Precessione
Il fatto che la forza peso provochi un momento torcente che altera la direzione del momento angolare mi è chiaro,
non capisco però, che cosa sostituisca la forza che nel primo riquadro è esercitata dalla mano, e che permette al tutto di non cadere verso il basso.
Risposte
La reazione d'appoggio sul punto O.
In figura 1 la reazione d'appoggio e il sostegno della mano danno entrambi forza verso l'alto di valore $Mg/2$, la cui somma equilibra la forza peso, e il momento risultante delle 3 forze è nullo.
In figura 2 venendo meno la mano che sostiene, la reazione in O vale $Mg$, cioè equilibra da sola la forza peso, però si sviluppa un momento non nullo che causa la precessione.
In figura 1 la reazione d'appoggio e il sostegno della mano danno entrambi forza verso l'alto di valore $Mg/2$, la cui somma equilibra la forza peso, e il momento risultante delle 3 forze è nullo.
In figura 2 venendo meno la mano che sostiene, la reazione in O vale $Mg$, cioè equilibra da sola la forza peso, però si sviluppa un momento non nullo che causa la precessione.
Non riesco però a capire perchè con il momento sviluppato dalla forza peso l'oggetto non ruoti verso il basso
Il fenomeno non è affatto intuitivo, infatti. Possiamo provare però a ragionarci sopra.
Immaginiamo la trottola ferma e non sostenuta da alcuna mano: la forza di gravità fornisce un momento perpendicolare al piano del disegno. Questo tende a far aumentare in pari direzione il momento angolare che è inizialmente zero essendo il corpo fermo. Dunque il momento angolare inizia a svilupparsi in verso concorde col momento torcente, la trottola ruota sul piano del disegno e cade.
Questo succede anche se la trottola ruota attorno al suo asse naturale (parallelo al piano del disegno), con la differenza però che quando la mano lascia la presa il momento angolare non è nullo ma è parallelo all'asse di rotazione. A questo dunque si aggiunge il momento angolare dovuto alla gravità (lo stesso di prima), che sommandosi a quello iniziale produrrebbe un momento angolare con due componenti: la componente parallela al piano del disegno e la componente normale al piano del disegno (la stessa di prima), dunque la trottola tenderebbe a ruotare sia in senso parallelo al foglio (la rotazione iniziale) sia in senso normale al foglio (la cosiddetta caduta). Però se il momento angolare parallelo al foglio è preponderante (come di solito avviene), siccome una rotazione composta in tal modo non è stabile poiché avverrebbe attorno a un asse obliquo non corrispondente ad asse principale d'inerzia, le condizioni dinamiche fanno sì che la trottola modifichi l'asse di rotazione allineandolo con l'asse principale d'inerzia più vicino (quello usuale). L'effetto di ciò è che la trottola si allinea col nuovo momento angolare, che diventa così esclusivamente assiale.
Se invece la velocità iniziale di rotazione della trottola è troppo bassa quando lasciamo la mano, allora le condizioni iniziali non sono più preponderanti per cui si vedrà la trottola oscillare su e giù con nutazioni tanto più ampie quanto minore è il momento angolare iniziale: cioè la trottola tende a cadere e rialzarsi periodicamente. Se la trottola rallenta progressivamente per attriti vari questo fenomeno si accentua finché la trottola cade davvero (quando è quasi ferma).
Mi rendo però conto che ho fatto un gran polverone, e se non mancheranno critiche da parte di qualche guru del rigore formale....
ben mi sta. 
Immaginiamo la trottola ferma e non sostenuta da alcuna mano: la forza di gravità fornisce un momento perpendicolare al piano del disegno. Questo tende a far aumentare in pari direzione il momento angolare che è inizialmente zero essendo il corpo fermo. Dunque il momento angolare inizia a svilupparsi in verso concorde col momento torcente, la trottola ruota sul piano del disegno e cade.
