Potenziale di due conduttori

[Izzo2]

Ho una difficoltà con il punto $b)$ di questo esercizio.
Avevo calcolato $V2 = (q1 +q2)/ (4piepsilonR2)$ e successivamente $V3 = (q1 +q2)/ (4piepsilonR3)$ visto che dovevo trovarli rispetto all'infinito. Quindi
$V= V2+V3 = (q1 +q2)/ (4piepsilon) * (1/(R2) + 1/(R3))$.
Il libro però porta come risultato
$V= (q1 +q2)/ (4piepsilon) * (1/(R2+R3))$. Dove sbaglio?

[donald_zeka]

C2 e C3, una volta in contatto sono un unico conduttore e quindi sono allo stesso potenziali e la carica q2 che prima era su C2 adesso è ridistribuita tra C2 e C3. Chiama $q$ la quantità di carica che da C2 è passata su C3, dato che C2 e C3 sono equipotenziali deve valere V2=V3 e quindi:

$(q_1+q_2-q)/(4piepsilon_0R_2)=q/(4piepsilon_0R_3)$

Risolvi questa equazione e trovi q e quindi da li il potenziale delle due sfere.

[Izzo2]

scusa Vulplasir non mi fa vedere la formula che hai scritto, esce scritto [Math processing error]

[donald_zeka]

Ora si dovrebbe vedere.

[Izzo2]

Si, trovo $q$, sostituisco e mi trovo.
Però non ho ben capito la logica. Perchè nella prima equazione c'è $-q$ e nella seconda equazione non ci sono $q_1 $ e $q_2 $ e il segno di $q$ è positivo?

[donald_zeka]

Sulla sfera 2 è presente la carica q2 in superficie e la carica q1 dentro di essa. Quando si mettono in contatto la sfera 2 e la sfera 3, si ha che la carica q2 presente sulla sfera 2 si ridistribuisce tra la sfera 2 e la 3, mentre la carica q1 resta li dov'è dato che non è in contatto con le altre due sfere. Pertanto se si chiama q la parte di carica che dalla sfera 2 passa alla sfera 3, si ha che la carica totale presente sulla sfera 3 è q, mentre sulla superficie della sfera 2 è rimasta una carica q2-q (ossia q2 meno la parte di carica che si è trasferita sulla sfera 3, ossia q).
Per calcolare il potenziale rispetto all'infinito delle sfere 2 e 3 si calcola il campo elettrico da loro generato e se ne fa l'integrale da r all'infinito. Per calcolare il campo elettrico generato dalle sfere 2 e 3 usi il teorema di gauss e poi quindi calcoli il potenziale.

[Izzo2]

Quello che non mi è chiaro è perchè c'è questa nuova carica $q$. Riferendomi alla prima equazione, se ragiono per induzione ho che sulla sfera 3 si ha (riguardo alla carica $q_1$) : $q_1 - q_1 + q_1 - q_1 + q_1 $ cioè $q_1$ sommando algebricamente.
Per la carica $q_2$ invece $q_2 - q_2 + q_2$ cioè $q_2$
Quindi sulla sfera 3 ho $q_1 + q_2$ .. uffa.. sto facendo confusione.. perchè poi mi troverei uguale anche all'altra equazione, solo con i raggi diversi al denominatore

[donald_zeka]

Non c'entra niente l'induzione. Tu hai due sfere, se le metti a contatto esse diventano un UNICO CONDUTTORE e quindi la carica che era sulla superficie della prima sfera si ridistribuisce tra le due sfere

[Izzo2]

Ti posto un esempio svolto del libro : due sfere conduttrici, di raggi $R_1$ e $R_2$ sono poste a distanza molto grande rispetto a $R_1$ e $R_2$ e sono collegate tramite un filo conduttore. Su $R_1$ è presente carica $q_1$ e su $R_2$ carica $q_2$.
Si ha che $q_1/ (4piepsilon_0 R_1) = V_1 = V_2 = q_2/(4piepsilon_0 R_2)$.
Nel mio caso io non so quale carica ci sia su $R_3$... se lo sapessi, ragionando come l'esempio del libro, avrei scritto (nel caso in cui su $R_3$ ci fosse carica $q_3$):
$(q_1+ q_2)/ (4piepsilon_0 R_2) = V_2 = V_3 = q_3/(4piepsilon_0 R_3)$.

[donald_zeka]

Su R3 c'è la carica q! Perché R3 è in contatto con la superficie di R2 e la carica q2 presente sulla superficie di R2 si RIDISTRIBUISCE tra R2 e R3 in modo che il conduttore formato da R2 e R3 sia equipotenziale. Quindi se prima che fossero in contatto sulla superficie di R2 c'era q2 e sulla superficie di R3 non c'era niente, DOPO che sono state messe in contatto una parte di q2 si è trasferita su R3, questa parte la chiamiamo q, quindi sulla superficie di R2 è rimasta una carica q2-q (ossia la differenza tra la carica q2 iniziale e quella che si è trasferita su R3). Per determinare q usi quell'equazione di prima.

