Posizione di equilibrio di una massa posta tra due molle in verticale
Devo trovare la posizione di equilibrio di una massa puntiforme posta tra due molle in verticale. Le molle si trovano vincolate a due pareti.
So che la lunghezza a riposo di ciascuna delle due molle è L e che le molle hanno la stessa costante elastica k.
Innanzitutto non capisco come le forze elastiche siano orientate. Come si fa a sapere se si trovano in elongazione o in compressione?
So solo che la lunghezza a riposo è L e poi non conosco la lunghezza tra le due pareti, quindi ho ipotizzato che la lunghezza tra le due pareti sia 2L ma non sono sicuro.
So che la lunghezza a riposo di ciascuna delle due molle è L e che le molle hanno la stessa costante elastica k.
Innanzitutto non capisco come le forze elastiche siano orientate. Come si fa a sapere se si trovano in elongazione o in compressione?
So solo che la lunghezza a riposo è L e poi non conosco la lunghezza tra le due pareti, quindi ho ipotizzato che la lunghezza tra le due pareti sia 2L ma non sono sicuro.
Risposte
Eccoti, ciao
Allora, mi figuro che si tratti di questo:
pensiamo ad un sola molla. La sua lunghezza a riposo è $L_0$. Immaginiamo $d >= L_0$. La sua lunghezza attuale è $L = sqrt(d^2 + h^2)$ e per l'allungamento $Delta L$ togliamo L.
La forza che esercita è $F = k * Delta L$, e ha la direzione della molla. La componente verticale, che equilibra metà del peso dell'oggetto, si ottiene da $F_v = F * h/L$.
Alla fine, complicazioni matematiche a parte, hai una equazione dove la sola incognita è h.
Allora, mi figuro che si tratti di questo:
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pensiamo ad un sola molla. La sua lunghezza a riposo è $L_0$. Immaginiamo $d >= L_0$. La sua lunghezza attuale è $L = sqrt(d^2 + h^2)$ e per l'allungamento $Delta L$ togliamo L.
La forza che esercita è $F = k * Delta L$, e ha la direzione della molla. La componente verticale, che equilibra metà del peso dell'oggetto, si ottiene da $F_v = F * h/L$.
Alla fine, complicazioni matematiche a parte, hai una equazione dove la sola incognita è h.
Scusami si tratta di questo
Beh, ancora più facile. Se chiami $2d$ la distanza delle pareti, e $x$ la distanza della massa dal punto medio, trovi che la molla di sopra ha un allungamento $Delta L_1 = d + x - L_0$ e la molla di sotto $Delta L_2 = d - x -L_0$.
Nota che non hai bisogno di sapere prima se è un allungamento o una compressione, basta vedere il segno di questi "allungamenti".
Dopo di che, le forze sulla massa sono (consideriamo positive le forze in giù): il suo peso, $mg$; la forza della molla di sopra $-1 * k* Delta L_1$; la forza della molla di sotto $k * Delta L_2$, la somma dev'essere zero...
Nota che non hai bisogno di sapere prima se è un allungamento o una compressione, basta vedere il segno di questi "allungamenti".
Dopo di che, le forze sulla massa sono (consideriamo positive le forze in giù): il suo peso, $mg$; la forza della molla di sopra $-1 * k* Delta L_1$; la forza della molla di sotto $k * Delta L_2$, la somma dev'essere zero...
non ho ben chiaro d+x e d-x. Da quello che hai scritto mi sembra di aver capito che hai supposto che entrambe le molle siano allungate, o mi sbaglio?
No. Se $d = L_0$ quella di sopra è allungata e quella di sotto compressa, ma se $d >L_0$ possono essere tutte e due allungate, e se $d < L_0$ possono essere tutte e due compresse. In effetti non c'è bisogno di saperlo, perchè $d +-x$ sono le lunghezze effettive, e togliendo $L_0$ ottieni l'allungamento, col suo segno.
se la lunghezza a riposo è L e d=L, non capisco come faccia una ad essere allungata e l'altra compressa.