Questo succede anche se la trottola ruota attorno al suo asse naturale (parallelo al piano del disegno), con la differenza però che quando la mano lascia la presa il momento angolare non è nullo ma è parallelo all'asse di rotazione. A questo dunque si aggiunge il momento angolare dovuto alla gravità (lo stesso di prima), che sommandosi a quello iniziale produrrebbe un momento angolare con due componenti: la componente parallela al piano del disegno e la componente normale al piano del disegno (la stessa di prima), dunque la trottola tenderebbe a ruotare sia in senso parallelo al foglio (la rotazione iniziale) sia in senso normale al foglio (la cosiddetta caduta). Però se il momento angolare parallelo al foglio è preponderante (come di solito avviene), siccome una rotazione composta in tal modo non è stabile poiché avverrebbe attorno a un asse obliquo non corrispondente ad asse principale d'inerzia, le condizioni dinamiche fanno sì che la trottola modifichi l'asse di rotazione allineandolo con l'asse principale d'inerzia più vicino (quello usuale). L'effetto di ciò è che la trottola si allinea col nuovo momento angolare, che diventa così esclusivamente assiale.
Se invece la velocità iniziale di rotazione della trottola è troppo bassa quando lasciamo la mano, allora le condizioni iniziali non sono più preponderanti per cui si vedrà la trottola oscillare su e giù con nutazioni tanto più ampie quanto minore è il momento angolare iniziale: cioè la trottola tende a cadere e rialzarsi periodicamente. Se la trottola rallenta progressivamente per attriti vari questo fenomeno si accentua finché la trottola cade davvero (quando è quasi ferma).
Mi rendo però conto che ho fatto un gran polverone, e se non mancheranno critiche da parte di qualche guru del rigore formale....
ben mi sta.
Dov'è che hai trovato scritto che la velocità angolare non cambia direzione nel tempo quando è presente solo un appoggio?
La forza peso e quella dell'appoggio generano una coppia che fa ruotare l'asse di rotazione della ruota. La forza peso non è bilanciata dalla reazione e il centro di massa accelera verso il basso.
Anche nel caso dei due appoggi la risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari non è detto che siano opposta al peso la prima e nulla la seconda (rispetto al centro di massa), lo sono solo se l'asse di rotazione coincide con uno della terna centrale (cioè è passante per il centro di massa) e principale di inerzia. Altrimenti danno una risultante e un momento risultante (rispetto al centro di massa) dipendenti dal tempo, cioè sono presenti delle sollecitazioni dinamiche sui supporti, è per questo che i corpi ruotanti vengono bilanciati staticamente e dinamicamente.
Se nell'appoggio ci fosse una cerniera il sistema si comporterebbe come una specie di pendolo, con l'aggiunta di termini dovuti alla "resistenza opposta" dalla ruota alla variazione della direzione dell'asse di rotazione, presente quando questa è in rotazione rispetto al proprio asse.
La forza peso e quella dell'appoggio generano una coppia che fa ruotare l'asse di rotazione della ruota. La forza peso non è bilanciata dalla reazione e il centro di massa accelera verso il basso.
Anche nel caso dei due appoggi la risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari non è detto che siano opposta al peso la prima e nulla la seconda (rispetto al centro di massa), lo sono solo se l'asse di rotazione coincide con uno della terna centrale (cioè è passante per il centro di massa) e principale di inerzia. Altrimenti danno una risultante e un momento risultante (rispetto al centro di massa) dipendenti dal tempo, cioè sono presenti delle sollecitazioni dinamiche sui supporti, è per questo che i corpi ruotanti vengono bilanciati staticamente e dinamicamente.
Se nell'appoggio ci fosse una cerniera il sistema si comporterebbe come una specie di pendolo, con l'aggiunta di termini dovuti alla "resistenza opposta" dalla ruota alla variazione della direzione dell'asse di rotazione, presente quando questa è in rotazione rispetto al proprio asse.
"Falco5x":
Però se il momento angolare parallelo al foglio è preponderante (come di solito avviene), siccome una rotazione composta in tal modo non è stabile poiché avverrebbe attorno a un asse obliquo non corrispondente ad asse principale d'inerzia, le condizioni dinamiche fanno sì che la trottola modifichi l'asse di rotazione allineandolo con l'asse principale d'inerzia più vicino (quello usuale). L'effetto di ciò è che la trottola si allinea col nuovo momento angolare, che diventa così esclusivamente assiale.
Con un programma di calcolo non affetto da errore penso che si possano ottenere informazioni utili riguardo alle precessioni, anche per intervalli di tempo molto ampi, soprattutto in quei casi in cui i moti si presentano come "periodici".
"duff18":
Non riesco però a capire perchè con il momento sviluppato dalla forza peso l'oggetto non ruoti verso il basso
il momento prodotto da una forza non è una grandezza assoluta, dipende dal polo di calcolo. Nel caso in esame deve essere considerato anche il peso proprio e il momento puro dovuto alla variazione del momento angolare.
