Potenziale cilindro coassiale
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di Fisica 2.
Il testo dice: sia dato un cilindro infinito (non metallico) di raggio R e densità di carica $\rho=ar$, circondato da un guscio metallico coassiale e scarico; calcolare il campo elettrico e il potenziale elettrico.
Il raggio del cilindro interno è R, il raggio interno del cilindro coassiale è 2R e il raggio esterno dello stesso cilindro è 3R.
Il campo elettrico mi risulta:
0
e fin qui credo (e spero) sia giusto.
Per calcolare il potenziale comincio dall'esterno, quindi imposto:
$V(r)-V(oo)=-\int_{oo}^{r} aR^3/(3εr) dr$
Essendo $V(oo)=0$, mi risulta che $V(r)=-aR^3/(3ε)lnr$ valutato tra $oo$ e $r$. Ma a questo punto come sistemo questa cosa? Verrebbe $V(r)=aR^3/(3ε)ln(oo/r)$
Spero di essere stato chiaro, grazie in anticipo per l'aiuto!
Il testo dice: sia dato un cilindro infinito (non metallico) di raggio R e densità di carica $\rho=ar$, circondato da un guscio metallico coassiale e scarico; calcolare il campo elettrico e il potenziale elettrico.
Il raggio del cilindro interno è R, il raggio interno del cilindro coassiale è 2R e il raggio esterno dello stesso cilindro è 3R.
Il campo elettrico mi risulta:
0
e fin qui credo (e spero) sia giusto.
Per calcolare il potenziale comincio dall'esterno, quindi imposto:
$V(r)-V(oo)=-\int_{oo}^{r} aR^3/(3εr) dr$
Essendo $V(oo)=0$, mi risulta che $V(r)=-aR^3/(3ε)lnr$ valutato tra $oo$ e $r$. Ma a questo punto come sistemo questa cosa? Verrebbe $V(r)=aR^3/(3ε)ln(oo/r)$
Spero di essere stato chiaro, grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Ti ricordi il ragionamento quando assumi $V(infty)=0$ ? Se hai una distribuzione di carica al finito, i singoli campi sono tutti proporzionali a $ 1/r^2 $ e quindi all'infinito tendono a zero, per cui puoi determinare la costante nell'espressione del potenziale grazie a questa condizione, dicendo che anche il potenziale si annullerà.
Con distribuzioni di carica all'infinito non è possibile fare lo stesso ragionamento perchè all'infinito hai carica, e quindi campi non nulli.
Per cui, la differenza di potenziale tra due punti è sempre ben definita $ V(r)-V(r_0)=int_(r)^(r_0) bar(E)*dbar(s) $ ma la costante $ V(r_0) $ deve essere indeterminata (o posta uguale a zero se $ r_0!=infty $ in questo senso s'intende il potenziale nullo riferito a $ r_0 $ ), ciò non preclude il calcolo del lavoro infatti la generica differenza di potenziale $ V(r_1)-V(r_2)= V(r_1)-V(r_0)-V(r_2)+V(r_0)=int_(r_1)^(r_2) bar(E)*dbar(s) $ è ben definita.
Con distribuzioni di carica all'infinito non è possibile fare lo stesso ragionamento perchè all'infinito hai carica, e quindi campi non nulli.
Per cui, la differenza di potenziale tra due punti è sempre ben definita $ V(r)-V(r_0)=int_(r)^(r_0) bar(E)*dbar(s) $ ma la costante $ V(r_0) $ deve essere indeterminata (o posta uguale a zero se $ r_0!=infty $ in questo senso s'intende il potenziale nullo riferito a $ r_0 $ ), ciò non preclude il calcolo del lavoro infatti la generica differenza di potenziale $ V(r_1)-V(r_2)= V(r_1)-V(r_0)-V(r_2)+V(r_0)=int_(r_1)^(r_2) bar(E)*dbar(s) $ è ben definita.
Grazie per la spiegazione, ma non credo di aver capito bene. Mi potresti scrivere esplicitamente come diventerebbe quindi il potenziale per r>3R che magari mi è più chiaro? Grazie
Il potenziale riferito all'infinito non è calcolabile, solo la funzione $ V(r)-V(r_0) $ lo è. Per cui integra tra $ r $ e un punto a $ r_0 $ a tua scelta, per esempio la superficie del cilindro? Quello che puoi fare poi è porre $ V(r_0)=0 $ (o al valore che ti può essere fornito) e $V(r) $ rappresenterà il potenziale riferito a $ r_0 $.
Grazie mille, credo di aver capito! Evidentemente devo mettere $V(3R)=0$ (dove 3R è appunto il raggio esterno del cilindro coassiale) proprio perché nel testo mi viene detto che il guscio metallico è SCARICO, giusto?
Esatto per scarico intende a potenziale nullo (o di riferimento). Una cosa che puoi notare è che per esempio nel campo di un filo indefinito $ dW=qlambda/(2pi epsilon_0 r)dr $ è il lavoro per spostare una carica, se $q $ e $ lambda $ sono positivi l'integrale del lavoro non converge e quindi hai bisogno di infinita energia per spostare la carica da una distanza $ R$ all'infinito.
