo caso è quello inerziale con origine nella cerniera, mentre quello relativo è quello scelto).
Visto che non ci piace questa equazione espressa in questa maniera, perchè $sigma_f(O,t)$ non è una matrice costante cerchiamo un sistema di riferimento in cui lo sia, che potrebbe essere semplicemente quello solidale al corpo rigido, ma che in questo caso è differente.
Abbiamo che il legame tra velocità angolare e momento angolare può essere espresso come $vecK_f(O)=sigma_f(O,t)vecomega_f$ o anche nel sistema di riferimento relativo $vecK_r(O)=sigma_r(O)vecomega_r$. Per semplicità si può trovare una condizione per cui la matrice oltre ad essere costante è anche diagonale, in base alla scelta del sistema di riferimento relativo. La matrice in questione ha due autovalori, data la simmetria, uno con autovettore lungo l'asse di simmetria del corpo e uno con autospazio costituito dal piano perpendicolare all'asse di simmetria, quindi scegliendo due vettori qualsiasi su questo piano basta moltiplicare per l'autovalore ed ottenere e ottenere il risultato della'applicazione, cioè si può scrivere la matrice con la'utovalore scritto due volte sulla diagonale nelle posizioni corrispondenti.
Andando a calcolare la derivata assoluta risulta che $d/dtvecK_f(O)=d/dtvecK_r(O)+vec Omega times vec K_r(O)$
Quindi in definitiva risulta $vecM_f(O)=sigma_r(O)dotvecomega_r+vec Omega times sigma_r(O)vecomega_r$
Senza fare ulteriori trasformazioni di coordinate nell'equazione sopra
$vecomega_r$ è espressa nel sistema di riferimento relativo
$vecM_f(O)$ in quello assoluto
Su $Omega$ avrei dei dubbi
"sonoqui_":
C'è qualcosa che ancora non mi quadra e che vorrei mettere in chiaro prima di passare a ricorreggere i grafici, in modo che non sia necessario farlo nuovamente, anche perchè penso che ti prenda un po' di tempo.
Si vuole esprimere questa equazione:
$vecM_f(O)=d/dt (vec K_f(O))=d/dt(sigma_f(O,t) vec omega)$
[...]
Sono d'accordo con tutto ciò che hai scritto, però anche il momento delle forze esterne deve essere espresso nello stesso sistema di riferimento $r$ scelto per scrivere il momento angolare e la sua derivata, non rispetto al fisso.
A me pare logico poi che la $vecOmega$ sia la velocità angolare del sistema di riferimento $r$, perché non ti torna?
La derivata nel tempo del momento angolare va calcolata nel sistema di riferimento fisso. Pensa che per passare da derivata nel sistema di riferimento relativo a derivata nel sistema di riferimento fisso bisogna sommare uun prodotto vettoriale, mentre per cambiare coordinate al momento delle forze si deve solo ruotarlo. Quindi o si mantiene la derivata nel sistema di riferimento fisso e si calcolano le componenti del momento delle forze nel sistema fisso, o si ruota la derivata del momento angolare nel sistema di riferimento fisso per ottenere le componenti nel sistema di riferimento relativo, che non corrisponde alla derivata del momento angolare nel sistema di riferimento relativo. Gli angoli di rotazione in quest'ultimo caso sono in funzione del tempo, per cui non mi sembra una buona scelta.
Riguardo ad $Omega$ avevo dei dubbi riguardo alla base da utilizzare per ricavarne le coordinate. Quando la velocità angolare è proprio quella del corpo rigido so che le coordinate sono quelle relative.
Riguardo ad $Omega$ avevo dei dubbi riguardo alla base da utilizzare per ricavarne le coordinate. Quando la velocità angolare è proprio quella del corpo rigido so che le coordinate sono quelle relative.
La derivata nel tempo del momento angolare va calcolata nel sistema di riferimento fisso.