"mircoFN":
il momento prodotto da una forza non è una grandezza assoluta, dipende dal polo di calcolo. Nel caso in esame deve essere considerato anche il peso proprio e il momento puro dovuto alla variazione del momento angolare.
Intendevo rispetto al polo O,
quindi con la precessione viene generato un altro momento che equilibra quello dovuto alla forza di gravità?
Non so se ti è stata introdotta la matrice di inerzia, comunque il moto è descritto dalle due eqazioni cardinali che, definendo la matrice di inerzia, possono essere scritte in questa maniera:
$vecR=mveca_G$
$vecM(G)=sigma(G)dotvecomega+vecomega \times sigma(G) vecomega$
$sigma(G)$ è la matrice di inerzia calcolata rispetto a un sistema di riferimento centrale
$vecR$ e $vec M(G)$ sono la risultante e il momento risultante delle forze esterne
Per ricavare la matrice di inerzia per semplicità può essere scritta nel sistema di riferimento centrale e principale di inerzia, in cui risulta diagonale (la matrice di inerzia è sempre diagonalizzabile).
Già vedendo queste formule e conoscendo la direzione iniziale della velocità angolare si possono ricavare informazioni riguardo a come si sviluppa il moto.
$vecR=mveca_G$
$vecM(G)=sigma(G)dotvecomega+vecomega \times sigma(G) vecomega$
$sigma(G)$ è la matrice di inerzia calcolata rispetto a un sistema di riferimento centrale
$vecR$ e $vec M(G)$ sono la risultante e il momento risultante delle forze esterne
Per ricavare la matrice di inerzia per semplicità può essere scritta nel sistema di riferimento centrale e principale di inerzia, in cui risulta diagonale (la matrice di inerzia è sempre diagonalizzabile).
Già vedendo queste formule e conoscendo la direzione iniziale della velocità angolare si possono ricavare informazioni riguardo a come si sviluppa il moto.
No non mi è stata ancora introdotta la matrice di inerzia,
non c'è un modo più intuitivo per comprendere questa situazione?
non c'è un modo più intuitivo per comprendere questa situazione?
Torna comodo ragionare con le matrici in questo caso, non vedo un modo più intuitivo...
Comunque non ho specificato, ti sarai chiesto perchè nella formula che ho scritto non è presente la derivata rispetto al tempo della matrice. Questo perchè è calcolata in un sistema di riferimento solidale al corpo, quindi non dipende dal tempo. Oltre a questo è centrale e, per semplicità, si può scegliere il sistema di riferimento in modo che la matrice sia diagonale.
Comunque non ho specificato, ti sarai chiesto perchè nella formula che ho scritto non è presente la derivata rispetto al tempo della matrice. Questo perchè è calcolata in un sistema di riferimento solidale al corpo, quindi non dipende dal tempo. Oltre a questo è centrale e, per semplicità, si può scegliere il sistema di riferimento in modo che la matrice sia diagonale.
Ho iniziato a dare uno sguardo al capitolo del mio libro che tratta $L$ variabile anche in direzione,
prima cosa che non capisco:
"In tre dimensioni, le rotazioni hanno luogo in $ ( ( 3 ),( 2 ) ) = 3$ piani indipendenti,
mentre se vivessimo in quattro dimensioni allora le rotazioni potrebbero avere luogo in $ ( ( 4 ),( 2 ) ) = 6$ piani. "
Da cosa deriva questa scrittura matriciale?
prima cosa che non capisco:
"In tre dimensioni, le rotazioni hanno luogo in $ ( ( 3 ),( 2 ) ) = 3$ piani indipendenti,
mentre se vivessimo in quattro dimensioni allora le rotazioni potrebbero avere luogo in $ ( ( 4 ),( 2 ) ) = 6$ piani. "
Da cosa deriva questa scrittura matriciale?
Un aiuto per favore!
Un aiuto per favore!
La scrittura è come quella di un coefficiente binomiale, comunque nel ricavare i gradi di libertà, da cui per le rotazioni il numero degli angoli di Eulero, ho sempre ricavato i gradi di libertà senza vincoli sottraendo i gradi di vincolo. Tranne i casi in cui si hanno dei vincoli che permettono atti di moto infinitesimi o in cui siano presenti vincoli ridondanti, questo funziona.