[donald_zeka]

Quindi, correggi in base a quello che ti ho detto quello che hai scrtto, ossia:

$(q1+q2)/(4πε0R2)=V2=V3=(q3)/(4πε0R3)$

Sapendo che $q3=q$ e che quindi $q2$ è diminuito ed è diventato $q2-q$

[Izzo2]

Perfetto, se però su $R_3$ ci fosse stato PRIMA DEL COLLEGAMENTO la carica $q_3$ allora dovevo scrivere l'ultima equazione che ho scritto nel commento precedente,e non quella da te citata qualche commento fa,giusto?

[Izzo2]

Ho capito,grazie mille

[donald_zeka]

Anche se su R3 ci fosse stato, prima del collegamento, una carica q3, quando si collegavano R2 e R3 le loro cariche si sarebbero ridistribuite lo stesso, e quindi non potevi scrivere l'equazione che hai scritto prima perché non sai quale carica effettiva c'è su R2 e su R3 dopo che le cariche si sono ridistribuite.

[Izzo2]

E perché nell'esempio del mio libro che ti ho citato prima non fa questo ragionamento? Scrive semplicemente $(q_1)/(4piepsilon_0 R_1)= (q_2)/(4piepsilon_0R_2)$...

[donald_zeka]

Perché nell'esempio le sfere sono già collegate e già si sa che su di loro sono presenti le cariche q1 e q2 (ossia q1 e q2 dell'esempio sono le cariche DOPO la ridistribuzione, infatti dice " due sfere sono poste a distanza molto grande tra loro e sono collegate da un filo conduttore, su una è presente q1 e sull'altra q2" lasciando intendere come il collegamento avvenga prima di sapere le cariche che ci sono su di loro.). Nel nostro problema invece è diverso, sappiamo quali sono le cariche prima del collegamento, ma quando si collegano queste cariche poi si ridistribuiscono.

[Izzo2]

OK allora mi è già più chiara la cosa. Ultima domanda, dopo non ti disturbo più visto che mi hai aiutato molto finora. Se avessi avuto prima del collegamento una carica $q_3$ su $R_3$, l'equazione come varia?

[donald_zeka]

Dovevi risolvere un sistema:

Chiami $Q_2$ la carica sulla superficie di $R_2$ dopo il collegamento, $Q_3$ la carica sulla superficie di $R_3$ dopo il collegamento, $q_2$ la carica sulla superficie di $R_2$ prima del collegamento e $q_3$ la carica sulla superficie di $R_3$ prima del collegamento.

Quando avviene il collegamento, le cariche $q_2$ e $q_3$ si ridistribuiscono tra $R_2$ e $R_3$ formando $Q_2$ e $Q_3$, ma dato che vale il principio di conservazione della carica, si deve avere:

$q_2+q_3=Q_2+Q_3$ (ossia la carica totale iniziale sulle superfici è uguali alla carica totale finale sulle superfici delle due sfere che si collegano perché la carica totale si deve conservare dato che siamo in un sistema isolato).

Il potenziale $V_2$ è:

$V_2=(q_1+Q_2)/(4piepsilonR_2)$

Il potenziale $V_3$ è:

$V_3=Q_3/(4piepsilonR_3)$

Dato che R_2 e R_3 sono collegati, allora essi formano un unico conduttore, e una delle proprietà dei conduttori è che le loro superfici sono equipotenziali, ossia $V_2=V_3$

$(q_1+Q_2)/(4piepsilonR_2)=Q_3/(4piepsilonR_3)$

Hai un sistema di due equazioni in due incognite ($Q_2$ e $Q_3$) che va risolto.

Chiaramente ponendo $q_3=0$ si ottiene il risultato dell'esercizio che hai proposto qui.

[Izzo2]

Sei stato gentilissimo, ho capito il concetto. Grazie mille e buonanotte

[Izzo2]

Sto avendo problemi anche con il punto $d)$ dell'esercizio. Sapendo che $U_e = 1/2 qDelta V$, trovo prima $DeltaV$ del sistema iniziale:
$ DeltaV_i = V_1 - V_2 = int_(R_1)^(R_2) E(R1
Quindi $U_i = 1/2 q_1 DeltaV_i = 9 * 10^-6 J$, completamente fuori strada rispetto alla soluzione del libro che porta

$U_i = 1/2 (q_1+q_2) (q_1+q_2)/(4piepsilon_0R_2) =20,25 muJ $.

Perchè esce una cosa del genere? Non mi trovo poi neanche nel calcolo dell'energia elettrostatica del sistema finale, ma meglio chiarire una cosa alla volta...

[donald_zeka]

La sfera interna a R2 è isolata e non ci interessa calcolare la sua energia dato che non varia ne prima ne dopo il collegamento, pertanto l'unica energia iniziale è quella posseduta da R2, ossia $1/2(q1+q2)^2/(4piepsilonR2)$