Va calcolata da un osservatore solidale col sistema di riferimento fisso certo, ma può essere poi espressa in termini di versori rispetto ad un qualunque sistema di riferimento, ovviamente a patto di essere congruenti con quello che si vuole fare.
Pensa che per passare da derivata nel sistema di riferimento relativo a derivata nel sistema di riferimento fisso bisogna sommare uun prodotto vettoriale,
Qui non sono molto d'accordo.
Quando si scrive:
$d(vecomega)/(dt)= dot vec omega + vecOmega times vecomega$
la matrice di inerzia è espressa nel sistema di riferimento rispetto i cui versori si vuole scrivere la derivata, quindi se cambiassi sistema di riferimento cambierebbe sia $$ sia $vec omega$ (che $vecOmega$), quindi non basta aggiungere un prodotto vettoriale.
Sul resto non ho ben capito quello che vuoi dire, secondo me il sistema di riferimento che ho scelto è il più semplice per non impazzire con le rotazioni dei momenti della forza esterna.
Del resto anche la soluzione ottenuta mi sembra corretta, non credo sia proprio tutto sbagliato.
Se scrivi le equazioni corrette secondo il tuo punto di vista ne possiamo discutere.
$d/dtvecK_f(O)=d/dtvecK_r(O)+vec Omega times vec K_r(O)$
Intendevo questa somma qui, che è ben diversa da una rotazione di un vettore. Tra le altre cose dipende dalla rapidità con cui il sistame di riferimento relativo ruota rispetto al fisso, mentre una rotazione dipende solo dagli angoli.
Ad ogni modo la derivata a cui si riferisce la seconda equazione cardinale della dinamica è quella nel sistema di riferimento assoluto, cioè quello che si considera come fisso.
Le equazioni a cui sono arrivato, con sistema di riferimento relativo solidale al corpo rigido, sonon queste:
con $I_(xo)=I_(yo)$:
$I_(xo) dot omega_x + (I_(zo)-I_(yo)) omega_z omega_y = -mgl sinalpha sinbeta$
$I_(yo) dot omega_y - (I_(zo)-I_(xo)) omega_z omega_x = mgl sinalpha cosbeta$
$I_(zo) dotomega_z = 0$
$alpha$ è l'angolo tra l'asse di simmetria della ruota e l'asse verticale
$beta$ è l'angolo tra la proiezione dell'asse di simmetria sul piano orizzontale e un asse di riferimento fisso su tale piano (asse x nel mio caso).
Le componenti di $vecomega$ sono quelle nel sistema di riferimento relativo, mentre le componenti del momento della faorza peso le ho calcolate nel sistema di riferimento fisso. L'asse $z$ del sistema di riferimento relativo è uscente dalla cerniera, mentre $beta$ è misurato come positivo in senso antiorario attorno all'asse $z'$ del sistema di riferimento fisso, verticale verso l'alto.
A questo punto mi sarei proposto di ricavare una soluzione particolare, cioè ricavare delle condizioni iniziali secondo cui il moto si sviluppa ad $alpha$ costante, ovvero inclinazione dell'asse di simmetria della ruota costante rispetto all verticale, ad una data velocità angolare attorno all'asse e ad una data inclinazione rispetto alla verticale (e il resto dei dati).
Sotto questa ipotesi ho scomposto la velocità angolare nelle due componenti $vecomega_f=vecomega_(ax)+vecomega_k$, dove $ax$ sta per componente lungo l'asse della ruota e $k$ sta per componente lungo l'asse verticale fisso $z'$.
Se avessi studiato il moto in un sistema di riferimento come quello da te scelto, essendo presente la sola forza centrifiga oltre alla forza peso a dare momento con componente nulla lungo l'asse, avrei ricavato che la velocità angolare attorno all'asse della ruota è costante, così come è costante nel mio caso $omega_z$. Quindi proiettando $vec omega_(ax)$ e $vec omega_k$ sull'asse $z$ del sistema di riferimento relativo ottengo questa relazione: $omega_k=(omega_z-omega_(ax))/cosalpha=costante$
Il che vuol dire che $beta=beta_0+a*t$. Naturalmente la costante $a$ è da ricavare ponendo la condizione che $alpha$ sia costante.