Di più non ti so spiegare.
Di più non ti so spiegare.
[edit]
Cancellato.
Era (quasi) tutto sbagliato.
Riproverò...
Cancellato.
Era (quasi) tutto sbagliato.
Riproverò...
Devo ammettere che il tuo è un buon tentativo, hai messo dei grafici molto dettagliata.
C'è qualcosa che però non quadra: la reazione vincolare nella cerniera (cerniere sferica a quanto ho capito), non è fissa ma dipende dal tempo ed è una incognita del problema.
Per semplificare inizierei ponendo una cerniera cilindrica...
C'è qualcosa che però non quadra: la reazione vincolare nella cerniera (cerniere sferica a quanto ho capito), non è fissa ma dipende dal tempo ed è una incognita del problema.
Per semplificare inizierei ponendo una cerniera cilindrica...
Avevo postato una soluzione al problema qualche ora fa, ma avevo sbagliato la scelta del sistema di riferimento...
Alla fine corretto l'errore posso salvare la maggior parte di quello che avevo fatto....
Riprovo allora.
Prendo un sistema di riferimento centrato in $O$, punto di appoggio della barretta con il piano di sostegno e con l'asse $y$ diretto come l'asse della ruota e gli assi $x$ e $z$ ortogonali (ovviamente), come nella figura seguente. L'asse $z$ è normale al piano del disegno.
In tal caso i momenti di inerzia $I_x$ e $I_z$ sono uguali, tali momenti si calcolano facilmente conoscendo la distanza tra il centro della ruota e l'appoggio ed applicando il teorema di Huygens.
Tale sistema di riferimento è solidale con la ruota eccetto per la rotazione attorno all'asse $y$, in altre parole l'asse x rimane sempre nel piano del disegno.
In realtà comunque benché non completamente solidale, dato che $I_x=I_z$ la matrice di inerzia rispetto a tale riferimento è costante.
Scrivendo l'equazione di bilancio del momento di quantità di moto in forma vettoriale rispetto al sistema di riferimento scelto, si ha
$ d/(dt)(\vec(omega))=\dot(vec(omega)) + vec(Omega)\times(\vec(omega))=\vec(P) \times \vec(L)$
dove $vec omega$ è la velocità angolare del corpo scritta nel sistema di riferimento considerato, mentre $vec Omega$ è la velocità angolare del sistema di riferimento considerato. Per quanto detto si ha che la prima e la terza componente di $vec Omega$ coincidono con le corrispondenti di $vec omega$, mentre la seconda componente è nulla.
Nell'ultimo membro della formula mostrata c'è il momento dovuto al peso $P$ della ruota (sto trascurando il peso dell'asta),la reazione dell'appoggio ha momento nullo.
$vec(L)$ è il vettore che congiunge l'appoggio col centro di massa della ruota, mentre $$ è la matrice di inerzia rispetto al sistema di riferimento dato che in sostanza è una matrice diagonale con $I_x$ $I_y$ e $I_z$ sulla diagonale principale.
Svolgendo i calcoli si ottiene il seguente sistema.
$I_x \dot(omega_x)=omega_y * Omega_z * I_y$
$I_y \dot(omega_y)=omega_z * Omega_x * I_z- I_x * omega_x*Omega_3$
$I_z \dot(omega_z)=-omega_y* Omega_x * I_y + P L cos(theta_z)$
con $theta_z$ angolo tra l'asse della ruota e l'orizzontale.
Ho risolto il sistema numericamente per una finestra temporale di 5 s facendo vari casi: il primo tenendo fissa la velocità angolare iniziale lungo l'asse $y$ e poi vedendo cosa accade aumentandola via via, in tutti i casi le altre componenti della velocità angolare iniziale le ho lasciate a zero.
Gli altri dati sono:
$I_x=I_z=0.25 kg m^2$
$I_y=0.5 kg m^2$
$L=1 m$
$P=1$ newton
Partendo da ruota ferma ottengo questo.
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
Cioè il sistema si comporta come un pendolo compiendo oscillazioni di ampiezza pari a 180 gradi.
Imponendo una velocità angolare assiale di 5 $s^(-1)$ ho ottenuto questo:
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
per velocità angolare di 10 $s^(-1)$ questo:
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
per velocità angolare di 100 $s^(-1)$ questo:
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
Si vede che man mano che la velocità di rotazione della ruota aumenta, il moto di precessione, che avviene attorno all'asse x, diventa sempre più regolare, mentre l'oscillazione attorno a $z$ va a zero.