Ok, grazie mille! Sei stato chiarissimo!
"luc.mm":
Esatto per scarico intende a potenziale nullo (o di riferimento).
Scusa, ma scarico vuol solo dire scarico, ovvero con carica netta nulla, il riferimento a potenziale zero lo scegliamo indipendentemente dallo stato di carica, in un punto qualsiasi.
Hai ragione, pensavo che intendesse collegato a terra. A volte ho letto espressioni del tipo scarica a terra. Qui si intende invece inizialmente scarico.
Ma allora è giusto lo stesso considerare nullo il potenziale sul bordo esterno del cilindro coassiale?
Altra domanda, supponendo di porre un sistema di assi cartesiani centrato nel centro delle circonferenze concentriche del cilindro sezionato, come si calcolerebbe il lavoro per portare una carica dal punto (3R,0) al punto (0,-4R)?
Altra domanda, supponendo di porre un sistema di assi cartesiani centrato nel centro delle circonferenze concentriche del cilindro sezionato, come si calcolerebbe il lavoro per portare una carica dal punto (3R,0) al punto (0,-4R)?
Si il potenziale è definito a meno di una costante, quindi puoi porla uguale a zero ad esempio ed hai lo stesso campo. Non è tanto il valore della costante che importa quanto l'integrale che calcoli per trovare il potenziale che deve convergere, una volta trovata una differenza di potenziale convergente la costante è irrilevante, la differenza di potenziale da un punto all'infinito in questo caso non ha integrale convergente e quindi non è ben definita, e te ne accorgi giustamente.
Il campo dipende solo dalla distanza dall'asse quindi per qualsiasi percorso che unisce due punti importa solo quella. In questo caso le distanze dall'asse sono facilmente calcolabili.
Ti ho scritto le formule così capisci.
$W=q(V(3R)-V(4R))=q(V(3R)-V(r_0)+V(r_0)-V(4R))=q int_(3R)^(4R) bar(E)* bar(u)_rdr $
Calcolata la funzione $ V(r)-V(r_0) $ è chiaro che tutte le differenze di potenziale e lavori sono ben definite, a meno che vai all'infinito.
Il campo dipende solo dalla distanza dall'asse quindi per qualsiasi percorso che unisce due punti importa solo quella. In questo caso le distanze dall'asse sono facilmente calcolabili.
Ti ho scritto le formule così capisci.
$W=q(V(3R)-V(4R))=q(V(3R)-V(r_0)+V(r_0)-V(4R))=q int_(3R)^(4R) bar(E)* bar(u)_rdr $
Calcolata la funzione $ V(r)-V(r_0) $ è chiaro che tutte le differenze di potenziale e lavori sono ben definite, a meno che vai all'infinito.
Ok, però avendo definito il potenziale $V(3R)=0$ a questo punto non sarebbe nullo anche il lavoro?
No.
Tu hai la funzione $V(r)-V(3R)=-\int_{3R}^{r} aR^3/(3εr) dr $ e ti serve $ V(3R)-V(4R) $. Basta calcolarla in $ 4R $ e cambiare segno no? Porre a potenziale nullo il riferimento significa che la tua funzione $V(r)=-\int_{3R}^{r} aR^3/(3εr) dr $ rappresenta le differenze di potenziale rispetto al riferimento. Valutata da qualche parte significa il valore di $ V(r)-V(3R) $ chiamiamola $ V'(r) $ allora $ W= q(V'(3R)-V'(4R))=q(V(3R)-V(3R)-V(4R)+V(3R))=V(3R)-V(4R) $.
Se sei incerto non mettere la costante a zero e tienila nella formula, il tuo potenziale sarà quindi $V(r)=C-\int_{3R}^{r} aR^3/(3εr) dr $.
Diciamo che a te basta una differenza di potenziale tra un generico punto a distanza $ r $ e uno fisso $ r_0 $ per poterti calcolare tutte le d.d.p. tranne quelle che valgono infinito.
Tu hai la funzione $V(r)-V(3R)=-\int_{3R}^{r} aR^3/(3εr) dr $ e ti serve $ V(3R)-V(4R) $. Basta calcolarla in $ 4R $ e cambiare segno no? Porre a potenziale nullo il riferimento significa che la tua funzione $V(r)=-\int_{3R}^{r} aR^3/(3εr) dr $ rappresenta le differenze di potenziale rispetto al riferimento. Valutata da qualche parte significa il valore di $ V(r)-V(3R) $ chiamiamola $ V'(r) $ allora $ W= q(V'(3R)-V'(4R))=q(V(3R)-V(3R)-V(4R)+V(3R))=V(3R)-V(4R) $.
Se sei incerto non mettere la costante a zero e tienila nella formula, il tuo potenziale sarà quindi $V(r)=C-\int_{3R}^{r} aR^3/(3εr) dr $.
Diciamo che a te basta una differenza di potenziale tra un generico punto a distanza $ r $ e uno fisso $ r_0 $ per poterti calcolare tutte le d.d.p. tranne quelle che valgono infinito.
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