Le equazioni, sotto questa ipotesi restrittiva, quindi mi diventano:
$I_(xo) dot omega_x + (I_(zo)-I_(yo)) omega_z omega_y = -mgl sinalpha sin(beta_0+at)$
$I_(yo) dot omega_y - (I_(zo)-I_(xo)) omega_z omega_x = mgl sinalpha cos(beta_0+at)$
$I_(zo) dotomega_z = 0$
Che praticamente sono due equazioni differenziali ordinarie in $omega_x$ e $omega_y$, di cui sono interessato solo alla soluzione stazionaria.
Intendevo questa somma qui, che è ben diversa da una rotazione di un vettore. Tra le altre cose dipende dalla rapidità con cui il sistame di riferimento relativo ruota rispetto al fisso, mentre una rotazione dipende solo dagli angoli.
Ad ogni modo la derivata a cui si riferisce la seconda equazione cardinale della dinamica è quella nel sistema di riferimento assoluto, cioè quello che si considera come fisso.
Le equazioni a cui sono arrivato, con sistema di riferimento relativo solidale al corpo rigido, sonon queste:
con $I_(xo)=I_(yo)$:
$I_(xo) dot omega_x + (I_(zo)-I_(yo)) omega_z omega_y = -mgl sinalpha sinbeta$
$I_(yo) dot omega_y - (I_(zo)-I_(xo)) omega_z omega_x = mgl sinalpha cosbeta$
$I_(zo) dotomega_z = 0$
$alpha$ è l'angolo tra l'asse di simmetria della ruota e l'asse verticale
$beta$ è l'angolo tra la proiezione dell'asse di simmetria sul piano orizzontale e un asse di riferimento fisso su tale piano (asse x nel mio caso).
Le componenti di $vecomega$ sono quelle nel sistema di riferimento relativo, mentre le componenti del momento della faorza peso le ho calcolate nel sistema di riferimento fisso. L'asse $z$ del sistema di riferimento relativo è uscente dalla cerniera, mentre $beta$ è misurato come positivo in senso antiorario attorno all'asse $z'$ del sistema di riferimento fisso, verticale verso l'alto.
A questo punto mi sarei proposto di ricavare una soluzione particolare, cioè ricavare delle condizioni iniziali secondo cui il moto si sviluppa ad $alpha$ costante, ovvero inclinazione dell'asse di simmetria della ruota costante rispetto all verticale, ad una data velocità angolare attorno all'asse e ad una data inclinazione rispetto alla verticale (e il resto dei dati).
Sotto questa ipotesi ho scomposto la velocità angolare nelle due componenti $vecomega_f=vecomega_(ax)+vecomega_k$, dove $ax$ sta per componente lungo l'asse della ruota e $k$ sta per componente lungo l'asse verticale fisso $z'$.
Se avessi studiato il moto in un sistema di riferimento come quello da te scelto, essendo presente la sola forza centrifiga oltre alla forza peso a dare momento con componente nulla lungo l'asse, avrei ricavato che la velocità angolare attorno all'asse della ruota è costante, così come è costante nel mio caso $omega_z$. Quindi proiettando $vec omega_(ax)$ e $vec omega_k$ sull'asse $z$ del sistema di riferimento relativo ottengo questa relazione: $omega_k=(omega_z-omega_(ax))/cosalpha=costante$
Il che vuol dire che $beta=beta_0+a*t$. Naturalmente la costante $a$ è da ricavare ponendo la condizione che $alpha$ sia costante.
Le equazioni, sotto questa ipotesi restrittiva, quindi mi diventano:
$I_(xo) dot omega_x + (I_(zo)-I_(yo)) omega_z omega_y = -mgl sinalpha sin(beta_0+at)$
$I_(yo) dot omega_y - (I_(zo)-I_(xo)) omega_z omega_x = mgl sinalpha cos(beta_0+at)$
$I_(zo) dotomega_z = 0$
Che praticamente sono due equazioni differenziali ordinarie in $omega_x$ e $omega_y$, di cui sono interessato solo alla soluzione stazionaria.
