Piccoli dubbi
Scusate.
Ho 2 dubbi che non riesco a risolvere.
1) Io so che in un pendolo semplice la forza centripeta cambia. Quando sta all'altezza massima la velocità tangenziale è zero quindi la forza centripeta e il peso perpendicolare alla traiettoria si bilanciano.
Quando la massa raggiunge la verticale la forza centripeta è massima così come l'accelerazione centripeta.
La formula dovrebbe essere questa (il peso perpendicolare è ovviamente negativo, oppure impongo la tensione negativa ma una delle due forze deve esserlo):
\(\displaystyle Fc= \sum Fy = T+(P \times cos \theta ) \)
Mi chiedevo e se invece di un pendolo avessi un corpo puntiforme che ruota su una circonferenza verticale?
Dovrebbe essere tutto uguale no?
Per esempio, un motociclista che fa il giro della morte, è tutto ciò che mi viene in mente.
La formula, che il mio libro non dice, è questa, no?
\(\displaystyle Fc= \sum Fy = Fn+(P \times sin \theta ) \)
Dove \(\displaystyle Fn \) sarebbe la reazione esercitata dal piano sul motociclista che gira e \(\displaystyle P \) il peso del motociclista. Ovviamente la forza normale e il peso perpendicolare sono due vettori di verso opposto.
La cosa che non mi torna è unica. Quando il motociclista è sul punto più alto la forza normale dovrebbe essere nulla così come l'angolo \(\displaystyle \theta \) e quindi:
\(\displaystyle Fc= \sum Fy = P \)
Da ciò si dovrebbe dedurre quindi che
\(\displaystyle Vt= \sqrt{rg} \)
Dove \(\displaystyle Vt \) è la velocità tangenziale in quel punto, \(\displaystyle r \) il raggio della circonferenza e \(\displaystyle g \) 'accelerazione di gravità. Almeno questa dovrebbe essere la velocità che dovrebbe avere per non cadere, no?
Non avendo formule di questo genere nel libro ho dovuto improvvisare. Che ne dite, sono giuste?
2) Poi il secondo dubbio. Questo è un problema e non so come muovermi:
"Una sferetta di massa \(\displaystyle m \) è vincolata ad una molla elicoidale e il sistema massa-molla ruota su un piano orizzontale senza attrito con velocità angolare costante. Determinare:
-la costante elastica \(\displaystyle k \) della molla
-l'energia totale posseduta dal corpo
-la posizione della sferetta dopo un periodo \(\displaystyle T \) rispetto al punto nel quale un congegno sgancia la sferetta con un moto senza attrito.
Qui l'unica cosa che ho capito è che c'è una forza elastica e che questa è la forza centripeta ma ci sarebbero due incognite, la costante elastica k e la compressione della molla.
\(\displaystyle Fc=Fel=k\Delta x \)
Dal punto di vista energetico:
\(\displaystyle Etot=[Eelastica]+[Ecinetica] =[1/2]kx^2 +[1/2]m(Vt)^2 \)
Però rimangono comunque due incognite.
Il terzo punto è facile. Se la velocità angolare è costante anche la velocità tangenziale è costante. Quando il congegno libera la sfera sulla sfera non agiscono forze e questa si muove di moto rettilineo uniforme con velocità pari alla velocità tangenziale quindi:
\(\displaystyle S(T)=Vt \times T \)
Per favore datemi una piccola mano. Grazie.
Ho 2 dubbi che non riesco a risolvere.
1) Io so che in un pendolo semplice la forza centripeta cambia. Quando sta all'altezza massima la velocità tangenziale è zero quindi la forza centripeta e il peso perpendicolare alla traiettoria si bilanciano.
Quando la massa raggiunge la verticale la forza centripeta è massima così come l'accelerazione centripeta.
La formula dovrebbe essere questa (il peso perpendicolare è ovviamente negativo, oppure impongo la tensione negativa ma una delle due forze deve esserlo):
\(\displaystyle Fc= \sum Fy = T+(P \times cos \theta ) \)
Mi chiedevo e se invece di un pendolo avessi un corpo puntiforme che ruota su una circonferenza verticale?
Dovrebbe essere tutto uguale no?
Per esempio, un motociclista che fa il giro della morte, è tutto ciò che mi viene in mente.
La formula, che il mio libro non dice, è questa, no?
