Portata variabile
ciao ragazzi
un recipiente cilindrico di altezza H=2 metri e diametro D=0,5 metri viene alimentato da un rubinetto, sul fondo c'è un foro di diametro d1=0,02 metri
il rubinetto viene chiuso, in quando tempo di svuota il recipiente?
io ho fatto
$v=(dh)/(dt)=sqrt(2gh)$
$int_0^H (dh)/sqrt(2gh)=t$
però non viene, deve venire 400 secondi, a me cosi viene un numero minore di 1
grazie
(probabilmente alcuni dati sono sovrabbondanti, servivano per altre domande)
un recipiente cilindrico di altezza H=2 metri e diametro D=0,5 metri viene alimentato da un rubinetto, sul fondo c'è un foro di diametro d1=0,02 metri
il rubinetto viene chiuso, in quando tempo di svuota il recipiente?
io ho fatto
$v=(dh)/(dt)=sqrt(2gh)$
$int_0^H (dh)/sqrt(2gh)=t$
però non viene, deve venire 400 secondi, a me cosi viene un numero minore di 1
grazie
(probabilmente alcuni dati sono sovrabbondanti, servivano per altre domande)
Risposte
Ma il rubinetto viene chiuso quando il serbatoio è pieno ? Non è chiaro.
La velocita di efflusso $v = sqrt(2gh)$ vale quando $h$ è costante. Qui è variabile. Più il liquido cala, e minore è la velocità.
Dato un serbatoio che contiene un volume di liquido $V$ , e dette $Q_e $ e $Q_u$ la portata entrante e la portata uscente, in un tempo elementare $dt$ la variazione del volume è data da :
$dV = (Q_e - Q_u)dt $ (equazione dei serbatoi) .
Il serbatoio è cilindrico, di sezione $A =\pi*R^2$. Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto, con origine sul fondo, e indica con $z_i$ la quota iniziale del pelo libero, $z_f$ quella finale, inferiore alla prima.
Dal foro sul fondo, di area $a = \pir^2$, in un certo istante $t$ la portata che defluisce, funzione del tempo, è data da :
$Q_u(t) = a*sqrt(2gz(t))$
dove $z$ varia nel tempo tra le due quote dette. Se la portata entrante nel serbatoio è nulla, si ha :
$(dV)/(dt) = A(dz)/(dt) = - a * sqrt(2gz(t)) = -a*sqrt(2g)*z^(1/2) $
percio, separando le variabili : $ dt = -A/(a*sqrt(2g))*z^(-1/2)*dz $
e quindi, integrando tra i due istanti $t_1$ e $t_2$ a cui corrispondono i livelli $z_i$ e $z_f$ , si ottiene :
$\Deltat = (2A)/(a*sqrt(2g))( sqrt(z_i) - sqrt(z_f)) $
Se il foro è sul fondo e vogliamo il tempo per lo svuotamento completo, basta mettere $ z_f = 0$
e si ottiene : $\Delta t = (2Asqrt(z_i))/(asqrt(2g)) = (2Az_i)/(asqrt(2gz_i))$
Adesso mettici i tuoi dati , e verifica se va bene.
La velocita di efflusso $v = sqrt(2gh)$ vale quando $h$ è costante. Qui è variabile. Più il liquido cala, e minore è la velocità.
Dato un serbatoio che contiene un volume di liquido $V$ , e dette $Q_e $ e $Q_u$ la portata entrante e la portata uscente, in un tempo elementare $dt$ la variazione del volume è data da :
$dV = (Q_e - Q_u)dt $ (equazione dei serbatoi) .
Il serbatoio è cilindrico, di sezione $A =\pi*R^2$. Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto, con origine sul fondo, e indica con $z_i$ la quota iniziale del pelo libero, $z_f$ quella finale, inferiore alla prima.
Dal foro sul fondo, di area $a = \pir^2$, in un certo istante $t$ la portata che defluisce, funzione del tempo, è data da :
$Q_u(t) = a*sqrt(2gz(t))$
dove $z$ varia nel tempo tra le due quote dette. Se la portata entrante nel serbatoio è nulla, si ha :
$(dV)/(dt) = A(dz)/(dt) = - a * sqrt(2gz(t)) = -a*sqrt(2g)*z^(1/2) $
percio, separando le variabili : $ dt = -A/(a*sqrt(2g))*z^(-1/2)*dz $
e quindi, integrando tra i due istanti $t_1$ e $t_2$ a cui corrispondono i livelli $z_i$ e $z_f$ , si ottiene :
$\Deltat = (2A)/(a*sqrt(2g))( sqrt(z_i) - sqrt(z_f)) $
Se il foro è sul fondo e vogliamo il tempo per lo svuotamento completo, basta mettere $ z_f = 0$
e si ottiene : $\Delta t = (2Asqrt(z_i))/(asqrt(2g)) = (2Az_i)/(asqrt(2gz_i))$
Adesso mettici i tuoi dati , e verifica se va bene.
avevo gia provato anche questa soluzione ma non va bene
Non conosco altre formule. Controlla i dati. Del resto, 400 s = 6.7 min mi sembrano un po' pochi.
Anche supponendo una velocita costante (il che non è) , pari a $v = sqrt(2gH) = 6.26 m/s$ , con un foro di uscita di area $a =0.785*10^(-4) m^2$ e quindi una portata costante (il che non è) di $ Q = 4.9166*10^(-4) m^3/s$ , e il volume $V = AH = 0.392 m^3 $ , risulterebbe : $V/Q = 797 s $ .
Ma posso sbagliarmi.
Anche supponendo una velocita costante (il che non è) , pari a $v = sqrt(2gH) = 6.26 m/s$ , con un foro di uscita di area $a =0.785*10^(-4) m^2$ e quindi una portata costante (il che non è) di $ Q = 4.9166*10^(-4) m^3/s$ , e il volume $V = AH = 0.392 m^3 $ , risulterebbe : $V/Q = 797 s $ .
Ma posso sbagliarmi.
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