Potenziali interni e esterni sfera non omogenea
Ciao a tutti,
avevo un dubbio in merito a questo esercizio
Data una distribuzione volumica di carica di una sfera con densità \( \rho (r) = k/r \) trovare campi e potenziali interni e esterni
Per i campi ho applicato il teorema di Gauss trovando in valori \(E_{ext} = \frac{kR^2}{2 \epsilon_0 r^2} \) all'interno e \(E_{int} = \frac{k}{2 \epsilon_o} \), che sono corretti.
Per i potenziali ho ragionato ponendo nullo il potenziale all'infinito
Caso interno:
\(V(r) - V(\infty) = V(r) =\int_r^{\infty} E dr = \int_r^{R} E_{int} dr + \int_R^{\infty} E_{ext} dr = - \frac{kr}{2 \epsilon_0}+\frac{kR}{ \epsilon_0} \)
Caso esterno:
\(V(r) - V(\infty)= V(r) =\int_r^{\infty} E dr = \int_r^{\infty} E_{ext} dr = \frac{kR^2}{2 \epsilon r} \)
Il testo invece restituisce un risultato "al contrario" cioè
\( V_{int} = - \frac{kr}{2 \epsilon_0} \)
e
\(V_{ext} = \frac{kR^2}{2 \epsilon_0 r} - \frac{kR}{ \epsilon_0} \)
Sbaglio con qualche segno o mi perdo qualche nozione di teoria ?
avevo un dubbio in merito a questo esercizio
Data una distribuzione volumica di carica di una sfera con densità \( \rho (r) = k/r \) trovare campi e potenziali interni e esterni
Per i campi ho applicato il teorema di Gauss trovando in valori \(E_{ext} = \frac{kR^2}{2 \epsilon_0 r^2} \) all'interno e \(E_{int} = \frac{k}{2 \epsilon_o} \), che sono corretti.
Per i potenziali ho ragionato ponendo nullo il potenziale all'infinito
Caso interno:
\(V(r) - V(\infty) = V(r) =\int_r^{\infty} E dr = \int_r^{R} E_{int} dr + \int_R^{\infty} E_{ext} dr = - \frac{kr}{2 \epsilon_0}+\frac{kR}{ \epsilon_0} \)
Caso esterno:
\(V(r) - V(\infty)= V(r) =\int_r^{\infty} E dr = \int_r^{\infty} E_{ext} dr = \frac{kR^2}{2 \epsilon r} \)
Il testo invece restituisce un risultato "al contrario" cioè
\( V_{int} = - \frac{kr}{2 \epsilon_0} \)
e
\(V_{ext} = \frac{kR^2}{2 \epsilon_0 r} - \frac{kR}{ \epsilon_0} \)
Sbaglio con qualche segno o mi perdo qualche nozione di teoria ?
Risposte
Non ho controllato i passaggi, ma sbagli gli estremi di integrazione e quindi la differenza di potenziale.
Quali sono gli estremi da considerare nel caso "interno"? E nel caso "esterno"?
Quali sono gli estremi da considerare nel caso "interno"? E nel caso "esterno"?
"elevenplume":
... Per i potenziali ho ragionato ponendo nullo il potenziale all'infinito
Mentre, come evidente dal risultato ufficiale, il solutore lo ha assunto nullo al centro della sfera.
Di conseguenza, entrambi le soluzioni sono corrette [nota]Come puoi notare differiscono per un termine costante pari a \(\frac{kR}{ \epsilon_0}\), ovvero il tuo potenziale del centro della sfera.[/nota], ma qualora il testo non avesse specificato quale punto considerare come riferimento a zero per il potenziale, la tua soluzione sarebbe la più "classica".
Ti ringrazio!
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