Io penso che se la distanza tra le due pareti è 2d, le molle non possono essere tutte e due allungate, e nemmeno tutte e due compresse.
"jack066":
se la lunghezza a riposo è L e d=L, non capisco come faccia una ad essere allungata e l'altra compressa.
Mi sfugge il problema. Con $d$ intendo la META' distanza delle due pareti. Se $d = L$ e la massa non c'è le due molle si incontrano a metà, e sono entrambe a riposo. Se mettiamo la massa, questa si sposta dal centro verso il basso di $x$, così la molla di sopra diventa lunga $d+x > L$ (si allunga) e la molla di sotto diventa $d-x < L$ (compressa)
"jack066":
Io penso che se la distanza tra le due pareti è 2d, le molle non possono essere tutte e due allungate, e nemmeno tutte e due compresse.
Se il soffitto e pavimento distano 4m, e hai due molle lunghe 1m ciascuna, ne attacchi una al soffitto, l'altra al pavimento, e poi unisci gli altri due capi, diventano tutt'e due lunghe 2m, cioè sono entrambe allungate.
Se poi nel punto di mezzo ci metti una massa abbastanza piccola, quella di sopra diventerà magari 2,1m e quella di sotto 1,9m e sono ancora allungate.
ma visto che non importa sapere se stanno in compressione o in allungamento, il segno delle forze elastiche in base a cosa lo stabiliamo?
Non ci interessa saperlo "in anticipo", ma poi lo sappiamo. Se è più lunga di L, tira; se è più corta, spinge
Allora perchè hai dato il segno negativo allo spostamento della molla 1 e il segno positivo allo spostamento della molla 2.
Vedo che assegnando lo stesso segno la x si annulla e quindi non si può ricavare la x di equilibrio.
Vedo che assegnando lo stesso segno la x si annulla e quindi non si può ricavare la x di equilibrio.
Ho messo il segno meno alla molla 1 perchè, se l'allungamento è positivo, la molla tira, ma tira in SU; viceversa, un allungamento positivo della molla 2, fa sì che questa tiri in GIU'.
Cioè, non sappiamo se gli allungamenti sono positivi o negativi, siano come siano. Però sappiamo come dobbiamo trattarli, cioè cambiare segno al primo e tenere com'è il secondo
Cioè, non sappiamo se gli allungamenti sono positivi o negativi, siano come siano. Però sappiamo come dobbiamo trattarli, cioè cambiare segno al primo e tenere com'è il secondo
Quindi praticamente non sapendo se sono allungamenti positivi o negativi assumiamo che entrambe le molle abbiano un allungamento positivo, giusto?
Ma no!!! Non abbiamo bisogno di assumere niente.
Una volta che abbiamo scritto $Delta L = d +-x - L_0$ e che abbiamo preso col segno meno quello della molla di sopra e viceversa, poi l'aritmetica lavora per noi, e ci dà il risultato giusto senza che noi neppure sappiamo se le molle sono tese o compresse.
Fai una prova, prendi dei valori numerici: $d = 2m$, $L_0 = {1m ; 2m; 3m}$, $k = 100N/m$, $m = 0.2 Kg$
Nei tre casi le molle sono: entrambe tese; una tesa e una compressa; entrambe compresse. Ma vedrai che ti viene sempre lo stesso risultato.
Una volta che abbiamo scritto $Delta L = d +-x - L_0$ e che abbiamo preso col segno meno quello della molla di sopra e viceversa, poi l'aritmetica lavora per noi, e ci dà il risultato giusto senza che noi neppure sappiamo se le molle sono tese o compresse.
Fai una prova, prendi dei valori numerici: $d = 2m$, $L_0 = {1m ; 2m; 3m}$, $k = 100N/m$, $m = 0.2 Kg$
Nei tre casi le molle sono: entrambe tese; una tesa e una compressa; entrambe compresse. Ma vedrai che ti viene sempre lo stesso risultato.
Si, ho capito!!
Grazie davvero di essere stato disponibile
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