\(\displaystyle Fc= \sum Fy = Fn+(P \times sin \theta ) \)
Dove \(\displaystyle Fn \) sarebbe la reazione esercitata dal piano sul motociclista che gira e \(\displaystyle P \) il peso del motociclista. Ovviamente la forza normale e il peso perpendicolare sono due vettori di verso opposto.
La cosa che non mi torna è unica. Quando il motociclista è sul punto più alto la forza normale dovrebbe essere nulla così come l'angolo \(\displaystyle \theta \) e quindi:
\(\displaystyle Fc= \sum Fy = P \)
Da ciò si dovrebbe dedurre quindi che
\(\displaystyle Vt= \sqrt{rg} \)
Dove \(\displaystyle Vt \) è la velocità tangenziale in quel punto, \(\displaystyle r \) il raggio della circonferenza e \(\displaystyle g \) 'accelerazione di gravità. Almeno questa dovrebbe essere la velocità che dovrebbe avere per non cadere, no?
Non avendo formule di questo genere nel libro ho dovuto improvvisare. Che ne dite, sono giuste?
2) Poi il secondo dubbio. Questo è un problema e non so come muovermi:
"Una sferetta di massa \(\displaystyle m \) è vincolata ad una molla elicoidale e il sistema massa-molla ruota su un piano orizzontale senza attrito con velocità angolare costante. Determinare:
-la costante elastica \(\displaystyle k \) della molla
-l'energia totale posseduta dal corpo
-la posizione della sferetta dopo un periodo \(\displaystyle T \) rispetto al punto nel quale un congegno sgancia la sferetta con un moto senza attrito.
Qui l'unica cosa che ho capito è che c'è una forza elastica e che questa è la forza centripeta ma ci sarebbero due incognite, la costante elastica k e la compressione della molla.
\(\displaystyle Fc=Fel=k\Delta x \)
Dal punto di vista energetico:
\(\displaystyle Etot=[Eelastica]+[Ecinetica] =[1/2]kx^2 +[1/2]m(Vt)^2 \)
Però rimangono comunque due incognite.
Il terzo punto è facile. Se la velocità angolare è costante anche la velocità tangenziale è costante. Quando il congegno libera la sfera sulla sfera non agiscono forze e questa si muove di moto rettilineo uniforme con velocità pari alla velocità tangenziale quindi:
\(\displaystyle S(T)=Vt \times T \)
Per favore datemi una piccola mano. Grazie.
Risposte
Nel primo problema che vi ho detto ovviamente è implicito che non ci siano attriti. Un'altra cosa ovvia è che se il motociclista partisse da una certa altezza della circonferenza con velocità nulla si fermerebbe alla stessa altezza dall'altra parte con velocità nulla. Qui è implicito che il motociclista parta con una certa velocità tangenziale. Che so, per esempio si è fatto una lunga discesa su un piano inclinato e poi è entrato nella ruota.
"francogo":
Nel primo problema che vi ho detto ovviamente è implicito che non ci siano attriti. Un'altra cosa ovvia è che se il motociclista partisse da una certa altezza della circonferenza con velocità nulla si fermerebbe alla stessa altezza dall'altra parte con velocità nulla. Qui è implicito che il motociclista parta con una certa velocità tangenziale. Che so, per esempio si è fatto una lunga discesa su un piano inclinato e poi è entrato nella ruota.
Un po' come i giochi con le macchinine che acquistano velocità e sono in grado di fare un giro di 360° senza cadere.
Nessuno mi risponde. 
Per il giro della morte del motociclista, basta uguagliare, nel punto più alto, la forza centripeta al peso, per ottenere la minima velocità che deve avere la moto in quel punto per non cadere :
$mv^2/r = mg$
da cui : $v = sqrt(rg)$
come hai giustamente scritto tu.
Ci si può arrivare facendo il paragone con un pendolo messo in rotazione nel piano verticale. LA seconda equazione della Dinamica in forma vettoriale si scrive in questo caso :
$m\veca = \vecP + \vecT$
dove $\vecT$ è la tensione nel filo. Evidentemente, la minima velocità che il pendolo deve avere nel punto più alto senza che il filo si afflosci si ottiene per $\vecT = 0 $ . Nel caso della moto, la tensione del filo è sostituita dalla reazione $\vecR$ della guida sulla moto stessa: di questa reazione si sa in ogni punto la direzione, che in assenza di attrito è normale alla guida.
