Potenziale Elettrostatico nel centro di un anello
Salve ragazzi , vorrei sapere se la mia risoluzione di tale esercizio è corretta .
Un anello sottile di raggio R porta una carica $3Q$ distribuita uniformemente su $\frac{3}{4}$ della sua lunghezza e una carica $-Q$ distribuita uniformemente sulla rimanente lunghezza. Quanto vale il potenziale elettrostatico nel centro dell'anello?
Possibile Risoluzione :
Dispongo l'anello in un piano xy . il suo campo elettrico sarà nel verso di z .
Definisco le densità di carica lineare $\lambda_1=\frac{3Q}{2\pi\r}$ e $\lambda_2=\frac{-Q}{2\pi\r}$ da cui
$E_1=K_e \int_{\gamma} \frac{\lambda_1 dl}{r^2} = K_e \int_0^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\lambda_1 Rd\phi}{R^2 + z^2}=\frac{3\pi K_e R \lambda_1}{R^2 + z^2}$
$E_2=K_e \int_{\gamma} \frac{\lambda_2 dl}{r^2} = K_e \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \frac{\lambda_2 Rd\phi}{R^2 + z^2}=\frac{\pi K_e R \lambda_2}{2(R^2 + z^2)}$
$E=E_1+E_2=\frac{\pi K_e R}{R^2 +z^2}[\lambda_1 +\frac{lambda_2}{2}]$
$\phi (0) = - int E dr = -\frac{\pi K_e r }{R}[\lambda_1 +\frac{lambda_2}{2}] + C$
Un anello sottile di raggio R porta una carica $3Q$ distribuita uniformemente su $\frac{3}{4}$ della sua lunghezza e una carica $-Q$ distribuita uniformemente sulla rimanente lunghezza. Quanto vale il potenziale elettrostatico nel centro dell'anello?
Possibile Risoluzione :
Dispongo l'anello in un piano xy . il suo campo elettrico sarà nel verso di z .
Definisco le densità di carica lineare $\lambda_1=\frac{3Q}{2\pi\r}$ e $\lambda_2=\frac{-Q}{2\pi\r}$ da cui
$E_1=K_e \int_{\gamma} \frac{\lambda_1 dl}{r^2} = K_e \int_0^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\lambda_1 Rd\phi}{R^2 + z^2}=\frac{3\pi K_e R \lambda_1}{R^2 + z^2}$
$E_2=K_e \int_{\gamma} \frac{\lambda_2 dl}{r^2} = K_e \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \frac{\lambda_2 Rd\phi}{R^2 + z^2}=\frac{\pi K_e R \lambda_2}{2(R^2 + z^2)}$
$E=E_1+E_2=\frac{\pi K_e R}{R^2 +z^2}[\lambda_1 +\frac{lambda_2}{2}]$
$\phi (0) = - int E dr = -\frac{\pi K_e r }{R}[\lambda_1 +\frac{lambda_2}{2}] + C$
Risposte
"MillesoliSamuele":
Possibile Risoluzione :
Dispongo l'anello in un piano xy . il suo campo elettrico sarà nel verso di z .
Qui mi fermo perché già qui non ci siamo.
Mica si tratta di un anello di corrente, mica devi calcolare il campo magnetico!
Il campo elettrico è nel verso di allontanamento dalle cariche positive e di avvicinamento alle cariche negative.
Dunque il campo nel centro dell'anello giace sul piano xy.
Supponendo l'anello centrato in O del sistema xy, e girando in senso antiorario a partire dal semiasse positivo della x, supponiamo che la carica negativa inizi a partire dall'angolo di 45° e proceda fino all'angolo di 135° (carica positiva da 135° a 45°). In questo caso il campo elettrico in O è orientato come l'asse y.
E, visto che lo scopo dell'esercizio è quello, usare direttamente il potenziale?
Ma dato che ho considerato solo il modulo del campo , il ragionamento successivo è errato?
Cosa sono $R$ e $r$? Se usi direttamente il potenziale risolvi banalmente. Perché passare dal campo?
R è il raggio dell'anello ed r la distanza dall'origine ad un punto P dello spazio. Ok ci provo.
$\phi(0)=\int \frac{K_e \lambda dl}{R}$
$\lambda_1=\frac{3Q}{2\piR}$ e $\lambda_2=\frac{-Q}{2\piR}$
$\phi(0)=\int \frac{K_e \lambda dl}{R}=\int_0^{\frac{3\pi}{2}} K_e \frac{3Q}{2\piR} d\psi + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} K_e \frac{-Q}{2\piR} d\psi =2K_e\frac{Q}{R} + C$
$\lambda_1=\frac{3Q}{2\piR}$ e $\lambda_2=\frac{-Q}{2\piR}$
$\phi(0)=\int \frac{K_e \lambda dl}{R}=\int_0^{\frac{3\pi}{2}} K_e \frac{3Q}{2\piR} d\psi + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} K_e \frac{-Q}{2\piR} d\psi =2K_e\frac{Q}{R} + C$
Ok.
Grazie ragazzi! 
Vista la costanza della distanza non serviva scomodare nessun integrale ma bastava considerare il potenziale relativo alla carica netta totale 2Q.
Hai ragione...non ci avevo pensato.
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