Sono d'accordo in linea di massima con quanto hai scritto, che infatti fin qui non è in contrasto con quanto avrei fatto io io considerando un sistema di riferimento solidale al corpo, non ho capito bene la terza equazione comunque, perché mancano gli altri termini analoghi alle prime due?
Inoltre non sei arrivato alla fine: dovresti scrivere $alpha$ e $beta$ in funzione dei corrispondenti $theta_x$ $theta_y$ e $theta_z$.
Il nocciolo della questione per capire le differenze (se ci sono) tra quello che faresti tu e quello che ho fatto io è lì.
Inoltre non sei arrivato alla fine: dovresti scrivere $alpha$ e $beta$ in funzione dei corrispondenti $theta_x$ $theta_y$ e $theta_z$.
Il nocciolo della questione per capire le differenze (se ci sono) tra quello che faresti tu e quello che ho fatto io è lì.
Mancano gli altri termini perchè $I_x=I_y$ e perchè la forza peso non genera momento lungo l'asse $z'$ del sistema di riferimento fisso.
Tu hai utilizzato un programma di calcolo ottenendo una approssimazione del moto generale immagino. Non mi mi riesce risolvere quelle equazioni senza ipotesi restrittive e comunque non mi son spiegato il passaggio in cui sono interessato solo alla soluzione stazionaria.
Tu hai utilizzato un programma di calcolo ottenendo una approssimazione del moto generale immagino. Non mi mi riesce risolvere quelle equazioni senza ipotesi restrittive e comunque non mi son spiegato il passaggio in cui sono interessato solo alla soluzione stazionaria.
"sonoqui_":
Mancano gli altri termini perchè $I_x=I_y$ e perchè la forza peso non genera momento lungo l'asse $z'$ del sistema di riferimento fisso.
Ok qui, non avevo tenuto conto che hai scelto assi diversi dai miei e hai già considerato l'uguaglianza dei momenti di inerzia.
"sonoqui_":
Tu hai utilizzato un programma di calcolo ottenendo una approssimazione del moto generale immagino. Non mi mi riesce risolvere quelle equazioni senza ipotesi restrittive e comunque non mi son spiegato il passaggio in cui sono interessato solo alla soluzione stazionaria.
Io ho risolto numericamente (con un metodo Runge-Kutta) le equazioni a cui sono arrivato per il problema che ho descritto, partendo da diverse condizioni iniziali, come descritto in quel messaggio,
Se espliciti le velocità angolari in termini di angoli $alpha$ e $beta$ si possono risolvere in maniera del tutto analoga anche le tue equazioni (preferisco che lo facessi tu, almeno vediamo se arriviamo allo stesso risultato come credo).
Vedendo il moto delle ruota come composizione di moti, suddivido la velocità angolare rispetto al sistema di riferimento fisso in: $vecomega=vecomega_k+vecomega_(ax)+vecomega_n$
dove con $k$ e $ax$ intendo al solito i componenti della velocità angolare lungo l'asse fisso $z'$ verticale verso l'alto e lungo l'asse mobile $z$ uscente dalla cerniera e sull'asse di simmetria della ruota, mentre con $n$ in questo caso indico la componente lungo un asse perpendicolare al piano verticale contenete l'asse di simmetria della ruota (quindi è un asse che ruota insiema all'esse della ruota).
Indico con $beta$, $gamma$ e $alpha$ gli angoli di rotazione attorno agli assi sopra descritti, rispettivamente. Quindi come già scritto in precendenza $alpha$ è l'angolo di inclinazione tra l'asse $z$ mobile (asse di simmetria della ruota, uscente dalla cerniera) e l'asse verticale discendente fisso, $beta$ l'angolo tra la proiezione dell'asse di simmetria della ruota sul piano orizzonate e l'asse fisso $x'$, orizzontale, e $gamma$ l'angolo di rotazione della ruota attorno al proprio asse, in senso antiorario rispetto all'asse orientato $z$.
