Potenza in un problema di fluidodinamica

[lotuno]

Salve a tutti, propongo un problema di fluidodinamica in cui mi si chiede (tra le varie cose) di trovare la potenza estraibile dall'acqua se le turbine della centrale ne dimezzano la velocità. I dati di partenza sono h = 130m che è l'altezza del dislivello tra bacino di alimentazione e turbine, d = 80cm che è il diametro della condotta. Il primo punto chiedeva di calcolare la velocità, cosa facile utilizzando la classica $v = sqrt(2gh)$. Adesso mi chiede la potenza (tenendo presente che le turbine dimezzano la velocità dell'acqua), e mi sorge un dubbio riguardo alle unità di misura: in altri tipi di problemi avevo sempre calcolato la potenza come $Q*rho*h*g$ con Q = portata, rho = densità, g = acc.gravità e h = altezza del dislivello. In questo caso però la velocità viene dimezzata, quindi teoricamente non posso usare la portata (altrimenti l'area del condotto dovrebbe raddoppiarsi per l'equazione di continuità). Andando a vedere la formula propinata dal testo, noto che per lui $W = (3pi/32)*rho*(d^2)*(v^3)$ che dimensionalmente è giusta, ma non riesco proprio fisicamente a concepire. Avevo pensato che quel $pi(d^2)/4$ fosse l'area della sezione del tubo, e $(v^3)/8$ fosse la velocità dimezzata... ma anche così facendo mi trovo con un $3rho$ di cui non mi capacito... qualcuno ha qualche suggerimento? Grazie mille

[professorkappa]

Il lavoro fatto PER UNITA' DI PESO del liquido e' la differenza delle due velocita' all'ingresso e all'uscita della turbina:

$ L=1/{2g}[w_1^2-w_2^2] $ (1)

tenendo conto conto che

$ w_2=1/2w_1 $ la (1) si puo riscrivere come

$ L=3/8w^2/g $

Questo lavoro, moltiplicato per la portata IN PESO, ti da la potenza W.

La portata in peso e' uguale alla portata volumetrica $ Q_V=S*w=(\pid^2}/4*w [m^3/sec]$ molitpilicata per il peso $\rho*g$

Cioe: $ Q_p=(\pid^2}/4*w*\rhog $

Per cui $ W = 3/8w^2/g*(\pid^2}/4*w*\rhog=3/32\pid^2w^3*\rho $