Per cui si ricava l'espressione scritta all'inizio per la moto ponendo $\vecR = 0$.
Tieni presente che nel punto più basso e nel punto più alto della circonferenza verticale l'accelerazione è tutta centripeta.
Adesso mi verrebbe voglia di chiederti : supponiamo che la moto viaggi su un piano orizzontale, tangente al cerchio nel punto più basso; con che velocità $v_0$ deve "entrare" nella traiettoria circolare, per arrivare nel punto più alto con la velocità minima prima calcolata ?
Suggerimento : la puoi trovare facilmente col principio di conservazione dell'energia.
$mv^2/r = mg$
da cui : $v = sqrt(rg)$
come hai giustamente scritto tu.
Ci si può arrivare facendo il paragone con un pendolo messo in rotazione nel piano verticale. LA seconda equazione della Dinamica in forma vettoriale si scrive in questo caso :
$m\veca = \vecP + \vecT$
dove $\vecT$ è la tensione nel filo. Evidentemente, la minima velocità che il pendolo deve avere nel punto più alto senza che il filo si afflosci si ottiene per $\vecT = 0 $ . Nel caso della moto, la tensione del filo è sostituita dalla reazione $\vecR$ della guida sulla moto stessa: di questa reazione si sa in ogni punto la direzione, che in assenza di attrito è normale alla guida.
Per cui si ricava l'espressione scritta all'inizio per la moto ponendo $\vecR = 0$.
Tieni presente che nel punto più basso e nel punto più alto della circonferenza verticale l'accelerazione è tutta centripeta.
Adesso mi verrebbe voglia di chiederti : supponiamo che la moto viaggi su un piano orizzontale, tangente al cerchio nel punto più basso; con che velocità $v_0$ deve "entrare" nella traiettoria circolare, per arrivare nel punto più alto con la velocità minima prima calcolata ?
Suggerimento : la puoi trovare facilmente col principio di conservazione dell'energia.
"navigatore":
Adesso mi verrebbe voglia di chiederti : supponiamo che la moto viaggi su un piano orizzontale, tangente al cerchio nel punto più basso; con che velocità $v_0$ deve "entrare" nella traiettoria circolare, per arrivare nel punto più alto con la velocità minima prima calcolata ?
Suggerimento : la puoi trovare facilmente col principio di conservazione dell'energia.
Sei stato gentilissimo.
Provo a risponderti:
ipotizzando che gli attriti siano nulli e visto che la reazione \(\displaystyle \overrightarrow{R} \) non compie lavoro, si intuisce che il lavoro delle forze non conservative è nullo.
\(\displaystyle Lnc= 0 J \)
Ciò implica che l'energia meccanica si conserva.
Se valutiamo tutto possiamo dire che l'energia meccanica nel punto più basso è uguale all'energia meccanica nel punto più alto. Quindi, ponendo come livello zero per l'energia potenziale il livello del piano orizzontale, abbiamo:
\(\displaystyle [1/2]m(Vi)^2 = mg(2R) + [1/2]m(Vf)^2 \)
Visto che la velocità finale è \(\displaystyle Vf=\sqrt{Rg} \) abbiamo con un paio di calcoli:
\(\displaystyle [1/2](Vi)^2 = g(2R) + [1/2]Rg \)
\(\displaystyle [1/2](Vi)^2 = 2Rg + [1/2]Rg \)
\(\displaystyle [1/2](Vi)^2 = [5/2]Rg \)
\(\displaystyle (Vi)^2 = 5Rg \)
\(\displaystyle Vi = \sqrt{5Rg} \)
Non so se ho sbagliato i calcoli, ma spero di no...
Perfetto !
"navigatore":
Perfetto !
Benissimo!
E per la molla?
Ora non ho tempo, e francamente non ho neanche letto bene il dubbio. Ci penserò domani.
Chissà, magari viene TeM a risponderti, lui con le molle è bravo, più di me !
Ciao.
Chissà, magari viene TeM a risponderti, lui con le molle è bravo, più di me !
Ciao.
"navigatore":
Ora non ho tempo, e francamente non ho neanche letto bene il dubbio. Ci penserò domani.
Chissà, magari viene TeM a risponderti, lui con le molle è bravo, più di me !
Ciao.
Non ti preoccupare.
Good night.
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