$omega_z=dotgamma-dotbetacosalpha$
$omega_x=dotbetasinalphacosgamma+dotalphasingamma$
$omega_y=-dotbetasinalphasingamma+dotbetacosgamma$
Sostituendo nelle equazioni:
$I_(xo) (ddotbeta sinalpha cosgamma + dotbeta dotalpha cosalpha cosgamma - dotbeta dotgamma sinalpha singamma + ddot alpha singamma +dotalpha dotgamma cosgamma) + (I_(zo)-I_(yo)) (dotgamma-dotbetacosalpha)(-dotbeta sinalpha singamma + dotalpha cosgamma) = -mgl sinalpha sinbeta$
$I_(yo) (-ddotbeta sinalpha singamma - dotbeta dotalpha cosalpha singamma - dotbeta dotgamma sinalpha cosgamma + ddotalpha cosgamma - dotalpha dotgamma singamma) - (I_(zo)-I_(xo)) (dotgamma - dotbeta cosalpha) (dotbeta sinalpha cosgamma + dotalpha singamma) = mgl sinalpha cosbeta$
$I_(zo) (ddotgamma - ddotbeta cosalpha + dotbeta dotalpha sinalpha) = 0$[/img]
Grazie del messaggio, quando riesco a trovare il tempo proverò a vedere cosa viene fuori dalle tue equazioni.
Comunque nella mia trattazione c'è un errore nel calcolo del momento delle forze esterne, come temevo, o, il che è equivalente, c'è un errore nell'espressione della velocità angolare che, calcolando il momento della forza peso come l'ho calcolato , ho identificato banalmente come derivate rispetto al tempo degli angoli di eulero, cosa che non è.
Comunque nella mia trattazione c'è un errore nel calcolo del momento delle forze esterne, come temevo, o, il che è equivalente, c'è un errore nell'espressione della velocità angolare che, calcolando il momento della forza peso come l'ho calcolato , ho identificato banalmente come derivate rispetto al tempo degli angoli di eulero, cosa che non è.
Riprendo questa vecchia discussione.
Per motivi diversi infatti ho dovuto risolvere un problema simile e ho avuto necessità di chiarirmi bene li idee
..anche se alla fine ho una curiosità.
Il problema è questo qui.
Si fa girare l'asse della ruota e si lascia la ruota libera sotto l'azione della forza peso.
Questo filmato chiarisce cosa accade:
Come avevo scritto nel messaggio precedente era rimasta in sospeso la correttezza delle equazioni del moto che erano state scritte.
Quelle che avevo scritto io in questo messaggio infatti non erano corrette perché in sostanza non avevo espresso i momenti rispetto agli angoli (che non erano angoli di Eulero) scelti. Inoltre non essendo quelli gli angoli di Eulero non era facile risalire immediatamente alla posizione dell'oggetto.
Conviene per prima cosa scegliere gli angoli di Eulero, del sistema xyz solidale con la ruota, rispetto al sistema fisso x'y'z'.
Uso una figura già postata qui:
Pongo per maggior chiarezza
$a=theta$, angolo di nutazione
$b=psi$ angolo di precessione
$c=phi$ angolo di rotazione propria.
Le equazioni conviene esprimerle in un sistema solidale con l'asse della ruota ma non ruotante attorno all'asse della ruota medesima (in sostanza in questo riferimento si vede solo la ruota ruotare attorno al proprio asse).
Tali equazioni sono quelle del momento angolare:
$d/(dt) ( vec omega)= vec M$
che svolgendo la derivata diventano:
$ dot vec omega + vec omega_t times vec omega= vec M$
dove $vec omega$ è la velocità angolare della ruota e $vec omega_t$ la velocità angolare del sistema di riferimento rispetto a cui esprimiamo le equazioni, mentre $$ è il tensore di inerzia della ruota rispetto al sistema di riferimento scelto, che poiché la ruota è circolare coincide col tensore rispetto al riferimento solidale alla ruota xyz.