Alla fine corretto l'errore posso salvare la maggior parte di quello che avevo fatto....
Riprovo allora.
Prendo un sistema di riferimento centrato in $O$, punto di appoggio della barretta con il piano di sostegno e con l'asse $y$ diretto come l'asse della ruota e gli assi $x$ e $z$ ortogonali (ovviamente), come nella figura seguente. L'asse $z$ è normale al piano del disegno.
In tal caso i momenti di inerzia $I_x$ e $I_z$ sono uguali, tali momenti si calcolano facilmente conoscendo la distanza tra il centro della ruota e l'appoggio ed applicando il teorema di Huygens.
Tale sistema di riferimento è solidale con la ruota eccetto per la rotazione attorno all'asse $y$, in altre parole l'asse x rimane sempre nel piano del disegno.
In realtà comunque benché non completamente solidale, dato che $I_x=I_z$ la matrice di inerzia rispetto a tale riferimento è costante.
Scrivendo l'equazione di bilancio del momento di quantità di moto in forma vettoriale rispetto al sistema di riferimento scelto, si ha
$ d/(dt)(\vec(omega))=\dot(vec(omega)) + vec(Omega)\times(\vec(omega))=\vec(P) \times \vec(L)$
dove $vec omega$ è la velocità angolare del corpo scritta nel sistema di riferimento considerato, mentre $vec Omega$ è la velocità angolare del sistema di riferimento considerato. Per quanto detto si ha che la prima e la terza componente di $vec Omega$ coincidono con le corrispondenti di $vec omega$, mentre la seconda componente è nulla.
Nell'ultimo membro della formula mostrata c'è il momento dovuto al peso $P$ della ruota (sto trascurando il peso dell'asta),la reazione dell'appoggio ha momento nullo.
$vec(L)$ è il vettore che congiunge l'appoggio col centro di massa della ruota, mentre $$ è la matrice di inerzia rispetto al sistema di riferimento dato che in sostanza è una matrice diagonale con $I_x$ $I_y$ e $I_z$ sulla diagonale principale.
Svolgendo i calcoli si ottiene il seguente sistema.
$I_x \dot(omega_x)=omega_y * Omega_z * I_y$
$I_y \dot(omega_y)=omega_z * Omega_x * I_z- I_x * omega_x*Omega_3$
$I_z \dot(omega_z)=-omega_y* Omega_x * I_y + P L cos(theta_z)$
con $theta_z$ angolo tra l'asse della ruota e l'orizzontale.
Ho risolto il sistema numericamente per una finestra temporale di 5 s facendo vari casi: il primo tenendo fissa la velocità angolare iniziale lungo l'asse $y$ e poi vedendo cosa accade aumentandola via via, in tutti i casi le altre componenti della velocità angolare iniziale le ho lasciate a zero.
Gli altri dati sono:
$I_x=I_z=0.25 kg m^2$
$I_y=0.5 kg m^2$
$L=1 m$
$P=1$ newton
Partendo da ruota ferma ottengo questo.
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
Cioè il sistema si comporta come un pendolo compiendo oscillazioni di ampiezza pari a 180 gradi.
Imponendo una velocità angolare assiale di 5 $s^(-1)$ ho ottenuto questo:
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
per velocità angolare di 10 $s^(-1)$ questo:
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
per velocità angolare di 100 $s^(-1)$ questo:
$theta_x$
$theta_y$
$theta_z$
Si vede che man mano che la velocità di rotazione della ruota aumenta, il moto di precessione, che avviene attorno all'asse x, diventa sempre più regolare, mentre l'oscillazione attorno a $z$ va a zero.
"duff18":
Il fatto che la forza peso provochi un momento torcente che altera la direzione del momento angolare mi è chiaro,
non capisco però, che cosa sostituisca la forza che nel primo riquadro è esercitata dalla mano, e che permette al tutto di non cadere verso il basso.
A parte la spiegazione con le formule, una spiegazione moooolto intuitiva, che prescinde da considerazioni sui momenti angolari, di cosa impedisce alla ruota di cadere può essere questa.