La cosa delicata è esprimere queste equazioni in funzione degli angoli di Eulero.
Non svolgo tutti i passaggi che si trovano facilmente in molti testi di meccanica.
Quello che si ottiene alla fine è questo.
$I_x ddot theta-I_x dot psi^2 sin theta cos theta + I_z dot psi sin theta* (dot psi cos theta + dot phi)=M_x$
$I_x (ddot psi sin theta + dot psi dot theta cos theta)+I_x dot theta dot psi cos theta-I_z dot theta(dot psi cos theta+ dot phi)=M_y$
$I_z d/(dt)( dot psi cos theta+dot phi)=M_z$
e detta $L$ la distanza tra l'origine degli assi e il centro della ruota, e $P$ il suo peso si ha
$M_x=PL sin theta $
$M_y=( - PL sin theta sin psi cos psi cos theta + PL sin theta cos psi sin psi cos theta)=0$
$M_z=(PLsin^2 theta sin psi cos psi - PL sin^2 theta sin psi cos psi)=0$
Con condizioni iniziali
$psi=phi=0$
$theta=pi/2$
$dot theta=dot psi =0$
$dot phi= omega$, cioè velocità angolare impressa inizialmente alla ruota attorno al proprio asse.
Integrando numericamente ottengo gli stessi grafici riportati qui, con $theta_x=psi$, $theta_y=phi$ e $theta_z=theta-pi/2$
La curiosità è proprio l'aver ottenuto gli stessi risultati.... credo sia dovuto alle particolari condizioni iniziali di partenza che rendono le equazioni non corrette scritte in quel messaggio una ottima approssimazione di quelle corrette.
Per motivi diversi infatti ho dovuto risolvere un problema simile e ho avuto necessità di chiarirmi bene li idee
..anche se alla fine ho una curiosità.
Il problema è questo qui.
Si fa girare l'asse della ruota e si lascia la ruota libera sotto l'azione della forza peso.
Questo filmato chiarisce cosa accade:
Come avevo scritto nel messaggio precedente era rimasta in sospeso la correttezza delle equazioni del moto che erano state scritte.
Quelle che avevo scritto io in questo messaggio infatti non erano corrette perché in sostanza non avevo espresso i momenti rispetto agli angoli (che non erano angoli di Eulero) scelti. Inoltre non essendo quelli gli angoli di Eulero non era facile risalire immediatamente alla posizione dell'oggetto.
Conviene per prima cosa scegliere gli angoli di Eulero, del sistema xyz solidale con la ruota, rispetto al sistema fisso x'y'z'.
Uso una figura già postata qui:
Pongo per maggior chiarezza
$a=theta$, angolo di nutazione
$b=psi$ angolo di precessione
$c=phi$ angolo di rotazione propria.
Le equazioni conviene esprimerle in un sistema solidale con l'asse della ruota ma non ruotante attorno all'asse della ruota medesima (in sostanza in questo riferimento si vede solo la ruota ruotare attorno al proprio asse).
Tali equazioni sono quelle del momento angolare:
$d/(dt) ( vec omega)= vec M$
che svolgendo la derivata diventano:
$ dot vec omega + vec omega_t times vec omega= vec M$
dove $vec omega$ è la velocità angolare della ruota e $vec omega_t$ la velocità angolare del sistema di riferimento rispetto a cui esprimiamo le equazioni, mentre $$ è il tensore di inerzia della ruota rispetto al sistema di riferimento scelto, che poiché la ruota è circolare coincide col tensore rispetto al riferimento solidale alla ruota xyz.
La cosa delicata è esprimere queste equazioni in funzione degli angoli di Eulero.
Non svolgo tutti i passaggi che si trovano facilmente in molti testi di meccanica.