Se la ruota gira attorno al proprio asse, quando la forza peso tende a farla cadere verso il basso, la velocità dei punti della ruota è diversa da una parte e dell'altra :quelli da una parte avranno velocità più alta, quelli dall'altra più bassa, dato che alla "velocità di caduta" va a sommarsi la velocità periferica dovuta alla rotazione.
A questo punto la forza centrifuga "sbilanciata" fa girare un po' la ruota attorno all'asse x (mi riferisco ai nomi degli assi che ho usato sopra, ma immagina qui questo sistema fisso e non attaccato alla ruota) tale rotazione genera una risultante della forza centrifuga dovuta alla rotazione attorno all'asse x il cui momento va a bilanciare l'azione del peso. E' un po' difficile spiegarlo senza un disegno, ma spero l'idea si sia capita.
A quanto ho capito il sistema di riferimento da te scelto non è inerziale, dunque dovrebbero essere presenti anche delle forze apparenti.
In un sistema di riferimento fisso le componenti della velocità angolare mi risultano espresse dalle seguenti equazioni, con $I_(xo)=I_(yo)$:
$I_(xo) dot omega_x + (I_(zo)-I_(yo)) omega_z omega_y = -mgl sinalpha sinbeta$
$I_(yo) dot omega_y - (I_(zo)-I_(xo)) omega_z omega_x = mgl sinalpha cosbeta$
$I_(zo) dotomega_z = 0$
$alpha$ è l'angolo tra l'asse di simmetria della ruota e l'asse verticale
$beta$ è l'angolo tra la proiezione dell'asse di simmetria sul piano orizzontale e un asse di riferimento fisso su tale piano (asse x nel mio caso).
In un sistema di riferimento fisso le componenti della velocità angolare mi risultano espresse dalle seguenti equazioni, con $I_(xo)=I_(yo)$:
$I_(xo) dot omega_x + (I_(zo)-I_(yo)) omega_z omega_y = -mgl sinalpha sinbeta$
$I_(yo) dot omega_y - (I_(zo)-I_(xo)) omega_z omega_x = mgl sinalpha cosbeta$
$I_(zo) dotomega_z = 0$
$alpha$ è l'angolo tra l'asse di simmetria della ruota e l'asse verticale
$beta$ è l'angolo tra la proiezione dell'asse di simmetria sul piano orizzontale e un asse di riferimento fisso su tale piano (asse x nel mio caso).
"sonoqui_":
A quanto ho capito il sistema di riferimento da te scelto non è inerziale, dunque dovrebbero essere presenti anche delle forze apparenti.
Questa è la tipica obiezione (errata) quando si vede questo approccio.
Le equazioni di partenza del momento della quantità di moto sono pensate in un riferimento assoluto solo sono espresse come componenti rispetto al sistema di riferimento mobile che ho scelto.
Questo perché se avessi espresso tutto nel sistema assoluto allora la matrice di inerzia sarebbe funzione del tempo e non sarebbe comodo maneggiarla (infatti nelle tue equazioni devi considerare che se sei in un sistema fisso il tensore di inerzia rispetto tale riferimento non è costante).
In effetti nella trattazione ho scritto un po' male perché l'espressione "rispetto al sistema di riferimento scelto" si può prestare a male interpretazioni, occorre chiarire qui che le componenti cartesiane sono scritte in termini di versori della terna mobile scelta ma le equazioni sono pensate rispetto ad un riferimento assoluto.
So che questo appare un po' strano, è uno dei concetti che ho trovato più ostici quando ho studiato meccanica razionale.
Considera per fissare le idee un punto P solidale ad un riferimento che ha il vettore velocità angolare pari a $vec omega$, allora la sua velocità è
$vec v_P= vec omega times vec r +vec v_O$
dove $vec r$ è la posizione di $P$ rispetto ad O.
ma $vec v_P$ può essere espressa in termini di versori della terna a cui è solidale, questo non significa che è pari a zero, spesso anzi $vec omega$ è scritto proprio in termini di riferimento solidale per cui la velocità che ottengo per $P$ risulta in termini di riferimento solidale.
Osserva come ulteriore cosa che se ragionassi veramente volendo esprimere l'equazione del momento rispetto ad una terna mobile (considerando quindi le forze apparenti) allora non potrei ottenere rotazioni della ruota in quel sistema rispetto a i tre assi, dato che per ipotesi tale sistema si muoverebbe con la ruota, quindi sarebbe un approccio inutile.
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