Quello che si ottiene alla fine è questo.
$I_x ddot theta-I_x dot psi^2 sin theta cos theta + I_z dot psi sin theta* (dot psi cos theta + dot phi)=M_x$
$I_x (ddot psi sin theta + dot psi dot theta cos theta)+I_x dot theta dot psi cos theta-I_z dot theta(dot psi cos theta+ dot phi)=M_y$
$I_z d/(dt)( dot psi cos theta+dot phi)=M_z$
e detta $L$ la distanza tra l'origine degli assi e il centro della ruota, e $P$ il suo peso si ha
$M_x=PL sin theta $
$M_y=( - PL sin theta sin psi cos psi cos theta + PL sin theta cos psi sin psi cos theta)=0$
$M_z=(PLsin^2 theta sin psi cos psi - PL sin^2 theta sin psi cos psi)=0$
Con condizioni iniziali
$psi=phi=0$
$theta=pi/2$
$dot theta=dot psi =0$
$dot phi= omega$, cioè velocità angolare impressa inizialmente alla ruota attorno al proprio asse.
Integrando numericamente ottengo gli stessi grafici riportati qui, con $theta_x=psi$, $theta_y=phi$ e $theta_z=theta-pi/2$
La curiosità è proprio l'aver ottenuto gli stessi risultati.... credo sia dovuto alle particolari condizioni iniziali di partenza che rendono le equazioni non corrette scritte in quel messaggio una ottima approssimazione di quelle corrette.
Volevo fare una considerazione per far capire che la ruota può precedere attorno all'asse z. Se la ruota, durante la dinamica ruota attorno a quest'asse, è necessario che all'istante iniziale ci sia una componente del momento angolare lungo z, per la conservazione. Infatti, il momento angolare lungo quest'asse si conserva, in quanto il momento della coppia di forze (reazione vincolare + forza peso) agisce su un piano perpendicolare a z. Calcolando il tensore di inerzia, si trova in effetti che la componente centrifuga $ I_{y z} $ è diversa da zero, il che conferisce una componente lungo z al momento angolare. Questo non dimostra che la precessione avvenga, ma perlomeno dice che questo moto non contravverrebbe al principio di conservazione del momento angolare (ed ovviamente è compatibile con i vincoli).
Mi sono reso conto che le equazioni che ho scritto ancora non vanno bene
Le reazioni vincolari del perno sono incognite e occorrerebbe aggiungere l'equazione del centro di massa per esplicitarle, io invece le ho prese uguali ed opposte al peso il che non è.
Probabilmente è più semplice scegliere una terna non baricentrica (parallela a quella xyz della figura ma con origine nel perno di appoggio) tale terna presenterà nel tensore di inerzia un termine deviatorico $I_{x y}$, mentre gli altri sono sempre nulli, e le equazioni sono leggermente più complicate di quelle scritte. Appena riesco posto le equazioni giuste e il risultato numerico.
A quanto pare questo problema non riesco a digerirlo...
@alephy
non ho capito la tua considerazione : il momento angolare rispetto all'asse fisso z' all'inizio è nullo, ma in ogni caso il momento angolare non si conserva per la presenza della forza peso.
Le reazioni vincolari del perno sono incognite e occorrerebbe aggiungere l'equazione del centro di massa per esplicitarle, io invece le ho prese uguali ed opposte al peso il che non è.
Probabilmente è più semplice scegliere una terna non baricentrica (parallela a quella xyz della figura ma con origine nel perno di appoggio) tale terna presenterà nel tensore di inerzia un termine deviatorico $I_{x y}$, mentre gli altri sono sempre nulli, e le equazioni sono leggermente più complicate di quelle scritte. Appena riesco posto le equazioni giuste e il risultato numerico.
A quanto pare questo problema non riesco a digerirlo...
@alephy
non ho capito la tua considerazione : il momento angolare rispetto all'asse fisso z' all'inizio è nullo, ma in ogni caso il momento angolare non si conserva per la presenza della forza peso.
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